心理与教育统计学课件(张厚粲版)ch7参数估计.ppt

第七章 参数估计当在研究中从样本获得一组数据后，如何 通过这组数据信息，对总体特征进行估计，也 就是如何从局部结果推论总体的情况，称为总 体参数估计参数估计可分为点估计和区间估计两种1第一节 点估计、区间估计与标准误一、点估计的定义 点估计是指在进行参数估计时，直接用一个特定点值作为 总体参数的估计值 二、良好估计量的标准 ⑴无偏性：即用多个样本的统计量作为总体参数的估计值 ，其偏差的平均数为0 ⑵有效性：当总体参数的无偏估计不止一个统计量时，无 偏估计变异小者有效性高，变异大者有效性低，即方差 越小越好 ⑶一致性：当样本容量无限增大时，估计值应能够越来越 接近它所估计的总体参数，估计值越来越精确，逐渐趋 近于真值 ⑷充分性：指一个容量为n的样本统计量，是否充分地反 映了全部n个数据所反映总体的信息2三、区间估计与标准误㈠区间估计的定义 是根据样本统计量，利用抽样分布的原理，在一定的 可靠程度上，估计出总体参数所在的范围，即以数 轴上的一段距离表示未知参数可能落入的范围 ㈡置信区间与显著性水平 ⑴置信区间：也称置信间距，指在一定可靠程度上，总体参 数所在的区域距离或区域长度 ⑵置信界限（临界值）：置信区间的上下两端点值。

⑶显著性水平：指估计总体参数落在某一区间时，可能犯错 误的概率，用符号 表示有时也称为意义阶段、信任 系数等 ⑷置信度（置信水平）： 3三、区间估计与标准误㈢区间估计的原理与标准误 ⑴区间估计是根据样本分布理论，用样本分布的标准误计算区 间长度，解释总体参数落入某置信区间可能的概率 ⑵区间估计存在成功估计的概率大小及估计范围大小两个问题 妥协办法：在保证置信度的前提下，尽可能提高精确度规定 正确估计的概率即置信度为0.95和0.99，则显著性水平为0.05 和0.01小概率事件在一次抽样中不可能出现 ⑶区间估计的原理是样本分布理论在计算区间估计值解释估 计的正确概率时，依据的是该样本统计量的分布规律及样本 分布的标准误样本分布可提供概率解释，而标准误的大小 决定区间估计的长度一般情况下，加大样本容量可使标准 误变小 4一、参数估计的原理㈡区间估计的原理和方法 ⒈置信区间和显著性水平区间估计时， 某一概率下，总体参数所在 的区间称为置信区间，区间的端点值称为临界 值，这个概率称为置信度，以概率 表示 ， α又称显著性水平，表示该区间估计的不 可靠程度。

⒉区间估计的原理和方法56第二节 总体平均数的估计一、总体平均数估计的计算步骤： ⒈利用抽样的方法抽取样本，计算出样本的平均 值 和标准差S ⒉计算样本平均数的标准误 ： ①当总体方差已知时，样本平均数的标准误的计 算为：②当总体方差未知时，样本平均数的标准误的计 算为：7一、总体平均数估计的计算步骤：⒊确定显著性水平和置信水平 ⒋根据样本平均数的抽样分布确定查何种分布表，确定理论值 ⒌确定置信区间：⒍解释总体平均数的置信区间8二、总体方差已知时，对总体平均数的估计⒈当总体分布为正态分布时，（无论样本容量n的大 小，从该总体抽取的样本分布均成正态分布对 总体平均数的估计可以依正态分布进行估计 例1 已知某市6岁正常男童体重的总体方差为6.55公斤，从该 市随机抽取15 名6岁男童，其平均体重为20.4公斤，试求该 市6 岁男童平均体重的95%和99%的置信区间 例2 已知某市6岁正常男童体重的总体方差为6.55公斤，从该 市随机抽取40 名6岁男童，其平均体重为20.4公斤，试求该 市6 岁男童平均体重的95%和99%的置信区间9例1的计算 • 解： 95%的置信区间的显著性水平α=0.05， 因此，μ的95%的置信区间为:即: μ的99%的置信区间为:即: 故该市6岁男童平均体重μ的95%的置信区间为[19.11 ，21.69]；99%的置信区间为[18.7，22.1]。

10二、总体方差已知时，对总体平均数的估计⒉当总体为非正态分布时（只有当样本容量n>30 时,此时样本抽样分布渐近正态分布这时可依 正态分布进行估计，否则不能对总体平均数进 行估计 例3 已知某区15 岁男生立定跳远的方差为 ，现从该区抽取58名15岁男生，测得该组男生 立定跳远的平均数为198.4cm，试求该区15岁 男生立定跳远平均成绩的95%和99%的置信区 间11例3解：由题意知：由于样本容量（n=58）大于30 ，该样本的抽样分布为渐进正态分布因此，μ的95%的置信区间为：198.4－1.96×2.75≤μ≤198.4＋1.96×2.75 即 193.01≤μ≤203.79 μ的99%的置信区间为：198.4－2.58×2.75≤μ≤198.4＋2.58×2.75 即 191.3≤μ≤205.5 故该区15岁男生立定跳远的平均成绩有95%的可 能落入[193.01，203.79]内，有99%的可能落入 [191.3，205.5]内12三、总体方差未知，对总体平均数的估计⒈当总体分布为正态分布时（无论样本容量n的 大小，从该总体抽取的样本所形成的分布均服 从自由度为n-1的t分布，对总体平均数的估计 可依t分布进行估计） 例4 从某市抽取20 名7 岁女童，经测量，这20 名女童的 平均身高为116cm，标准差为5cm，试求该市7岁女童 总平均身高的95%和99%的置信区间。

例5 从某市抽取36 名7 岁女童，经测量，这36 名女童的 平均身高为115.8cm，标准差为4.8cm，试求该市7岁女 童总平均身高的95%和99%的置信区间13例4 解:由题意知，其总体方差未知，但其总体分布为正态分 布，则此样本均数的分布服从t分布，可以依t分布对总 平均身高μ进行估计14例5解:由题意知,其总体方差未知,但其总体分布为正态分布 ，则此样本均数的分布服从t分布， 可以依t分布对总 平均身高μ进行估计15三、总体方差未知，对总体平均数的估计⒉当总体为非正态分布时（只有当样本容量n>30 时，此时样本抽样分布服从自由度为n-1的t分 布，这时可依t 分布对总体平均数进行估计， 否则不能对总体 平均数进行估计 例6 某校进行一次数学考试，从中抽取40名考生 ，经计算，这40 名考生的平均成绩为82分，标 准差为7 分，试求全体考生平均成绩的95%和 99%的置信区间16例6解:由题意知,其总体方差未知，其总体分布也未 知，但n=40>30， 因此可以依t分布对全体考生 平均成绩μ进行估计17第三节 总体标准差与总体方差的估计一、总体标准差的区间估计估计总体标准差的步骤与估计总体平均数的 步骤大致相同。

但有两点需要说明： ⒈从抽样分布的讨论已知，样本标准差的抽样分 布在n>30时为渐近正态分布，总体标准差可依 正态分布来估计当n30，可依正态分布估计19二、总体方差的估计根据对抽样分布的讨论可知， 分布的特征之一是 从正态分布总体中，随机抽取容量为n的样本， 其 样本方差与总体方差比值的分布为 分布即：20二、总体方差的估计 例8 在某市进行的一次智力测验中，随机抽取20名12岁 学生，经计算其智力测验的方差为72.25，试求该市12 岁学生智力测验分数总体方差的95%和99%的置信区间 解：由于智力测验分数一般认为服从正态分布， 由该总 体中抽出的样本在估计总体方差时符合 分布21例9 根据例7的资料， 用估计总体方差的办法来 估计该区英语统考成绩的总标准差的95%和99% 的置信区间 解：已知n=40，S=15.6，df=n-1=39，查 值表得：22例9（续）由例9的结果来看，与例7的结果相近但值 得注意的是，用总体方差的估计方法的一个前 提条件是总体应服从正态分布，若总体不服从 正态分布，则不适用此方法因此，当总体为 正态，样本容量n30时,且 总体分布未知,则仍采用总体标准差的估计方法 较为合适。

23三、两总体方差之比的区间估计24三、两总体方差之比的区间估计例10 某区对该区所辖三年级小学生进行身 体检查，在检查时，从中随机抽取了男 生50名，女生40名，经测量，50名男生 体重的标准差为1.8公斤，40名女生体重 的标准差为1.7公斤，试求该区三年级小 学生男女体重的方差之比的95%和99%的 置信区间25例10 解：由题意和抽样分布的理论，两样本方差之比应 服从F分布26例10（续）• 则得两方差之比的95%的置信区间：• 同理可得两方差之比的99%的置信区间：故该区三年级小学生男女体重的方差之比有95%的可能在 区间[0.6，2.05]之中，有99%的可能落在区间[0.5，2.5] 之中 在估计两总体方差之比时，如果两方差相等,则 . 那么从这两总体抽取的两样本方差之比值大多数在1上下 波动，此时就可以通过判定两总体方差的比值是否在1 的上下波动来判定两总体方差是否相等因此两总体 方差之比的区间估计了可作为检验两总体方差是否相 等的另一种方法27第四节 总体相关系数的估计一、积差相关系数的估计 ㈠积差相关系数的抽样分布 ⒈当总体相关系数ρ=0时，样本相关系数的分布 一般服从自由度为n-2的 t 分布，随着样本容量 的增大，样本相关系数的分布渐近正态分布。

⒉当总体相关系数 时，其样本相关系数的 抽样分布情况较为复杂，⑴当样本容量小于 500时，相关系数为正值，其分布为正偏态， 相关系数为负值，其分布为负偏态⑵当样本 容量足够大(即n>500)，样本相关系数的抽样分 布才渐近正态分布28一、积差相关系数的估计㈡积差相关系数的区间估计 ⒈当总体相关系数 时，可依 t 分布估计总 体相关系数利用下列公式求其标准误：⒉当总体相关系数 、且n>500时，可依正态 分布估计总体相关系数其标准误可按上面公 式（8-8）计算，总体相关系数的置信区间为：29一、积差相关系数的估计 ㈡积差相关系数的区间估计 ⒊当总体相关系数 时，且容量小于500时 ，其样本相关系数的抽样分布极不稳定，人们 常用费舍法费舍利用下面公式将 r 转换为Z 值，而Z值渐近正态分布一般不使用公式（8-9）来计算Z值，统计学家 已经根据公式编制出 r 与Z的转换表，见附表 30利用费舍Z函数估计总体相关系数的步骤 ⒈查附表8把 r 转换为Zr值； ⒉利用公式（8-10）计算Zr的标准误； ⒊在不同的显著性水平下确定Zρ的置信区 间:⒋将Zρ的置信上下限查附表8，从而得到 ρ的置信区间。

31利用费舍Z函数估计总体相关系数的例题例11 某校给学生进行体验时，抽取40名作样本， 计算得到他们的身高、体重的相关系数为0.55 ，试求该学校学生身高与体重的相关系数的置 信区间 解:由题意知，该学校学生身高,体重的相关情况 未知，且样本容量n20时，样本相关系数的抽样分布服从正态 分布 ㈡等级相关系数的区间估计 根据样本容量的不同选择不同的抽样分布进行估 计，其方法现与总体平均数的方法相似在计 算标准误时，两种情况的标准误计算公式均为 ：34二、等级相关系数的估计例12 某市进行数学与物理统考，从中各抽取15名 和60名学生作为样本，经计算这两个样本的等 级相关系数分别为0.42和0.45，试分别求出该 市数学与物理成绩的相关系数的置信区间 解:①当n=15时，该样本相关系数的抽样分布服从 自由度为13的t分布，可依t分布对总体相关系 数进行估计 样本相关系数的标准误：35例12 (解续)因此，ρ的95%的置信区间为:ρ的99%的置信区间为:②当n=60时，该样本相关系数的抽样分布服从正态分布 ，可依正态分布对。