
江苏省江阴市普通高中2025学年高三质量检测试题(一)数学试题.doc
21页江苏省江阴市普通高中2025学年高三质量检测试题(一)数学试题请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内写在试题卷、草稿纸上均无效2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知直线y=k(x﹣1)与抛物线C:y2=4x交于A,B两点,直线y=2k(x﹣2)与抛物线D:y2=8x交于M,N两点,设λ=|AB|﹣2|MN|,则( )A.λ<﹣16 B.λ=﹣16 C.﹣12<λ<0 D.λ=﹣122.已知双曲线的左、右顶点分别是,双曲线的右焦点为,点在过且垂直于轴的直线上,当的外接圆面积达到最小时,点恰好在双曲线上,则该双曲线的方程为( )A. B.C. D.3.已知双曲线的右焦点为,若双曲线的一条渐近线的倾斜角为,且点到该渐近线的距离为,则双曲线的实轴的长为A. B.C. D.4.已知过点且与曲线相切的直线的条数有( ).A.0 B.1 C.2 D.35.已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线C的方程不可能为( )A. B. C. D.6.港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车,它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程,桥隧全长55千米.桥面为双向六车道高速公路,大桥通行限速100km/h,现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查.画出频率分布直方图(如图),根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85,90)的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为( )A.300, B.300, C.60, D.60,7.在关于的不等式中,“”是“恒成立”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知双曲线:的焦距为,焦点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.9.若2m>2n>1,则( )A. B.πm﹣n>1C.ln(m﹣n)>0 D.10.设复数满足,则在复平面内的对应点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.蒙特卡洛算法是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法,将所求解的问题同一定的概率模型相联系;用均匀投点实现统计模拟和抽样,以获得问题的近似解,故又称统计模拟法或统计实验法.现向一边长为的正方形模型内均匀投点,落入阴影部分的概率为,则圆周率( )A. B.C. D.12.已知下列命题:①“”的否定是“”;②已知为两个命题,若“”为假命题,则“”为真命题;③“”是“”的充分不必要条件;④“若,则且”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为( )A.③④ B.①② C.①③ D.②④二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.若一组样本数据7,9,,8,10的平均数为9,则该组样本数据的方差为______.14.在中,已知,,是边的垂直平分线上的一点,则__________.15.如图所示,在直角梯形中,,、分别是、上的点,,且(如图①).将四边形沿折起,连接、、(如图②).在折起的过程中,则下列表述: ①平面;②四点、、、可能共面;③若,则平面平面;④平面与平面可能垂直.其中正确的是__________.16.从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务,每天安排一人,每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加,且当甲、乙两人都参加时,他们参加社区服务的日期不相邻,那么不同的安排种数为______________.(用数字作答)三、解答题:共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(12分)已知六面体如图所示,平面,,,,,,是棱上的点,且满足.(1)求证:直线平面;(2)求二面角的正弦值.18.(12分)已知,函数,(是自然对数的底数).(Ⅰ)讨论函数极值点的个数;(Ⅱ)若,且命题“,”是假命题,求实数的取值范围.19.(12分)已知函数.(1)当时,不等式恒成立,求的最小值;(2)设数列,其前项和为,证明:.20.(12分)已知数列是等差数列,前项和为,且,.(1)求.(2)设,求数列的前项和.21.(12分)在中,角的对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)若函数图象的一条对称轴方程为且,求的值.22.(10分)心形线是由一个圆上的一个定点,当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时,这个定点的轨迹,因其形状像心形而得名,在极坐标系中,方程()表示的曲线就是一条心形线,如图,以极轴所在的直线为轴,极点为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线的参数方程为(为参数).(1)求曲线的极坐标方程;(2)若曲线与相交于、、三点,求线段的长.参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.D【解析】分别联立直线与抛物线的方程,利用韦达定理,可得,,然后计算,可得结果.【详解】设, 联立则,因为直线经过C的焦点, 所以.同理可得,所以故选:D.【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题,运用抛物线的焦点弦求参数,属基础题2.A【解析】点的坐标为,,展开利用均值不等式得到最值,将点代入双曲线计算得到答案.【详解】不妨设点的坐标为,由于为定值,由正弦定理可知当取得最大值时,的外接圆面积取得最小值,也等价于取得最大值,因为,,所以,当且仅当,即当时,等号成立,此时最大,此时的外接圆面积取最小值,点的坐标为,代入可得,.所以双曲线的方程为.故选:【点睛】本题考查了求双曲线方程,意在考查学生的计算能力和应用能力.3.B【解析】双曲线的渐近线方程为,由题可知.设点,则点到直线的距离为,解得,所以,解得,所以双曲线的实轴的长为,故选B.4.C【解析】设切点为,则,由于直线经过点,可得切线的斜率,再根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率,建立关于的方程,从而可求方程.【详解】若直线与曲线切于点,则,又∵,∴,∴,解得,,∴过点与曲线相切的直线方程为或,故选C.【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,求解曲线的切线的方程,其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.5.C【解析】判断出已知条件中双曲线的渐近线方程,求得四个选项中双曲线的渐近线方程,由此确定选项.【详解】两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与轴的夹角时要分为两种情况.依题意,双曲渐近线与轴的夹角为30°或60°,双曲线的渐近线方程为或.A选项渐近线为,B选项渐近线为,C选项渐近线为,D选项渐近线为.所以双曲线的方程不可能为.故选:C【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程,属于基础题.6.B【解析】由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间的频率即可得到车辆数,同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过的频率.【详解】由频率分布直方图得:在此路段上汽车行驶速度在区间的频率为,∴在此路段上汽车行驶速度在区间的车辆数为:,行驶速度超过的频率为:.故选:B.【点睛】本题考查频数、频率的求法,考查频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.7.C【解析】讨论当时,是否恒成立;讨论当恒成立时,是否成立,即可选出正确答案.【详解】解:当时,,由开口向上,则恒成立;当恒成立时,若,则 不恒成立,不符合题意,若 时,要使得恒成立,则 ,即 .所以“”是“恒成立”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查了命题的关系,考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时,一般分成两步,若,则推出 是 的充分条件;若,则推出 是 的必要条件.8.A【解析】利用双曲线:的焦点到渐近线的距离为,求出,的关系式,然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】双曲线:的焦点到渐近线的距离为,可得:,可得,,则的渐近线方程为.故选A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用,构建出的关系是解题的关键,考查计算能力,属于中档题.9.B【解析】根据指数函数的单调性,结合特殊值进行辨析.【详解】若2m>2n>1=20,∴m>n>0,∴πm﹣n>π0=1,故B正确;而当m,n时,检验可得,A、C、D都不正确,故选:B.【点睛】此题考查根据指数幂的大小关系判断参数的大小,根据参数的大小判定指数幂或对数的大小关系,需要熟练掌握指数函数和对数函数的性质,结合特值法得出选项.10.C【解析】化简得到,得到答案.【详解】,故,对应点在第三象限.故选:.【点睛】本题考查了复数的化简和对应象限,意在考查学生的计算能力.11.A【解析】计算出黑色部分的面积与总面积的比,即可得解.【详解】由,∴.故选:A【点睛】本题考查了面积型几何概型的概率的计算,属于基础题.12.B【解析】由命题的否定,复合命题的真假,充分必要条件,四种命题的关系对每个命题进行判断.【详解】“”的否定是“”,正确;已知为两个命题,若“”为假命题,则“”为真命题,正确;“”是“”的必要不充分条件,错误;“若,则且”是假命题,则它的逆否命题为假命题,错误.故选:B.【点睛】本题考查命题真假判断,掌握四种命题的关系,复合命题的真假判断,充分必要条件等概念是解题基础.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.1【解析】根据题意,由平均数公式可得,解得的值,进而由方差公式计算,可得答案.【详解】根据题意,数据7,9,,8,10的平均数为9,则,解得:,则其方差.故答案为:1.【点睛】本题考平均数、方差的计算,考查运算求解能力,求解时注意求出的值,属于基础题.14.【解析】作出图形,设点为线段的中点,可得出且,进而可计算出的值.【详解】设点为线段的中点,则,,,.故答案为:.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算,涉及平面向量数量积运算律的应用,解答的关键就是选择合适的基底表示向量,考查计算能力,属于中等题.15.①③【解析】连接、交于点,取的中点,证明四边形为平行四边形,可判断命题①的正误;利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题②的正误;连接,证明出,结合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题③的正误;假设平面与平面垂直,利用面面垂直的性质定理可判断命题④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①,连接、交于点,取的中点、,连接、,如下图所示:则且,四边形是矩形,且,为的中点,为的中点,且,且,四边形为平行四边形,,即,平面,平面,平面,命题①正确;对于命题②,,平面,平面,平面,若四点、、、共面,则这四点可确定平面,则,平面平面,由线面平行的性质定理可得,则,但四边形为梯形且、为两腰,与相交,矛盾.所以,命题②错误;对于命题③,连接、,设,则,在中,,,则为等腰直角三角形,且,,,且,由余弦定理得,,,又,,平面,平面,,。












