线性方程组解的结构.doc

§3.6 线性方程组解的结构一、齐次线性方程组解的结构 （1）1．解的性质性质1 方程组（1）的两个解的和还是（1）的解.证明 设与是方程组⑴的两个解.则 两个解的和为 (2)代入方程组，得 即⑵是方程组的解. 证毕性质2 方程组（1）的一个解的倍数还是（1）的解；证明 设是⑴的一个解，因为　 所以还是方程组的解. 证毕由性质1和性质2得：性质3 方程组（1）的解的任一线性组合还是（1）的解． 2．基础解系定义 齐次线性方程组（1）的一组解，若满足1) 线性无关；2)（1）的任一解可由线性表出．则称为（1）的一个基础解系．3 ．基础解系的存在性定理1 在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数等于，其中．证：若，不防设 ，则方程组（1）与方程组 （2）同解,用组数 (1,0,…,0), (0,1,…,0), …, (0,0,…,1)代入自由未知量，就得到（2）的解，也就是（1）的个解则为方程组(1)的一个基础解系.ⅰ) 线性无关事实上，若 ，即比较最后n－r个分量，得 .因此, 线性无关.ⅱ) 任取方程组（1）的一个解，可由线性表出．事实上，由是方程组（1）的解知： 也为（1）的解，又 =（）它与的最后个分量相同，即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解，即．由ⅰ) ⅱ)知，为（1）的一个基础解系． 证毕推论 任一与方程组（1）的某一基础解系等价的线性无关的向量组都是方程组（1）的基础解系．证明：为（1）的一个基础解系，线性无关，且与等价，则，且可由线性表出，即也为（１）的解向量． 任取方程组（１）的一个解向量，则可由线性表出，从而可由线性表出． 又线性无关，所以也是基础解系．证毕4 .基础解系的求法我们只要找到齐次线性方程组的个自由未知量，就可以获得它的基础解系.具体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩.把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余个未知量移到等式右端，再令右端个未知量其中的一个为1，其余为零，这样可以得到个解向量，这个解向量构成了方程组的基础解系. 方程组（1）的任一解即通解可表为 例1 求齐次线性方程组的一个基础解系。

解 用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形：，于是r，基础解系中有 r=5-3=2个向量阶梯形矩阵所对应的方程组为移项，得取，得一个解向量 ；取得另一解向量 .即为方程组的一个基础解系，方程组的全部解可表示为二、 非齐次线性方程组解的结构对于非齐次线性方程组解 （3）令,得 （4）称（4）为（3）的导出组．１．解的性质性质1 设、为方程组（3）的两个解，则为其导出组（4）的解．证明 = =是方程组（3）的两个解，即 它们的差是 -=显然有 .即-=是导出组(4)的一个解. 证毕性质2 设为方程组（3）的一个解，为其导出组（4）的解，则仍为方程组（3）的解．证明 设=是方程组(3)的一个解，即又设=是导出组(4)的一个解, 即显然 证毕 ２、解的结构定理 若为（3）的一个特解，则方程组（3）的任一解皆可表成，其中为其导出组（4）的一个解.从而有：方程组（3）的一般解为其中为（3）的一个特解， 为导出组（4）的一个基础解系．证明　显然有性质１知，是导出组(4)的一个解，令　=则 . 证毕推论 方程组（3）在有解的条件下，有唯一解（3）的导出组（4）只有零解．３．求非齐次线性方程组（3）的一般解的步骤：1）求出其导出组的基础解系；2）求出其一个特解；3）方程组（3）的一般解为．例２　求解方程组解：可见，方程组有解，并有取，则 ，即得原方程组的一个特解　　．下面求导出组的基础解系：导出组与 同解．取，得；取，得．于是原方程组的通解为　　．三、典型例题例1（高数二） 取何值时,方程组无解,有唯一解或有无穷多解？并在有无穷多解时写出方程组的通解解 对方程组的增广矩阵作初等行变换于是,当时,原方程组无解.当且时,原方程组有唯一解.当时,原方程组有无穷多解,其通解为为任意实数.例2（厦门大学） 问为何值时,线性方程组有解,并求出解的一般形式解 对方程组的增广矩阵进行初等变换 当即时,方程组有解,这时方程组为而为其同解方程组,解之得其中k为任意常数例3 （高数三）已知线性方程组问方程组什么时候有解？什么时候无解？有解时,求出相应解.解 方程组系数矩阵的行列式为可见（1） 当且方程组有唯一解,其唯一解由克莱姆法则求出,为（2） 当时,原方程组的增广矩阵为可见 当时,秩（）=2秩=3,方程组无解.当时,原方程组等价通解为 其中为任意常数例4（高数四） 讨论线性方程组当取何值时,方程组无解？有唯一解？有无穷多组解？在方程组有无穷多组解的情况下,求出一般解.解 对增广矩阵作初等行变换,有（1）当时,秩（）=秩=4,方程组有唯一解.（2）当时,有若,则秩（）=3秩=4,方程组无解.若则秩（）=秩=3,方程组有无穷多解,且, 其同解方程组为故一般解为其中为任意常数.例5 （高数三）已知及（1）为何值时,有的唯一线性表示式？并写出该表示式.（2）为何值时,不能表示成的线性组合？解 设则化其增广矩阵为阶梯形当和4时,有可见方程组有唯一解此时可由唯一线性表示为当时,秩（）=2秩=3,方程组无解,此时不能线性表示.例6 （高数四）设有三维列向量问取何值时,（1）可由线性表示,且表达式唯一？（2）可由线性表示,但表达式不唯一？（3）不能由线性表示？解 设则化其增广矩阵为阶梯形可见,(1)若且,方程组有唯一解, 可由惟一线性表示;(2)若,则方程组无穷多解, 可由线性表示,但表示式不惟一;(3)若,则系数矩阵与增广矩阵的秩不相同,方程组无解,故不能由 线性表示例7 （高数二）设有四元线性方程组系数矩阵的秩为3,又已知为的三个解,且求的通解解 因为是的解,故为的解,又秩（）=4,且所以是的基础解系,故的通解为其中k为任意实数.例8 （高数二）已知四元非齐次线性方程组的系数矩阵之秩为3,又是它的三个解向量,其中试求该非齐次线性方程组的通解.解 因为四元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为3,故对应导出组的基础解系只包含有一个线性无关的解向量,且由解的性质知即是导出组的非零解向量,可以当作基础解系,又是非齐次组的特解,故非齐次线性方程组的通解为其中为任意常数例9 （高数二）设四元线性方程组（Ⅰ）为又已知齐次线性方程组（Ⅱ）的通解为（1）试求出方程组（Ⅰ）的基础解系；（2）问线性方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）是否有非零的公共解？若有,则求出所有非零的公共解.若没有,则说明理由.解（1）方程组（）的系数矩阵为故（）基础解系为（2）将（Ⅱ）的通解代如方程组（）,则有解得,则向量是方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）的公共解,当有,故方程组（Ⅰ）（Ⅱ）的所有非零公共解是其中是任意非零常数例10（高数三） 已知下列非齐次线性方程组（Ⅰ）（Ⅱ）（1） 求解方程组（Ⅰ）,用其导出组的基础解系表示通解（2） 当程组（Ⅱ）中的参数为何值时,方程组（Ⅰ）和（Ⅱ）同解.解（1）将方程（Ⅰ）的增广矩阵作初等行变换化成标准阶阶梯形矩阵其导出组的基础解系为,非齐次方程的一个特解是,故方程组（）的通解为 （2）因为题设（Ⅰ）（Ⅱ）同解,故（Ⅰ）的通解应是（Ⅱ）的解.将（Ⅰ）的通解代入（Ⅱ）的三个方程,可分别求得参数将代入（Ⅱ）的第一个方程,得整理得其中为任意常数,故解得将代入（Ⅱ）的第二个方程,得整理得,其中为任意常数,故解得将代入（Ⅱ）的第三个方程,得故解得由此可知,当方程组（Ⅱ）中参数取时,方程组（Ⅰ）的全部解都是方程组（Ⅱ）的解.当时,第（Ⅱ）个方程可表为（Ⅱ）利用初等行变换,将（Ⅱ）的增广矩阵化为标准阶梯形由于方程组（Ⅰ）（Ⅱ）的标准阶梯形矩阵完全相同,故方程组（Ⅰ）（Ⅱ）当时同解.例11（高数四） 要使都是线性方程组的解,只要系数矩阵为：例12（高数二） 已知方阵三阶方阵满足,试求的值.解 设,则等价于而知有非零解,故必有从而,由此解得例13（高数三） 设,且方程组的基础解系含有两个线性无关的解向量,求的通解解要使必有=0,即此时同解方程组为通解为其中为任意常数.例14（高数四） 设如果是是的一个解,试求的通解把代入方程得即有化增广矩阵为阶梯形,当时,可见方程有无穷多解其中为任意常数.当时,可见,方程方程有无穷多解其中为任意常数例15（高数四） 设方程组系数行列式,而中某元素的代数余子式,试证是方程组的一个基础解系.解将按列分块其中则即说明是齐次方程组的解.又因为即存在一个阶的非零子式,所以秩.故方程组的基础解系只包含有个解向量,任意一个非零向量都可以作为的基础解系.由知因此是的一个基础解系.例16（高数二）设为的个线性无关的维解向量,的秩为,证明：是对应的齐次线性方程组的基础解系.解 要证基础解系有个向量,如能证明它们均是的解向量,且线行无关,则它们为的基础解系.因 故,即为的解向量,下证它们线性无关.设因线性无关,故即,,线性无关,从而为的一个基础解系.例17（高数三） 若矩阵的秩为,其个列向量为某一个齐次线性方程组的基础解系,为阶非奇异矩阵（可逆矩阵）,证明：的列向量也是该齐次线性方程组的一个基础解系.解 令为矩阵.它的列向量记为列向量记为则可见能由线行表出,若为某一齐次线性方程组的解,则也是该齐次线性方程组的解.又因可逆,故由①可得=,由此可见与等价,而为某一齐次线性方程组的基础解系,线性无关,故也线性无关,且每个解向量可由它线性表示,从而为该齐次线性方程组的一个基础解系.例18（高数三） 设是非齐次方程组的一个解,是其导出组的一个基础解系.证明：（1）线性无关；（2）,+,,+是方程组的个线性无关的解；（3）方程组的任一个解,都可以表示为这个解的线性组合,而且组合系数之和为1.解（1）令则,因为所以有又所以于是有又因线性无关,故.因此线性无关.（2）由线性方程组解的性质知都是的解,再证它们线性无关,令 于是从而有由线性无关 知.故是的的线性无关解.（3）设为方程组的任一解,则可表示为。