二次函数中存在性问题(含复习资料解析).docx

2018年8月4日初中数学试卷、综合题(共9题；共135分)21.如图所不，抛物线 y=ax+bx+c的顶点为M ( - 2, - 4),与x轴父于A、B两点，且A ( - 6, 0),与y轴父于 点C.(1)求抛物线的函数解析式；(2)求△ ABC的面积；(3)能否在抛物线第三象限的图象上找到一点 P,使^APC的面积最大？若能，请求出点 P的坐标；若不能，请说明理由.2. (2017?乌鲁木齐)如图，抛物线 y=ax2+bx+c (awQ与直线y=x+1相交于A ( - 1, 0) , B (4, m)两点，且抛物(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线上的一个动点(不与点 A、点B重合)，过点P作直线PD)±x轴于点D,交直线AB于点E.① 当PE=2ED时，求P点坐标；② 是否存在点P使4BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由.y=ax2+bx+c (awQ的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D,点B的坐标为(3,3. (2017?赤峰)如图，二次函数(1)求二次函数的解析式和直线 BD的解析式;(2)点P是直线BD上的一个动点，过点 P作x轴的垂线，交抛物线于点 M,当点P在第一象限时，求线段 PM长度的最大值;(3)在抛物线上是否存在异于 B、D的点Q,使4BDQ中BD边上的高为2 j- ?若存在求出点 Q的坐标；若不存在请说明理由.4. (2017?广元)如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c过点A (- 3, 0) , B (- 2, 3) , C (0, 3),其顶点为 D.(1)求抛物线的解析式；(2)设点M (1, m),当MB+MD的值最小时，求 m的值；(3)若P是抛物线上位于直线 AC上方的一个动点，求 4APC的面积的最大值；(4)若抛物线的对称轴与直线 AC相交于点N, E为直线AC上任意一点，过点 E作EF// ND交抛物线于点F,以N, D, E, F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点 E的坐标；若不能，请说明理由.5. (2017?巴中)如图，已知两直线 1i , l2分别经过点A (1, 0),点B ( - 3, 0),且两条直线相交于 y轴的正 半轴上的点C,当点C的坐标为(0,的)时，恰好有1i112 ,经过点A, B, C的抛物线的对称轴与 h、吼x轴分别交于点 G、E、F, D为抛物线的顶点.(1)求抛物线的函数解析式；(2)试说明DG与DE的数量关系？并说明理由；(3)若直线12绕点C旋转时，与抛物线的另一个交点为 M,当4MCG为等腰三角形时，请直接写出点 M的坐标.6. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c (awQ的对称轴为直线 x=- 1,且抛物线经过 A (1, 0) , C (0, 3)两点，与x轴 交于点B.(1)若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线 BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴 x=- 1上找一点M,使点M到点A的距离与到点 C的距离之和最小，求出点 M的坐标;(3)设点P为抛物线的对称轴x=- 1上的一个动点，求使 ^BPC为直角三角形的点 P的坐标.7. 如图，抛物线y=ax2+bx+c (aw。

与x轴相交于A (- 1, 0) , B (3, 0),与y轴交于点C (0, 3)(1)求抛物线的解析式；(2)连接BC,点P为抛物线上第一象限内一动点，当 4BCP面积最大时，求点 P的坐标；(3)设点D是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点 Q,使以点B, C, D, Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点 Q的坐标；若不存在，说明理由.28. (2017?临沂)如图，抛物线y=ax+bx-3经过点A(2, - 3),与x轴负半轴交于点 B,与y轴交于点C,且OC=3OB.(1)求抛物线的解析式；(2)点D在y轴上，且/ BDO=/ BAC,求点D的坐标；(3)点M在抛物线上，点 N在抛物线的对称轴上，是否存在以点 A, B, M, N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点 M的坐标；若不存在，请说明理由.16 / 16答案解析部分一、综合题1.【答案】(1)解：设此函数的解析式为 y=a (x+h) 2+k,•.・函数图象顶点为 M ( - 2, - 4),y=a (x+2) 2-4,又••・函数图象经过点 A ( - 6, 0),0=a (- 6+2) 2-4解得a=[, -4，此函数的解析式为 y= 1r (x+2) 2-4,即y= 1r x2+x-3;— —(2)解：二,点C是函数y= x x2+x-3的图象与y轴的交点, —4.二点C的坐标是(0, - 3),又当 y=0 时，有 y= 1r x2+x- 3=0,一4解得 xi = - 6, x2=2,，点B的坐标是(2,0),则 S/\abc= I |AB|?|OC|= [ X 8X3=12- "1 i(3)解：假设存在这样的点，过点 P作P已x轴于点E,交AC于点F.设 E (x, 0),则 P (x, : x2+x—3),设直线AC的解析式为y=kx+b,•.・直线 AC过点 A (- 6, 0) , C (0, — 3),f-ft+i=O解得产一；1 -3 = fe fe=-3，直线AC的解析式为y=- x x-3, — I，点F的坐标为F (x, - x x-3), - 1则|PF|= 一 ] x—3 — ( . x2+x—3) = - t x2- x x,— — — —1 4 4 iS»AapcfSx apf+Sa CPF=|PF|?|AE|+ |PF|?|OE|■ —1 1=[|PF|?|OA|= , (- ^ x - j x) X6= j x2 - j x=- j (x+3) 2+ 好,■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ 1 I 4 1 4 1 4 4「•当x=-3时，Saapc有最大值 北,4此时点P的坐标是P ( -3, - 1S ).4【考点】二次函数的应用【解析】【分析】(1)根据顶点坐标公式即可求得 a、b、c的值，即可解题；(2)易求得点 日C的坐标，即可求得OC的长，即可求得 4ABC的面积，即可解题；(3)作PE± x轴于点E,交AC于点F,可将4APC的面积转化 为4AFP和4CFP的面积之和，而这两个三角形有共同的底 PF,这一个底上的高的和又恰好是 A、C两点间的距离，因此若设设E (x, 0),则可用x来表示4APC的面积，得到关于 x的一个二次函数，求得该二次函数最大值，即 可解题.2 .【答案】(1)解：二•点B (4, m)在直线y=x+1上， m=4+1=5,••B (4, 5),把A、B、C三点坐标代入抛物线解析式可得 a-bic = ，解得口=_]，(16a+4Hc = 5 (6 = 425a + 5b + c = 0 c= 5，抛物线解析式为 y=-x2+4x+5(2)解：①设 P (x, — x2+4x+5),则 E (x, x+1) , D (x, 0),贝U PE=| —x2+4x+5 — (x+1) |=| - x2+3x+4| , DE=|x+1| , ••• PE=2ED| -x2+3x+4|=2|x+1| ,当-x2+3x+4=2 (x+1)时，解得x=- 1或x=2,但当x=- 1时，P与A重合不合题意，舍去， • •P (2, 9)；当-x2+3x+4=-2 (x+1)时，解得x= T 或x=6,但当x=- 1时，P与A重合不合题意，舍去， • •P (6, — 7);综上可知P点坐标为(2, 9)或(6, - 7);②设 P (x, — x2+4x+5),贝U E (x, x+1)，且 B (4, 5) , C (5, 0),BE= , = 「|x — 4| , CE= , = , BC=, ^x-^ +(x + i-5y 谊 1 1 届一5尸 + & +以 -眠+ 26 ^-sy +(5-oy当△ BEC为等腰三角形时，贝U有 BE=CE BE=BC或CE=BC三种情况,当BE=CE时，则 广|x -4|= ,解得x=.，此时P点坐标为(.，中)；近 的一- &C + 26 2 2 之当BE=BC时，贝Uj—,解得x=4+ — 或x=4 — -,此时P点坐标为(4+ — , - 4 —Vm vl3 V13 V13 V13—8)当CE=BC寸，贝U「 —=—,解得x=0或x=4,当x=4时E点与B点重合，不合题意，舍去，此时依:-肘+ 26 V26点坐标为(0, 5);综上可知存在满足条件的点 P,其坐标为—8)或(0, 5)【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】(1)由直线解析式可求得 B点坐标，由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解 析式；(2)① 可设出P点坐标，则可表示出 E D的坐标，从而可表示出 PE和ED的长，由条件可知到关于 P点 坐标的方程，则可求得 P点坐标；②由E、B、C三点坐标可表示出 BE、CE和BC的长，由等腰三角形的性质可得 到关于E点坐标的方程，可求得 E点坐标，则可求得 P点坐标.3.【答案】(1)解：二•抛物线的顶点 C的坐标为(1,4),・ •・可设抛物线解析式为 y=a (x- 1) 2+4,・ ・,点B (3, 0)在该抛物线的图象上，0=a (3 — 1) 2+4,解得 a=-1,，抛物线解析式为 y=- (x-1) 2+4,即y=- x2+2x+3,・ ・・点D在y轴上，令x=0可彳导y=3,・ •.D点坐标为(0, 3),・ •・可设直线BD解析式为y=kx+3,把B点坐标代入可得 3k+3=0,解得k= - 1,・ •・直线BD解析式为y= - x+3(2)解：设 P点横坐标为 m (m>0),则 P (m, - m+3) , M (m, - m2+2m+3),-- PM= - m2+2m+3 - (- m+3) = - m2+3m= - (m- 口)2+ g ,・・・当m=［时，PM有最大值g ■ -1 4(3)解：如图，过 Q作QG// y轴交BD于点G,交x轴于点E,彳QHLBD于H,设 Q (x, — x2+2x+3),则 G (x, — x+3), ・•.QG=| — x2+2x+3 — (—x+3) |=| - x2+3x| , •••△BOD是等腰直角三角形，/ DBO=45 ,/ HGQ=/ BGE=45 ,当ABDQ中BD边上的高为2 _时，即QH=HG=2 _ ,盘 显QG=广"广=4, 位位 | - x2+3x|=4 ,当-x2+3x=4时，4=9-16<0,方程无实数根，当—W+3x=— 4 时，解得 x=- 1 或 x=4,・•・Q (- 1, 0)或(4, - 5),综上可知存在满足条件的点 Q,其坐标为(-1 , 0)或(4, - 5)【考点】二次函数的应用，与二次函数有关的动态几何问题【解析】【分析】(1)可设抛物线解析式为顶点式，由 B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得 D点坐标，利用待定系数法可求得直线 BD解析式；(2)设出P点坐标，从而可表示出 PM的长度，利用二次函数的性质可求得 其最大彳1。