证明数列是等差或等比数列的方法.doc

一、证明或判断数列为等差数列的方法1. 定义法 在数列中，若（为常数），则数列为等差数列例：已知正项数列的前n项和为，，且满足（） 证明：数列是等差数列 证明：由得 整理得 则 两式相减得 因为是正项数列，所以 所以，即 所以是首项为，公差为的等差数列 2.等差中项法 是等差数列 例：设数列的前n项和为，已知，，，且 其中A、B为常数 （1）求A与B的值 （2）证明数列是等差数列 解：（1）因为，，，所以 把，分别代入 得 解得：， （2）由（1）知 整理得 即 ① 又② ②-①得 即 ③ 又 ④ ④-③得 所以 所以，又 所以数列是首项为1，公差为5的等差数列 3.看通项与前n项和法（注：这些结论适用于选择题填空题）（1）若数列通项能表示成（，为常数）的形式，则数列是等差数列；（2）若数列的前n项和能表示成（，为常数）的形式，则数列是等差数列例：若是数列的前n项和，，则是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，也是等比数列 D.既不是等差数列，也不是等比数列解析：根据（2）知等差数列，不是等比数列二、证明或判断数列为等比数列的方法1.定义法 在数列中，若（为常数），则数列为等比数列例：设数列的首项，且 ， 记，…（1）求，（2）判断数列是否为等比数列，并证明你的结论解：（1）， (2), 所以， 猜想是公比为的等比数列 证明如下：因为 所以是首项为，公比为的等比数列．例2：已知数列的首项，前项和为， ，证明数列是等比数列； 解：由已知可得时两式相减得:，即，从而，当时，，所以，又，所以，从而．故总有，又，从而．所以数列是等比数列． 例3：设数列的前项的和为，且。

1） 设，求证：数列是等比数列； 证明：（1）时， ， 又是首项为3，公比为2的等比数列例4：设数列的首项，前项和满足关系，求证为等比数列错证）由题意：两式相减得： 即： 所以：为定值，所以为等比数列由于在证明的过程没有注意到各符号有意义的条件，从而忽略了的取值范围，导致证明不符合定义的完整性正确的证明如下：时：两式相减得： 即：所以：（这只能说明从第二项开始，后一项与前一项的比为定值，所以需要对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性又因为时：即又因为，所以所以 所以 所以对任意都有为定值，所以为等比数列总之，在用定义证明一个数列为等差数列或等比数列的时候，一定要注意下标的取值范围，不管是；还是还是其它的情况，都在考虑定义的完整性，确保任何的后一项与相邻前一项的差（比）为定值，如有不全面的地方须另外加以补充2. 看通项与前n项和法（1） 若通项能表示成（，均为不为0的常数）的形式，则是等比数列（2） 若数列的前n项和能表示成（、均为不等于0的常数，且）的形式，则数列是公比不为1的等比数列例：已知数列的前n项和，则数列是什么数列解析：由数列前n项和可知，数列是等比数列，首项，公比。