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2009 年全国硕士研究生入学统一考试 2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二线性代数试题 数学二线性代数试题 一、选择题：每小题 4 分． 一、选择题：每小题 4 分． （7）设（7）设BA,均为 2 阶矩阵，且均为 2 阶矩阵，且 ∗ ∗∗ ∗ BA ,分别 为 分别 为BA,的伴随矩阵，若的伴随矩阵，若3, 2= == =BA，则 分块矩阵 ，则 分块矩阵⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 B A 的伴随矩阵为（ ） 的伴随矩阵为（ ） （A）（A） ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∗ ∗ ∗ ∗ 02 30 A B （B） （B） ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∗ ∗ ∗ ∗ 03 20 A B （C）（C） ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∗ ∗ ∗ ∗ 02 30 B A （D） （D） ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∗ ∗ ∗ ∗ 03 20 B A 【答案】 （B） 【答案】 （B） 【解析】由于分块矩阵【解析】由于分块矩阵⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 0 0 B A 的行列式的行列式 632)1( 0 0 22 =×=−==×=−= × × BA B A ，即分块，即分块 梦飞翔考研工作室提供2011年考研公共课程+专业课程资料.完整高清视频+讲义让您考研无忧！：81321659 ：13258218644 梦飞翔考研工作室提供2011年考研公共课程+专业课程资料.完整高清视频+讲义让您考研无忧！：81321659 ：13258218644 矩阵可逆，根据公式矩阵可逆，根据公式,* 1− − = =CCC ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − − − −∗ ∗ 0 1 1 0 6 0 0 6 0 0 0 0 0 0 * * 1 1 1 A A B B A B B A B A B A ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 03 20 0 2 1 3 1 0 6 * * * * A B A B ， ， 故答案为 B． 故答案为 B． 【讲评】本题考查的知识点有：伴随矩阵和 逆矩阵的关系，分块矩阵的行列式，分块矩 阵的逆矩阵等。

【讲评】本题考查的知识点有：伴随矩阵和 逆矩阵的关系，分块矩阵的行列式，分块矩 阵的逆矩阵等 （8）设（8）设PA,均为 3 阶矩阵，均为 3 阶矩阵， T P为为P的转置的转置 梦飞翔考研工作室提供2011年考研公共课程+专业课程资料.完整高清视频+讲义让您考研无忧！：81321659 ：13258218644 梦飞翔考研工作室提供2011年考研公共课程+专业课程资料.完整高清视频+讲义让您考研无忧！：81321659 ：13258218644 矩阵，且矩阵，且 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 200 010 001 APP T ，若 ，若 )( 321 α αα αα α= =p，，),,( 3221 α αα αα αα α+ += =Q，则 ，则 A T 为 ( ) 为 ( ) (A)(A) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 200 011 012 (B) (B) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 200 021 011 (C)(C) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 200 010 002 (D) (D) ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 200 020 001 【答案】 （A） 【答案】 （A） 【解析】 【解析】 ( () ) )1(),,( 100 011 001 ),,( ,, 12321 321 3221 Eaaa aaa aaaaQ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = + += = ， ， 即： 即： 梦飞翔考研工作室提供2011年考研公共课程+专业课程资料.完整高清视频+讲义让您考研无忧！：81321659 ：13258218644 梦飞翔考研工作室提供2011年考研公共课程+专业课程资料.完整高清视频+讲义让您考研无忧！：81321659 ：13258218644 )1( 12 PEQ = = ()()( () ) ()())1()1( )1()1( 1212 1212 EAPPE PEAPEA TT T T = = = = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 200 011 012 100 011 001 200 010 001 100 010 011 【讲评】本题考查的知识点有：合同关系， 初等变换，初等矩阵，矩阵的乘法运算等． 【讲评】本题考查的知识点有：合同关系， 初等变换，初等矩阵，矩阵的乘法运算等． 二、填空题：每小题 4 分 二、填空题：每小题 4 分 （14）设（14）设β βα α,为 3 维列向量，为 3 维列向量， T β β为为β β的转 置向量，若 的转 置向量，若 T αβαβ相似于相似于 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 000 000 002 ，则，则α αβ β T 梦飞翔考研工作室提供2011年考研公共课程+专业课程资料.完整高清视频+讲义让您考研无忧！：81321659 ：13258218644 梦飞翔考研工作室提供2011年考研公共课程+专业课程资料.完整高清视频+讲义让您考研无忧！：81321659 ：13258218644 ＝________． ＝________． 【答案】2． 【答案】2． 【解析】因为【解析】因为 T αβαβ相似于相似于 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 000 000 002 ，根据 相似矩阵有相同的特征值， 得到 ，根据 相似矩阵有相同的特征值， 得到 T αβαβ的特征 值是而 的特征 值是而0 , 0 , 2α αβ β T 是一个常数，是矩阵是一个常数，是矩阵 T αβαβ 的对角元素之和，则的对角元素之和，则2002= =+ ++ += =α αβ β T ． ． 【讲评】本题考查的知识点有：相似矩阵有 相同的特征值，矩阵的特征值的和等于矩阵 的迹等性质． 【讲评】本题考查的知识点有：相似矩阵有 相同的特征值，矩阵的特征值的和等于矩阵 的迹等性质． 三、解答题： 三、解答题： （22） （本题满分 11 分）设 （22） （本题满分 11 分）设 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = ⎟ ⎟ ⎟ = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − −− = − = 2 1 1 , 240 111 111 1 ξ ξA (Ⅰ)求满足(Ⅰ)求满足 13 2 12 ,ξ ξξ ξξ ξξ ξ= == =AA的所有向 量 的所有向 量 32,ξ ξ ξ ξ； ； 梦飞翔考研工作室提供2011年考研公共课程+专业课程资料.完整高清视频+讲义让您考研无忧！：81321659 ：13258218644 梦飞翔考研工作室提供2011年考研公共课程+专业课程资料.完整高清视频+讲义让您考研无忧！：81321659 ：13258218644 (Ⅱ)对(Ⅰ)中的任一向量(Ⅱ)对(Ⅰ)中的任一向量 32,ξ ξ ξ ξ，证明： ，证明： 321 ,,ξ ξξ ξξ ξ线性无关． 线性无关． 【解析】 （Ⅰ）解方程【解析】 （Ⅰ）解方程 12 ξ ξξ ξ= =A， ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−−− → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−− − ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛−−− → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−− − − −− −− − 0000 2 1 2 1 10 2 1 2 1 01 0000 2 1 2 1 10 1111 2240 1111 1111 ． ． 故故 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 2 1 2 1 0 2 1 2 1 12 kξ ξ，其中，其中 1 k为任意常为任意常 梦飞翔考研工作室提供2011年考研公共课程+专业课程资料.完整高清视频+讲义让您考研无忧！：81321659 ：13258218644 梦飞翔考研工作室提供2011年考研公共课程+专业课程资料.完整高清视频+讲义让您考研无忧！：81321659 ：13258218644 数． 数． 解方程解方程 13 2 ξ ξξ ξ= =A， ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−= ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −−= 044 022 022 2 A， ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − → ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− − 0000 0000 2 1 011 2044 1022 1022 ， ， 故故 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛− + ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 0 0 1 1 0 0 2 1 323 kkξ ξ，其中 ，其中 32,k k为任意常数． 为任意常数． （Ⅱ）证明：由于 （Ⅱ）证明：由于 梦飞翔考研工作室提供2011年考研公共课程+专业课程资料.完整高清视频+讲义让您考研无忧！：81321659 ：13258218644 梦飞翔考研工作室提供2011年考研公共课程+专业课程资料.完整高清视频+讲义让您考研无忧！：81321659 ：13258218644 ()()0 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 00 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 1 11 31 21 31 21 21 ≠−=−+−= − − − = − − −−+−− ≠−=−。