2021年解析几何抛物线基础训练及解析.docx

精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -解析几何抛物线基础训练及解析一.挑选题1．〔2021 石家庄五校联考 〕如抛物线 y＝ ax2 的准线的方程为 y＝2,就实数 a 的值为 〔 〕A. 18B ．－ 18C．8 D ．－ 8[答案 ] B[解析 ] 由条件知,－ 1 ＝2,∴ a＝－ 1.4a 82．〔2021 合肥质检 〕已知点 M 〔1.0〕,直线 l：x＝－ 1,点 B 为 l 上的动点,过点 B 垂直于y 轴的直线与线段 BM 的垂直平分线交于点 P,就点 P 的轨迹为 〔 〕 A ．抛物线 B ．椭圆C．双曲线的一支 D ．直线[答案 ] A[解析 ] P 在 BM 的垂直平分线上,故 |PB|＝ |PM |.又 PB⊥ l,因而点 P 到直线 l 的距离等于 P 到 M 的距离,所以点 P 的轨迹为抛物线．3．〔文〕直线 y＝x －3 与抛物线 y2＝ 4x 交于 A.B 两点,过 A.B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为 P. Q,就梯形 APQB 的面积为 〔 〕A ． 48 B ． 56C．64 D ．72[答案 ]A[解析 ]由题意不妨设A 在第一象限,联立y＝ x－ 3 和y2 ＝4x 可得 A〔9.6〕, B〔1,－ 2〕,而抛物线的准线方程为 x＝－ 1,所以 |AP|＝ 10, |QB |＝ 2,|PQ|＝ 8,故 S 梯形APQB＝ 1〔|AP|＋ |QB|〕 2|PQ|＝ 48,应选 A.〔理〕〔2021郑州质量猜测 〕过抛物线 y2 ＝8x 的焦点 F 作倾斜角为 135的直线交抛物线于A.B 两点,就弦 AB 的长为 〔 〕A ． 4 B ． 8C．12 D ．16[答案 ] D[解析 ] 抛物线 y2＝ 8x 的焦点 F 的坐标为 〔2.0〕 ,直线 AB 的倾斜角为 135,故直线 AB的方程为 y＝－ x＋ 2,代入抛物线方程 y2＝ 8x,得 x2－ 12x＋ 4＝ 0.设 A〔x1 ,y1 〕, B〔x2, y2〕, 就弦 AB 的长 |AB|＝ x1＋ x2＋ 4＝ 12＋4＝ 16.4． 〔2021 湖北武汉调研 〕已知 O 为坐标原点, F 为抛物线 C：y2＝ 4 2x 的焦点, P 为 C第 1 页,共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -上一点,如 |PF |＝ 4 2,就△ POF 的面积为 〔 〕A ． 2 B ． 2 2C．2 3 D ．4[答案 ] C2|y0 | |OF |＝ 2 3,选 C.[解析 ] 设 P 点坐标为 〔x0,y0〕,就由抛物线的焦半径公式得 |PF |＝x0＋ 2＝ 4 2,x0＝ 3 2,代入抛物线的方程,得 |y0 |＝2 6, S△ POF＝ 15．〔文〕〔2021辽宁五校联考 〕已知 AB 为抛物线 y2＝ 2x 的一条焦点弦, |AB|＝4,就 AB 中点 C 的横坐标为 〔 〕2A ． 2 B ．1C.32D ．52[答案 ] C [解析 ] 设 A〔x1, y1〕, B〔x2, y2〕,就 |AB|＝ x1＋ x2＋1＝ 4,∴ x1＋ x2＝ 3,∴ x1＋ x2＝ 3,即2 2AB 中点 C 的横坐标为 3.2〔理〕〔2021武昌模拟 〕 直线 y＝ k〔x－ 2〕交抛物线 y2＝ 8x 于 A, B 两点,如 AB 中点的横坐标为 3,就弦 AB 的长为 〔 〕A ． 6 B ． 10C．2 15 D ．16[答案 ] B[解析 ] 将 y＝ k〔x－ 2〕代入 y2＝ 8x 中消去 y 得, k2x2－ 〔4k2＋ 8〕x＋ 4k2＝ 0,设 A〔x1, y1〕, B〔x2, y2〕,＋ 824k∴ x1＋ x2＝k2 ＝6,∴ k＝ 2,∴ |AB|＝ 1＋k2|x1－ x2|＝ 5 x1＋ x2 2 － 4x1x2＝ 5 36－ 4 4＝ 10.6．已知直线 l 1：4x－ 3y＋ 6＝0 和直线 l 2： x＝－ 1, P 为抛物线 y2＝4x 上一动点,就点P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值为 〔 〕 A ． 2 B ． 311 37C. 5 D ．16[答案 ]A[解析 ]直线l 2：x＝－ 1 为抛物线 y2＝ 4x 的准线,由抛物线的定义知,P 到 l 2 的距离等于 P 到抛物线的焦点 F 〔1.0〕的距离,故此题化为在抛物线 y2＝4x 上找一个点 P,使得 P 到第 2 页,共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -点 F〔1.0〕 和直线 l 2 的距离之和最小, 最小值为 F 〔1.0〕到直线 l 1：4x－ 3y＋ 6＝ 0 的距离, 即 dmin＝|4－ 0＋ 6|＝ 2,应选 A.5[点评 ] 与抛物线有关的最值问题常见题型．〔1〕点在抛物线外,利用两点间线段最短求最小值．① 〔2021 甘肃天水调研 〕已知 P 为抛物线 y＝1 2 上的动点,点 P 在 x 轴上的射影为 M ,4x点 A 的坐标为 〔2.0〕 ,就 |PA|＋ |PM |的最小值为 ．[答案 ] 5－ 1x[解析 ] 如图,抛物线 y＝1 2,即 x2＝ 4y 的焦点 F〔0.1〕 ,记点 P 在抛物线的准线 l： y＝ 4－1 上的射影为 P′,依据抛物线的定义知, |PP′ |＝ |PF |,就|PP′ |＋ |PA|＝ |PF |＋ |PA|≥ |AF|＝ 22＋ 12＝ 5.所以 〔|PA|＋ |PM |〕min＝ 〔|PA|＋ |PP ′|－ 1〕 min＝ 5－ 1.〔2〕定点在抛物线内,利用点到直线的垂线段最短求最小值．② 〔2021 河南洛阳. 安阳统考 〕点 P 在抛物线 x2＝4y 的图象上, F 为其焦点, 点 A〔－ 1.3〕, 如使 |PF |＋ |PA|最小,就相应 P 的坐标为 ．[答案 ] 〔－1, 1〕4[解析 ] 由抛物线定义可知 PF 的长等于点 P 到抛物线准线的距离,所以过点 A 作抛物线准线的垂线,与抛物线的交点 〔－ 1,1〕即为所求点 P 的坐标,此时 |PF|＋ |PA|最小． 4③已知抛物线 y2＝ 2x 的焦点为 F ,点 P 为抛物线上的动点, 又定点 A〔3.2〕,求|PA|＋ |PF |的最小值,并求出取最小值时 P 点的坐标．[分析 ] 抛物线上点 P 到焦点 F 的距离等于点 P 到准线 l 的距离 d,求 |PA|＋ |PF|的问题可转化为 |PA|＋ d 的问题,运用三点共线可使问题得到解决．[解析 ] 将 x＝ 3 代入抛物线方程 y2＝ 2x,得 y＝ 6,∵ 6>2 ,∴点 A 在抛物线内部．第 3 页,共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -设抛物线上点 P 到准线 l：x＝－由定义,知 |PA|＋ |PF |＝ |PA|＋ d,1的距离为 d, 2当 PA⊥ l 时, |PA|＋ d 最小,最小值为 7,2即|PA|＋ |PF |的最小值为 7,2此时 P 点纵坐标为 2,代入 y2＝ 2x,得 x＝ 2,即点 P 的坐标为 〔2.2〕．〔3〕抛物线上动点到定直线与抛物线准线 〔或焦点 〕距离和 〔或差 〕的最值转化为点到直线距离最小．④已知 P 为抛物线 y2＝ 4x 上一动点,就点 P 到直线 l： 2x－y＋ 3＝ 0 和 y 轴的距离之和的最小值为 〔 〕A. 3 B ． 5C．2 D ． 5－1[答案 ] D [解析 ] 由题意知, 抛物线的焦点为 F〔1.0〕．设点 P 到直线 l 的距离为 d,由抛物线的定义可知,点 P 到 y 轴的距离为 |PF |－ 1,所以点 P 到直线 l 的距离与到 y 轴的距离之和为 d＋|2＋ 3||PF |－ 1.易知 d＋ |PF|的最小值为点 F 到直线 l 的距离,故 d＋ |PF |的最小值为 ＝22 ＋ － 1 25,所以 d＋ |PF |－ 1 的最小值为 5－ 1. 〔4〕利用直角三角形斜边大于直角边求最小值．⑤ 〔2021 陕西质检 〕已知点 M 〔 －3.2〕为坐标平面内肯定点,如抛物线 y2＝2x 的焦点为 F ,点 Q 为该抛物线上的一动点,就 |MQ |－ |QF |的最小值为 〔 〕7A. 2 B ． 3C.52D ．2[答案 ] C[解析 ] 如图, |MQ ′ |－ |Q′F |＝ |MQ′ |－ |Q′ A′ |＝ |MA ′ |＝ |NA|＝ |NQ |－ |AQ|≤ |MQ|－|AQ|＝ |MQ |－ |QF |.〔其中 l 为抛物线的准线, QA⊥ l,垂足为 A, Q′ M ⊥ l 垂足为 A′ ,MN ⊥ QN 〕,第 4 页,共 15 页 - - - - - - - - - -精品word 可编辑资料 - - - - - - - - - - - - -∵抛物线的准线方程为 x＝－ 1,2＝∴ |QM |－ |QF |≥ |xQ ＋ 3|－ |xQ＋ 1|＝ 3－ 1 5,选 C.2 2 2〔5〕与其他曲线有关的抛物线最值问题．⑥ 〔2021 忻州联考 〕已知 P 为抛物线 y2＝ 4x 上一个动点, Q 为圆 x2＋ 〔y－ 4〕2＝ 1 上一个动点,那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线的准线距离之和的最小值为 ．[答案 ] 17－ 1[解析 ] 抛物线 y2＝ 4x 的焦点为 F 〔1.0〕,圆 x2＋ 〔y－ 4〕2＝ 1 的圆心为 C〔0.4〕,设点 P 到抛物线的准线。