《点、线、面之间的位置关系-用等体积法解点到面的距离和体积立几题》文字素材1（苏教版必修2）.doc

用等体积法解点到面的距离和体积立几题立体几何是每年高考中的一个重要考查对象,在每年的高考中都占有很大的比例解立体几何题需要我们的看图、读图、绘图能力；也需要我们的转化能力及空间想象能力.因此许多同学学习起感觉到很困难很麻烦，导致在高考中失分较多，影响考试的成绩纵观近年的高考,我们不难发现，在立体几何的考试中，经常考查到求点到面的距离和体积的问题，而这些问题的解决有时借助常规的方法并不能轻松地获得结果.这时如果能想到等体积法，则可以给你一种“柳暗花明又一村”的感觉.下面我们将从几道高考题中感受到这种方法带给我们的好处一） 用等体积法求点到平面的距离 1. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．(1) 证明：D1E⊥A1D　；(2) 当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离；(3) AE等于何值时，二面角D1－EC－D的大小为．(1)，（3）略．（２）解：设点Ｅ到平面ＡＣD1的距离为h，在ΔＡＣD1中，ＡD1＝，ＡＣ＝ＣD1＝，故＝＝， 而＝＝． ∵　 ∴　　∴h=．2. 如图，已知四棱锥P—ABCD ，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120。

Ⅰ）求点P到平面ABCD的距离；（Ⅱ）求面APB与面CPB所成二面角的大小Ⅰ）解：取AD的中点E，连结PE，BE∵ΔPAD为等边三角形 ∴PE⊥AD 又∵PB⊥AD ∴AD⊥平面PBE ∴AD⊥BE ∴ ∠PEB为平面PAD与平面ABCD所成二面角的平面角，即∠PEB=120°设点P到平面ABCD的距离为h, ∵VP—ABE= VA—PBE ∴h= ==PEsin120°= 所以点P到平面ABCD的距离为评：本题巧妙地借助二面角PEB所在平面与棱AD的垂直关系构造了三棱锥P—AEB，从而避免了直接作P到平面ABCD的距离而求 （二）用等体积法求锥体体积3. 如图，已知VC是ΔABC所在平面的一条斜线,点N是V在平面ABC上的射影，且在ΔABC的高CD上AB=a,VC与AB之间的距离为h，点M∈VCⅠ）证明∠MDC是二面角M—AB—C的平面角；（Ⅱ）当∠MDC=∠CVN时，证明VC⊥平面AMB；（Ⅲ）若∠MDC=∠CVN=θ（0＜θ＜），求四面体MABC的体积Ⅰ）、（Ⅱ）略Ⅲ）解：由（Ⅰ）、（Ⅱ）知AB⊥平面MDC,MD为VC与AB之间的距离，即MD=h，∵∠MDC=θ， 由（Ⅱ）知MC⊥MD ∴MC=htanθ∴SΔMCD=MDMC=h htanθ ∴VMABC= VA—MCD +VB—MCD=S△MCD●AB=a h htanθ=ah2tanθ 所以四面体MABC的体积是ah2tanθ评：本题巧妙地借助了棱AB与二面角∠MDC所在平面垂直关系构造了三棱锥A—CD及三棱B—CDM，从而避免了直接求ΔABC的面积及底面ABC上的高。

4. 如图，已知正四棱柱ABCD—A1 B1 C1 D1，点E在棱DD1上，截面EAC∥D1B，且面EAC与底面ABCD所成角为45°，AB=aⅠ）求截面EAC的面积；（Ⅱ）求异面直线A1B1与AC之间的距离；（Ⅲ）求三棱锥B1—EAC的体积解：（Ⅰ）、（Ⅱ）略Ⅲ）连结BD交AC于O，连结B1O由（Ⅰ）可知AO⊥平面B1BDD1且ΔAOE≌ΔCOE ,LAO=CO=a ,AO为三棱锥A—EOB1的高,又∵SΔEOB= S矩形BDDB－ SΔEOD－SΔBOB－ SΔEDB =a ∴VB1—EAC=2VA—EOB =2aa=a所以三棱锥B1—EAC的体积是a评：本题巧妙地借助了AC与平面B1BDD1所在平面垂直的关系构造了三棱锥A—EOB1及三棱锥C—EOB1，从而避免了直接求平面AEC上的高通过以上4道的解答,我们不难看出等体积法在处理点到面的距离和体积时非常有效,因此我们在平时的学习中应该掌握.利用等体积法我们能够从侧面迂回地解决一些从正面较难下手的问题——这是数学中的一种重要思想方法.在利用等体积法时我们应该在原图形中寻找到一个较容易计算出面积及其高的面来。