高级微观经济学期末复习.doc

第一部分:消费者理论一、效用函数存在性证明参照书二、效用函数,求瓦尔拉斯需求函数解答：从效用函数可知商品2对消费者没效用,因此最大化效用的成果是所有的收入都用于购买商品1,对商品2的需求为0，，或者由可得到事实上,这是一种边角解,三、效用函数，求其1、瓦尔拉斯需求函数，间接效用函数，2、希克斯需求函数，支出函数答案：1、，,２、，,(形式也许不同样）四、证明对偶原理中的1.2． 　 　 　 　 　 　 　 　 参照书五、效用函数，推导斯拉茨基方程，并分析替代效应、收入效应和总效应参照书六、效用函数,求其货币度量的直接和间接效用函数答案:七、效用函数,当,，求其等价变化和补偿变化答案: ，,八、分析福利分析在税收方面的应用参照书九、，假定,，，对商品１开征消费税0.２５元求开征消费税的无谓损失（涉及两种状况)解答：mａx　 s.t. 1．求瓦尔拉斯需求函数（1)建立拉格朗日函数(2）求极值一阶条件 　 　 （a)　 　 (b) (c)由(a)和(b）整顿得:(3）瓦尔拉斯需求函数分别将，代入预算约束(c),有 　 2.求间接效用函数将瓦尔拉斯需求函数代入目的函数，有3．求支出函数由间接效用函数,求反函数得:4.求希克斯需求函数法一:将支出函数代入瓦尔拉斯需求函数,得到 法二:根据谢伯特引理,对支出函数对价格求导，也可得到希克斯需求函数。

５．求货币度量的效用函数(1）货币度量的直接效用函数由，有(2）货币度量的间接效用函数６.下标0表达征税前，下标1表达征收消费税后等价变化分析:按照征税前的价格计算的,消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：商品税与收入税对消费者的福利之差为:表白商品税对消费者的福利影响更差 　补偿变化分析:按照征税后的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化：商品税与收入税对消费者的福利之差为:=0．1２13表白商品税对消费者的福利影响更差2.D.3设ｘB，　xB，[0，１］.　 令x=ｘ+(１－) ｘ,由于x是一种凸集，因此xX． 　　故pۤۤۤۤ∙x＝(p∙ｘ)＋ (１-）（p∙x)≤w+ (１－)w=w因此,xB.２．E.５ 由于x(p,w）对w是一次齐次的，因此对任意＞０有x(ｐ，w)=ｘ(p,ｗ).因此，x(p，w)=　x(p,1)w.由于当k≠l时，(p，1)/＝ (p）/=0因此 x(ｐ，１）只是有关ｐ的函数，即可记为x(ｐ，w)＝ ｘ( p）.又由于x(p,w）满足零次齐次性,因此x(　p)必然是p的-１次方因此，存在〉0时，使x(　p）=/ ｐ.根据瓦尔拉斯定律,∑p（/ p)w＝ｗ∑=w.因此有∑＝１　是个常数．解： 2.Ｆ． 3　 (a) 若100∙1２０+1００y≤1０0∙１00＋1０0∙１00且100∙1０0+80∙1０0≤100∙1２０+80y 即,y∈[75,80]时，她的行为与弱公理矛盾. 　 （b) 若1０0∙1２0＋100ｙ≤100∙100+10０∙1００且100∙１００+８0∙10０>１00∙120+80y即,y<7５时,消费者在第１年的消费束显示出优于第２年的消费束.　　　 　 （c) 若１00∙1２0+100y>100∙１0０＋10０∙１０0且10０∙１00＋８0∙１00≤10０∙12０+8０y即，ｙ>80时,消费者在第2年的消费束显示出优于第1年的消费束.(注:ｂ,c假定弱公理成立) 　 　 　 (d) 无论y取何值，均有充足的信息来断定ａ,b,ｃ 中有一种成立 　 (e） 当y<75时,商品1是劣等品.1００∙120＋100y≤100∙100+100∙100且100∙１00+８0∙10０＞100∙１２0＋８０y因此第2年的实际收入水平低于第1年的实际收入水平,同步商品1的相对价格上升．但是,由于y＜７５<100,商品2的需求量下降,这意味着商品1的收入效应是负的.故商品１(在某一价格上)是劣等品.(f) 当8０<ｙ<100时，商品2是劣等品.１０0∙1２０+１00ｙ＞１00∙100＋100∙１0０且1０0∙1０0＋80∙１０0≤1００∙1２０+80y因此第２年的实际收入水平高于第1年的实际收入水平,同步商品２的相对价格下降．但是,由于y<100,商品2的需求量下降,这意味着商品2的收入效应是负的．故商品2(在某一价格上)是劣等品.解:3.Ｄ.6 (a） 　令（x）=u（ｘ)=(ｘ- ｂ)(x－ b)(ｘ- b),其中,，由于函数u→u是单调变换,因此, ,(•)与u(•)代表相似的效用水平. 因而我们可以不失一般性的假定． (b） 对已给出的效用函数进行另一种形式的单调变换： ｌnu(x)=lｎ(x- b）+ln(x- b)＋ｌｎ（x- b）.　　　 根据ＵMP的一阶条件得出瓦尔拉斯需求函数: 　 　x（ｐ，ｗ)=( b，　b, ｂ)＋(ｗ－ｐ∙ｂ)（/p，,) 　 其中p∙b＝ 将此需求函数代入u(•），得到间接效用函数: v(p,w)=　（w-p∙b)（本题(a）中验证3.E．２和3．E.3不用作。

)解:3.Ｇ.３ 　　（a) 假设 .对于效用函数: ｌnu(x)＝ln(x- b)+lｎ(ｘ－ b)＋ln(ｘ- b)．根据ＥMP一阶条件得：h(p,u）= （ ｂ, b, b)+u将此函数代入p∙h(p,u),得到支出函数:e(ｐ,u)=p∙b+ｕ． 其中, p∙b=.(b)对(a)中求出的支出函数求导，通过与ｈ(p,ｕ)比较，可得到支出函数的导数即为（ａ）中所求出的希克斯需求函数　(c）根据(b）可得，Dh(p,ｕ)=Ｄe(p,u).　 　将a中的支出函数对ｐ求二阶导数，得到 = 在3.D.6中,我们得到x(p,w)＝( b, b, b)+(w-p∙b)(/p,,）　　　 于是,Dx(p,w）= (／p，,) 　 Dx(p,w)= －（w-p∙b）　( ｂ， ｂ, b) 　 根据以上成果，我们可验证斯拉茨基方程成立.　 （d) 根据Dh(p,u）=Ｄe(p,ｕ)以及 Dｅ(ｐ,u）即得e)根据＝Dh(p,ｕ)＝Dｅ（p,u),我们可得出Dｅ(p,ｕ）是半负定的,并且秩为2解:3.G．6　　 (a) 根据瓦尔拉斯定律，可得到：x=(w--）／(b) 是齐次的。

对于任意,有：１00-5++=100－5++，＝.(c) 由于斯拉茨基替代矩阵具有对称性，则有:＝ 　　 　 因此，代入＝１,整顿得: ＝ 　　 　　　 由于该方程对于所有和ｗ都成立,则有,=,=-5,　 　 　得， 　 　 =由于斯拉茨基矩阵的对角线上的所有元素均为非正的,则得到:=0代入=1,对角线上的第一种元素为:-5＋ 若≠０，则〉０，就可找到一组值使得上式〉0.故得：=0　 　　 　 因此,＝.X1（ｄ)由于对于任意价格,＝,因此消费者的无差别曲线呈L型，拐点在坐标轴的对角线上，如下图 　 　OX2(e) 根据d的结论,对于固定的,商品１和2的偏好可由表达,商品1和2的需求也无收入效应因此得到:=+或是该形式的单调变换解：3.I.7　　(a) 　根据瓦尔拉斯定律和零次齐次性,可得到三种商品的需求函数的定义域都是于是我们可以从需求函数中得到一种３3的斯拉茨基矩阵将该斯拉茨基矩阵的最后一行与最后一列去掉,可得到一种２2的子矩阵,为.根据瓦尔拉斯定律和齐次性,当且仅当22的子矩阵对称时，３3的斯拉茨基矩阵也对称。

同样，可得当且仅当22的子矩阵为半负定矩阵时，33的斯拉茨基矩阵也是半负定矩阵因此,效用最大化所蕴含的参数限制为：ｃ＝e,b≤0,ｇ≤０,且bg-c≥0.(b) 一方面，证明前两种商品相应的希克斯需求函数与效用水平无关，仅是前两种商品价格的函数，它等于已给出的瓦尔拉斯需求函数 　 　 =， = ｌ=１,2　　 　由于与收入无关,= 　　 　　　因此= 　 故,与效用水平无关，它等于已给出的瓦尔拉斯需求函数　 　 　 若价格变化是遵循途径:→→，则等价变化为： 　 +=＋ 　　　 =＋ 　　若价格变化是遵循途径:→→,则等价变化为： 　 　 　 +=+ 　 　 =+ 　 当且仅当ｃ＝e时，以上两种等价变化相等c) 由以上可知：＝=ａ＋（3/2）b+c　 　　 　 　 ＝=d+e+(３/2)g=ｄ+ｃ＋(3/2)g　 　 　 =( a+(3/2)b+c)＋(d+2e＋(3／2)g)＝a+（3/2)ｂ＋３c＋ｄ＋（3／２)ｇ　因此, -(＋）＝c　 与之和不涉及由于第二种商品的价格上升到2引起的图中需求函数的移动进而引起的等价变化的效应（同样也可指不涉及第一种商品的价格上升到2引起的图中需求函数的移动进而引起的等价变化的效应）。

从图中看出,当c=e〉0，涉及ABCD区域,但＋不涉及X1d+ed+2e201DCBAX2 (d) 由于=a＋2b+c，第一种商品的税收收入与它相等,因此,＝(　ａ＋(３/2）b＋c)-(a＋2b+c）＝-b/2由于=d+ｅ+2g,第二种商品的税收收入与它相等,因此,=(ｄ+e+(3/2)ｇ)-(d+e＋2ｇ)=-g/2由于=a＋2b+2c, =ｄ+２e+2g,两种商品的税收收入为:（ａ＋2b+2c)+（d+2e+２g)＝ａ+2b+4c＋d+2g因此，=（a+(３/2)ｂ+3c＋d+(3/2)g)-(a+2b+4c+d+2g)=－ｂ／2-c-g/2 　 　 　故,-（+)=－c(e）问题可以转化为：s.ｔ．　≥R 其中, 　=- 　 ＝－-建立拉格朗日函数:＝+(R-）对求一阶导数:-=0但是，由于／= 　＝+因此=／－　 　 　 　 　 　 - 　　 　　 　 　＝-因此一阶条件可以写为:+=0 　 　ｌ=1，２又由于Ｒ=,则-＝＝(a+ｂ+ｃ)+(d+c+g)=R第二部分:厂商理论一、 厂商的生产函数，求其要素需求函数和条件要素需求函数解答:（１）（2) 二、 产商的生产函数，求其成本函数和利润函数解答:将要素需求函数带入利润函数体现式就得到利润函数，将条件要素需求函数带入成本函数体现式就得到成本函数答案:三、 产商的生产函数,（1)用三种措施求其供应函数（2)假定生产要素2固定为k，再重新求其供应函数。