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如何理解直观与儿何直观——几何直观与小学数学教学（上）作者：史宁中作者简介：史宁中，东北师范大学博士生导师，义务教育数学课程标 准修订组组长，第十届、第十一届全国人大代表，国务院 学科评议组成员.原文出处：《小学教学》（郑州）2017年第20179下期 第4-7页内容提要：几何直观是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的十 大核心概念之一•在小学数学教学中，如何培养学生的几何 直观能力，是一个很有难度但又很有意义的话题•文章以如 何理解直观与几何直观为例，分享一些研究成果，以供广 大教师在日常教学中参考.期刊名称：《小学数学教与学》复印期号：2018年05期词:小学数学/直观/儿何直观/教学策略众所周知,几何直观是《义务教育数学课程标准（2011年版）》的十大核心概念之一 •在小学数学教学中,如何培养学生的几何直观能力,是一个有难度但又很有 意义的话题.我愿意尝试带领大家一起探讨这个话题，分享我的一些硏究成果，以供 广大教师在日常教学中参考.我们首先来讨论如何理解直观与几何直观.一、 问题的提出从某种程度上讲,直观和几何直观都是哲学或者心理认知学的名词.德国哲学家 康德在《纯粹理性批判》一书中曾说过：人类的一切知识都是从直观开始的,从那 里进到概念，而以理念结束.20世纪最伟大的数学家希尔伯特非常敬佩康德，把康德 的这句话作为自己著作《几何基础》的卷首扉页题词•现在"直观"这个词哲学上用 得非常多上匕如，现象学的创始人、当代哲学家胡塞尔，就反复使用〃直观"这个词.〃直观〃究竟是什么意思呢？哲学中，唯心主义和唯物主义最大的区别在于，人获 取的知识是否都是源于经验的•根据唯心主义,康德认为：人的一切知识并非都来源 于经验；人类具有认知的能力,称为直观（觉）；有一种先验于经验的直观,称为 先验直观,包括时间、空间和因果关系三个方面.暂且不讨论哲学上的问题,一些很有意思的问题值得我们思考：对于同样的物 理现象，为什么不同的人会得到不同的结论，从而获得不同的知识和不同的认知呢? 教育应该负起什么样的责任？教师应该培养孩子什么呢？二、 人和动物最大的区别L教育的本质教育的本质究竟是什么？ 1998年，我在《关于教育的哲学》一文中讨论了一个 很重要的问题："教育到底是人类生存的需要,还是社会发展的需要?”我当时得 到的结论是，教育是人类的一种本能，它不仅是社会发展的需要，更是人类生存的 需要，目的是人能更好地生存.经过10多年的思考，我发现当时的结论不够全面， 如果教育仅仅是一种本能的话，为什么人还要上学呢？后来，我又提出一个命题： 教育应当充分地彰显人与动物的巨大区别•这里所说的动物是指除人以外的所有动物.2.扩容的脑容量传统的说法认为,人和动物最大的区别是人会劳动•大家在观看《动物世界》节 目时会发现,有的动物也会劳动,所以用劳动来区别人和动物是不可以的.那会不会 像亚里士多德说的那样，人和动物的最大区别是人有思维呢？我发现动物也是有思 维的•比如,达尔文在《人类的由来》一书中有这样一个例子：有一次,一个猎人射 猎两只野鸭，都击中了翅膀掉在河的对岸，他的猎狗游过河取回，但它不可能把两 只野鸭都活着叼回来，一次只能叼一只•猎狗犹豫了一下，咬死一只放在那里，把另 一只活着叼回,然后再回去取被咬死的那只达尔文顺势提问：狗的这种行为,是本 能还是思维的结果呢？著名的古人类学家理查德利基在《人类的起源》中记载了一件事：有一次,- 只狒狒摘到了一根香蕉,后来看到别的狒狒来了,它就把这根香蕉藏了起来,若无 其事地在那里玩•等到别的狒狒走远，它才把香蕉拿出来吃了.换句话说，狒狒已经具 有欺骗行为•理查德•利基认为，欺骗行为就是思维的结果.美国的著名心理学家、行为科学之父盖洛普曾做过一个实验.有一次他在刮胡子 时不小心把自己的皮刮破了,之后他突然萌生了一个想法：在动物的脑门上点上一 个红点,然后让这只动物照镜子,如果这只动物去摸镜子,就说明它没有发现镜子 中的映像是自己；如果这只动物去摸自己的脑门,说明它发现了自己.于是他就用一 只黑猩猩做实验，发现黑猩猩摸自己脑门上的红点，所以猩猩已经意识到了自己.人 类到了4岁的时候才能意识到自己的存在，所以黑猩猩的这种行为肯定是思维的结 果.我认为，人和动物最大的区别是先天决定的，首先就应该体现在人类具有扩充 了脑容量的大脑•人的大脑容量现在是1350毫升，而与人类同体积的动物，其大脑 容量最多也仅仅是400毫升.对于一般动物来说,生下来的幼崽脑容量应该是成年脑rvMHHT* mu n r nKKDr9 ni "n| 1T容量討—I.但是，新生儿脑容量只有成年人脑容量 —I （约400毫升）.所以，每一个人生下来时都是〃早产儿"如果新生儿脑容量是成年人脑容量的 右， 那么每一名母亲都得长两米多高,而且得怀胎20个月.幸运的是,人类自身具有极 强的保护新生儿的能力，新生儿在出生以后的很长一段时间里，不长肌肉，也不长 骨骼，只长脑袋•所以抱小孩时，我们得托着小孩的头，因为他的脖子不足以支撑他 的头部.孩子到6岁要上学的时候，脑容量已经长到成年人的90% ,直到14岁时脑 容量才达到1350毫升.3.良好的发音器官人和动物的另一个区别是人会说话.人之所以会说话,是因为人的发音器官比较 好,表现在人的喉头长在下方•跟动物一样,刚出生时婴儿的喉头长在上方,因此他 可以一边哭一边吃奶•大约到了出生后第18个月时，婴儿的喉头就开始向下移动， 食管跟气管分开，直到14岁的变音期，他的喉头到达成年人正常的位置.因此,我将14岁之前的教育称作早期教育•这一阶段不要过分地使用大脑，而 要开发大脑.三、早期教育阶段应开发儿童的两种能力20世纪末，表观遗传学开始兴起.其硏究者发现，所有的动物在刚出生时携带所有基因，但如果后天得不到相应刺激，所携带基因便无法得到充分表达.比如，如果 在出生后1个月或2个月内不让婴儿看见东西的话，眼睛的视觉功能就会丧失•有研 究者用猴子做过实验：用布蒙住刚岀生的小猴子的眼睛,实验持续1个月，小猴子 彻底失明.再比如,在该教孩子说话的时候却不教他说话,等孩子长大了再教说话就 是一件非常吃力的事情.因此，在早期教育阶段，开发大脑是非常重要的.人脑容量增大之后的一个非常明显的表现，就是人会制造工具.动物会使用工具, 但不会制造工具.到目前为止，发现脑容量大的动物，是在200万年前出现的类人猿, 而到目前发现最早的能称为工具的石器，也是200万年前出现的.因此，我们可以断 定,脑容量增大了的类人猿——它们或许是人类的祖 一制造了工具•制造工具需 要一种什么能力呢？我认为是想象能力.因为制造工具的难点在于人事先要想好所造 工具的样子,然后再去制造.因此在小学阶段,包括在幼儿园阶段,一定要培养儿童 的想象能力.那么，语言表达培养的是什么能力呢？我认为是抽象能力•因为语言具有抽象性. 在交流时，双方并没有拿出实物，但是彼此都能听懂.综上所述，儿童在14岁之前的早期教育极为重要.小学阶段的教育是很重要的, 是儿童在没有完全成熟时进行的教育,是一种开发各种能力的教育.其中，我认为培 养儿童想象能力和抽象能力是非常重要的.四、两种能力与直观的关系之所以强调直观，是因为从我个人的经验来讲，所有的数学结果都能〃看"出 来.重要的结果是〃看"出来的，而不是证出来的.能把结果〃看"出来的能力，不是 教师教出来的，而是需要依靠学生自己领悟的.这个"看"的能力在本质上就是一种 智慧•而我认为这种智慧主要就表现在想象能力和抽象能力，它们与直观联系得非常 紧密.因此,一个人是否会想问题,主要依靠的是经验的积累•人的知识确实是来自于 经验的，但是经验是可以积累的上匕如,是否会想问题,是否会做事情,这两种经验 的积累，对儿童来说是极为重要的，是能够决定他一生能否很好生活的基础.五、对直观与几何直观的理解1•对直观的理解在哲学中，直观是指通过对客观事物的直接接触而获得感性认识的一种方式，关注的是人如何能够认识事物•而我认为,直观是指通过对客观事物的直接接触而认 识事物的一种方式,关注的是人是如何认识事物的.我认为教育学与哲学(以及心理 学)的一个重大区别表现在,教育学关心的是人如何认识事物,不应考虑人这样表 现的理由.因此,在这种意义上,我们可以将直观分为两种：一种是感性直观,另一 种是理性直观.(1)感性直观感性直观是指接触到客观事物，基于生活经验，直接通过联想、类比、分类等, 对客观事物建立起相应的知识联系.它运用的是知觉和感性认识•正如康德所说，人受 外部对象的刺激并做出适当的反应而产生的表象就是感性直观•它不仅有感性经验， 还有知觉判断,进而形成知识•换句话说,感性直观就是人对事物的表象马上产生的 一种认识”但这种认识跟逻辑思维的关系并不密切.(2)理性直观一个数学直观非常好或者数学素养非常高的人，可以越过长时间的思考马上看 到结果.我们将这种直观称为理性直观，它是指当遇到问题后，一个人能够跨越长时 间的理性思考和逻辑分析过程，基于思维经验直接认识问题，理解问题的本质，找 到解决问题的思路,推断岀问题的结论•我认为,教育只需要关心三件重要事情：- 是理解事物的本质,二是启发解决问题的思路,三是直接推断问题的结论•此时便需 要运用概念，因此，这是一种理性的分析.(3)数学教育与数学直观的关系已修订的高中数学课程标准中提出，要发展学生的数学核心素养，最终使学生 会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表 达现实世界• ”三会”就是数学核心素养的本质•无论进行怎样的课程改革,如果要用 一句话表达数学教育的根本,那就是培养学生的数学直观.因为数学的结论是〃看" 岀来的,不是〃证"岀来的.〃看"依赖的就是数学直观,是〃三会"的现实表现.备课时,教师们都关注过程性目标,我建议在过程性目标上再加上几句话：经 历过程之后，要让学生感悟数学的本质，积累思维的经验和做事的经验.仅仅经历过 程是不行的，还要让学生理解数学本质，感悟数学思想.《义务教育数学课程标准(2011年版)》在传统的基础知识和基本技能的基础上，增加了感悟数学基本思想, 积累数学基本经验•我认为,基本经验只有两个：一个是思维的经验,另一个是做事 的经验.数学核心素养是要回答通过数学教育,培养什么样的人的问题.现在看来，从基 础教育到大学阶段的数学教育，除培养学生的科学精神、实践能力和创新意识之外, 还希望学生会用数学的眼光观察现实世界,会用数学的思维思考现实世界,会用数 学的语言表达现实世界.这即是数学教育的培养目标，也是对经过数学教育而培养出 的人的描述•〃会用数学的眼光"就是抽象，即一般性地看问题，舍去物理背景地看 问题；〃数学思维〃就是逻辑推理;在现代社会中，〃数学的语言〃就是模型我们 最终就是要培养学生抽象、推理、模型这三种思想.数学直观是一个人经过日积月累的数学思维而形成的,是逐渐养成的一种思维 习惯” 一种数学素养.在这种意义上”所有的学科都应该把培养学生的直观作为本学 科的终极培养目标•因此,直观是极为重要的,希望教师们在日常课堂教学中逐渐开 始渗透.2.对几何直观的理解数学直观不仅包含几何直观,还包含代数直观、统计直观”但是只有几何直观 好理解、看得见、摸得着.在1900年第二届国际数学家大会上，希尔伯特曾说过： 算术符号是文字化的图形,而几何图形则是图像化的公式,没有一个数学家能缺少 这些图像化的公式•这句话的意思是,在思考问题时,我们往往通过画几何图来理解 问题，启发思路，得到结论•正如前文所述，这正是直观的三个本质功能.但是，仅仅 通过几何是不行的，最后要通过代数式进行刻画•比如在高中阶段，学生在做几何题 目时要想到代数式，看到代数式时头脑中要有几何图形.在小学阶段，要让学生。