第27届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案.docx

第27届全国中学生物理竞赛复赛试卷及答案2010年全国中学生物理竞赛复赛试卷（第二十七届）本卷共九题，满分160分.计算题的解答应写生必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤.只写生最后结果的不能得分.有数字计算的题.答案中必须明确写生数值和单位.填空题把答案填在题中的横线上，只要给由结果，不需写生求解的过程.g = 9.80 m/ s2 ,一、（15分）蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器（见图）.若干个摆球位于同一高度并等间距地排成一条直线，它们的悬桂点在不同的高度上，摆长依次减小.设重力加速度1 .试设计一个包含十个单摆的蛇形摆（即求生每个摆的摆长），要求满足：（a）每个摆的摆长不小于0.450m,不大于1.00m;（b）初始时将所有摆球由平衡点沿x轴正方向移动相同的一个小位移xo（xo<<0.45m）,然后同时释放，经过40s后，所有的摆能够同时回到初始状态.2 .在上述情形中，从所有的摆球开始摆动起，到它们的速率首次全部为零所经过的时间为全国中学生物理竞赛复赛 #--33、（20分）距离我们为L处有一恒星，其质量为M观测发现其位置呈周期性摆动，周期为T,摆动范围的最大张角为△（）.假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它作圆周运动的行星引起的，试给由这颗行星的质量m所满足的方程.若L=10光年，T=10年，△e=3毫角秒，M=Ms（Ms为太阳质量），则此行星的质量和它运动的轨道半径各为多少？分别用太阳质量Ms和国际单位AU（平均日地11 角秒，1角秒二3600距离）作为单位，只保留一位有效数字.已知1毫角秒=康度，1AU=1.5X108km,光速c=3.0x105km/s.三、（22分）如图，一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为m,半径为R,螺距H=兀R,可绕竖直的对称轴OO'无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计.一质量也为m的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动，首先扶住小球使其静止于螺旋环上的某一点A，这时螺旋环也处于静止状态.然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，螺旋环便绕转轴OO',转动.求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为h时，螺旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小.四、(12分)如图所示，一质量为m电荷量为q(q>0)的粒子作角速度为3、半径为R的匀速圆周运动.一长直细导线位于圆周所在的平面内，离圆心的距离为d(d>R),在导线上通有随时间变化的电流I,t=0时刻，粒子速度的方向与导线平行，离导线的距离为d+R.若粒子做圆周运动的向心力等于电流i,的磁场对粒子的作用力，试求由电流i随时间的变化规律.不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响.长直导线电流产生的磁感应强度表示式中的比例系数k已知.五、(20分)如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷量分别为+Q和-Q(Q>0),半径分别为R和R/2,小球面与大球面内切于C点，两球面球心。

和O'的连线MN&竖直方在MNf两球面的交点B、0和C处各开有足够小的孔因小孔损失的电荷量忽略不计，有一质量为m\带电荷为q(q>0的质点自M檄上离B点距离为R的A点竖直上抛设静电力常量为kg.1 .要使质点从A点上抛后能够到达B点，所需的最小初动能为多少？,重力加度为2 .要使质点从A点上抛后能够到达O点，在不同条件下所需的最小初动能各为多少？八、（20分）由单位长度电阻为r的导线组成如图所示的方形网络系列.n=1时，正方形网络边长为L,n=2时，力方形网络的边长为L/3;n=3时，最小正方形网络的边长为9.当n=1、2、3时，各网络上AB两点间的电阻分别为少？七、（15分）地球上的能量从源头上说来自太阳辐射到达地面的太阳辐射（假定不计大气对太阳辐射的吸收）一部分被地球表面反射到太空，其余部分被地球吸收.被吸收的部分最终转换成为地球热辐射（红外波段的电磁波）.热辐射在向外传播过程中，其中一部分会被温室气体反射回地面，地球以此方式保持了总能量平衡作为一个简单的理想模型，假定地球表面的温度处处相同，且太阳和地球的辐射都遵从斯忒蕃一玻尔兹曼定律：单位面积的辐射功率J与表面的热力学温度T的四次方成正比，即J=1,其中＞是一个常量.已知太阳表面温度Ts=5.78X103K，太阳半径Rs=6.69X105km,地球到太阳的平均距离d=1.50X108km.假设温室气体在大气层中集中形成一个均匀的薄层，并设它对热辐射能量的反射率为P=0.38.1 .如果地球表面对太阳辐射的平均反射率a=0.30，试问考虑了温室气体对热辐射的反射作用后，地球表面的温度是多少？2 .如果地球表面一部分被冰雪覆盖，覆盖部分对太阳辐射的反射率为a1=0.85,其余部分的反射率处a2=0.25.间冰雪被盖面占总面积多少时地球表面温度为273K.八、220分）正午时太阳的入射光与水平面的夹角9=450.有一座房子朝南的墙上有一个直径W=l0cm的圆窗，窗口中心距地面的高度为H.试设计一套采光装置，使得正午时刻太阳光能进人窗口，并要求进入的光为充满窗口、垂直墙面、且光强是进人采光装置前2倍的平行光.可供选用的光学器件如下：一个平面镜，两个凸透镜，两个凹透镜；平面镜的反射率为80%,透镜的透射率为70%,忽略透镜表面对光的反射.要求从这些器件中选用最少的器件组成采光装置.试画由你所设计的采光装置中所选器件的位置及该装置的光路图，并求生所选器件的最小尺寸和透镜焦距应满足的条件.网＜H7777777777777777777777九、（16分）已知粒子1和粒子2的静止质量都是m。

粒子1静止，粒子2以速度vo与粒子1发生弹性碰撞.1 .若碰撞是斜碰，考虑相对论效.试论证：碰后两粒子速度方向的夹角是锐角、直角还是钝角.若不考虑相对论效应结果又如何?2 .若碰撞是正碰，考虑相对论效应，试求碰后两粒子的速度.全国中学生物理竞赛复赛11--33解答一、参考解答：1.以L表示第i个单摆的摆长，由条件（b）可知每个摆的周期必须是40s的整数分之一，即Ti2#"（Ni为正整数）（1）,gM［（1）式以及下面的有关各式都是在采用题给单位条件下的数值关系.］由（1）可得，各单摆的摆长(2)l400gli~2nNi依题意，0.450mli1.000m,由此可得20 20—•::g Ni式 汽0：5(3)全国中学生物理竞赛复赛 #--33(4)20Ni29因此，第i个摆的摆长为i12345678910li/m0.9930.9010.8210.7510.6900.6350.5880.5450.5070.472(5)400gli(i1，2^,，10)2.20s评分标准：本题15分.第1小问11分.（2）式4分，（4）式4分，10个摆长共3分.第2小问4分.、参考解答:设该恒星中心到恒星—行星系统质心的距离为d，根据题意有(1)将有关数据代入（1）式，得d5103AU.又根据质心的定义全国中学生物理竞赛第赛 #--33rdMdm(2)式甲r为行星绕恒星做圆周运动的轨道半径，即行星与恒星之间的距离.根据万有引力定律有Md红T(3)白（2）、（3）两式得4任2d3"GT1(4)若考生用r表示行星到恒星式写为rMd,把（3）式写为m生行星系统质心的距离，从而把⑵2Mm2冗G2Md—rdT,则同样可得到⑷式，这也是正确的.］利用（1）式，可得mL21Mm2GT32花"2(5)（5）式就是行星质量m所满足的方程.可以把（5）试改写成下面的形式332mMLu21mM2GMT2(6)因地球绕太阳作圆周运动，根据万有引力定律可得3.(1AU)GMs22(1y)24,(7)注意到MMs,由（6）和（7）式并代入有关数据得(8)mMs31028.6101mMS由(8)式可知mMSS全国中学生物理竞赛复赛 #--33由近似计算可得m1103MS(9)由于m/M小于1/1000,可近似使用开普勒第三定律，即(10)r3(1AU)3产(1y)2(11)(3)式4分，(5)式3分,代入有关数据得r5AU评分标准：本题20分.(1)式2分，(2)式3分，(9)式4分，(11)式4分.三、参考解答：解法一一倾角为的直角三角形薄片(如图1所示)紧贴于半径为R的圆柱面，圆柱面的轴线与直角三角形薄片的沿竖直方向的直角边平行，若把此三角形薄片卷绕在柱面上，则三角形薄片的斜边就相当于题中的螺线环.根据题意有tan(1)可得52、5⑶sin-,cos—^―(2)设在所考察的时刻，螺旋环绕其转轴的角速度为，则环上每一质量为mi的小质元绕转轴转动线速度的大小都相同，用U表示，uR(3)该小质元对转轴的角动量2Lim,uRm,R整个螺旋环对转轴的角动量LLimR2mR2(4)小球沿螺旋环的运动可视为在水平面内的圆周运动和沿竖直方向的直线运动的合成.在螺旋环的角速度为时，设小球相对螺旋环的速度为v,则小球在水平面内作圆周运动的速度为vivcosR(5)沿竖直方向的速度vvsin(6)对由小球和螺旋环组成的系绕，外力对转轴的力矩为0,系统对转轴的角动量守恒，故有0mv|RL(7)由(4)、(5)、(7)三式得vcosR=R(8)1 2一 mW2(9)在小球沿螺旋环运动的过程中，系统的机械能守恒，有1122mgh—mvv2由（3）、（5）、（6）、（9）四式得2gh=vcos22.2RvsinR2(10)解（8）、（10）二式,并利用（2)式得_13=—R2gh(11)10gh(12)由（6）、（12）以及（2）式得2v.3gh(13)或有v221gh(14)（14）式表明，小球在竖直方向的运动是匀加速直线运动,其加速度1a3g(15)若小球自静止开始运动到所考察时刻经历时间为t,则有h=-at22由(11)和(16)式得(16)(17)（17）式表明，螺旋环的运动是匀加速转动，其角加速度g3R(18)小球对螺旋环的作用力有：小球对螺旋环m、n2cR全国中学生物理竞赛复赛17--33的正压力Ni,在。