复杂应力状态下的变形比能.docx

第24讲教学方案——应力状态理论(ill)基本内容1.广义胡克定律2 .体积应变材料弹性常数关系G = E/2(1 +P)3. 平面应力状态的测定4. 变形比能体积改变比能与形状改变比能教 学 目 的1. 建立体积应变的计算关系式2. 导出材料弹性常数关系G = E/2(1 +p)3. 掌握平面应力状态的测定方法4. 建立变形比能、体积改变比能与形状改变比能的计算式5. 阐明变形比能的关系式的导出为建立强度理论打下了基础重 点难 点1. 重点掌握材料弹性常数关系G = E/2(1 +p)的推导方法2. 掌握变形比能、体积改变比能与形状改变比能的计算形式3. 掌握平面应力状态的测定方法和数据处理方法4. 难点是平面应力状态的测定中的应力应变关系，应用应变花 测量时的计算关系教学安排本次教学计划学时：2学时课堂讨论：1. 应用应变花测量平面应力状态时的计算关系式的导出，是 广义胡克定律在应力应变状态分析中的具体应用2. 材料弹性常数关系式G = E/2(1 +p)的意义3. 体积改变比能与形状改变比能的计算式的导出的意义§9-5广义胡克定律一、胡克定律1. 拉压时a = E8或&=—，横向线应变£' = -M =-日亶E ET2. 纯剪切时c = Gy或y = g3. -般三向应力状态九个应力分量有六个量是独立的，互等定理，剪切应力独立三个，看成是三组单向应力状态和三组纯剪切的组合。

条件：1 ）各向同性材料：2）线弹性小变形范围内线应变只与正应力有关，而与剪应力无关，剪应变只叠加：与剪应力有关，而与正应力无关8X8y8z=xyxy GT y = ^z yz Gyzx=—zx-当单元体六个面都是主平面时：第 二 十 四 讲主应变：8 = E 卜-pG +b )]8 = E t 一 pG +b》8 = E In - p(b +b )]体积改变量与应力分量的关系：变形前六面体体积：V=abc变形后：V =(a + Na)6 + Ab)C + Ac)= abc( + £ )( + £ )( + £ )1 1 2 3坪^ G1 +b 2+b 3)体积应变，单位体积改变：V^ = 8 +8 +6V 1写成：0_ 3(1 - 2四)G] +b2 +b)= b .: - 1 __3 3 km ；体积弹性模量：k = 3(1 ^.)+)1 32 3平均值二、各向同性材料弹性常数间的关系求证：证明：取纯剪状态下的微分单元体a =-45 a =-135b =-b =TE 1-pb ]=匕(1 +p)3 E直角wy剪应变，Yxy=xy对单元体abc来说：b =b =b = 0，8 =8 = 08i 2G所以得：G = 2（EU（只适用于各向同性材料）—2t xy三、二向应力状态下主平面方位公式 :tan 2ao b —bx yEx一呻 y ］； 8 广 EL y 一呻 x I1f2 x + 吃）则：tan 2a—2t= xy—0 b —bif2疽咤）t = Gyxy xy—y x^_8 x -8 y主应变与主应力方向是重合的，将主应变带入到广义胡克定律计算主应力。

§9-7复杂应力状态下的变形比能体积应变比能与形状改变比能1.单向拉压时’变形比能”=2吹2.三向应力状态下：弹性变形能等于外力功，只决定外力最终数值，与外力作用次序无关，能量守恒原理，否则能量积累线弹性范围内：1 1 1u = —b 8 +—O 8 + —b 82 1 1 2 2 2 2 3 3[b 2 + b 2 + b 2 一 2V (bb +bb +bb )](8—17)2 E 1 2 3 1 2 2 3 3 1变形比能：体积变化储存的比能——体积改变比能ut体积不变，正方体成长方体一一形状改变比能u尤以：b ^ = G 1二2+b 3 )代替三个主应力，三个棱边变形相同1113u = u = -b 8 +-b 8 +-b 8 =— b 8v t 2 mm 2 mm 2 mm 2 m m由广义胡克定律：8 = !一业bm E m1 一 2四u = 6.(b +b )2u = — b 2 +b 2 +b 2 一 2^(b b +b b +b b )1一 1 一 2' (b +b +b )X 2 E 1 2 3 1 2 2 3 3 1 6 E 1 2 36E1 +日—b * + (b -b3* + (bb)2 ]1用来建立复杂应力状态下的强度条件。