新教材人教A版数学必修章册学案-3.1-3.1.1-第1课时-函数的概念1-含答案.doc

3.1　函数的概念及其表示3.1.1　函数的概念第1课时　函数的概念(一)学 习 任 务核 心 素 养1．在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念．(难点)2．体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用．3．了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域．(重点)1．通过对函数概念的理解，提升数学抽象素养．2．通过求简单函数的定义域，提升数学运算素养.(1)国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示．年度20122013201420152016201720182019中国创新指数148.2152.6158.2171.5189.5196.3212.0228.3以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？(2)利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如图所示．医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果(如根据两个峰值的间距来得出心率等)．如果用t表示测量的时间，v表示测量的指标值，则v是t的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？知识点　函数的概念定义一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数三要素对应关系y＝f(x)，x∈A定义域自变量x的取值范围值域与x的值相对应的y的函数值的集合{f(x)|x∈A}1.在函数的概念中，如果y＝f(x)的定义域与对应关系确定，那么函数的值域确定吗？[提示]　确定．2.如果y＝f(x)的定义域与值域确定，那么对应关系确定吗？[提示]　不确定．如函数的定义域为{－1,0,1}，值域为{0,1}，则对应关系可以为f(x)＝x2，或f(x)＝|x|.理解函数的概念应关注三点(1)函数的定义中有“三性”：任意性、存在性、唯一性，即对于非空数集A中的任意一个(任意性)数x，在非空数集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的数y与之对应，这三性只要有一个不满足便不能构成函数．(2)y＝f(x)仅是函数的一个符号，不表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也未必有解析式．(3)除f(x)外，还常用g(x)，F(x)，G(x)等来表示函数．1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)根据函数的定义，定义域中的任意一个x可以对应着值域中不同的y.(　　)(2)任何两个集合之间都可以建立函数关系．(　　)(3)函数的定义域必须是数集，值域可以为其他集合．(　　)(4)在函数的定义中，集合B是函数的值域．(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2.下图中能表示函数关系的是_______(填序号)．　　　 ①　　　　②　　　 ③　　　　④[答案]　①②④ 类型1　函数关系的判断【例1】　(1)设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形：　　　 ①　　　②　　 　③　　　④其中，能表示从集合M到集合N的函数关系的个数是(　　)A．0　　 B．1　　　　C．2　　 D．3(2)(多选)下列对应关系是实数集R上的函数的是(　　)A．f：把x对应到3x＋1 B．g：把x对应到|x|＋1C．h：把x对应到 D．r：把x对应到(1)B　(2)AB　[(1)图①不满足定义域M＝{x|0≤x≤2}；图③不满足集合N＝{y|0≤y≤2}；图④不满足函数的定义，如x＝1时对应两个不同的y值．(2)A，B满足题意，C中当x＝0时不满足，D中当x<0时不满足，故选AB.]1．判断一个对应关系是否为函数的方法2．根据图形判断对应关系是否为函数的方法(1)任取一条垂直于x轴的直线l.(2)在定义域内平行移动直线l.(3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．1．判断下列对应是不是从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝N*，对应法则f：对集合A中的元素取绝对值与B中元素对应；(2)A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；(3)A＝{－1,1,2，－2}，B＝{1,2,4}，对应法则f：x→y＝x2，x∈A，y∈B；(4)A＝{三角形}，B＝{x|x>0}，对应法则f：对A中元素求面积与B中元素对应．[解]　(1)对于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不属于B，即A中的元素0在B中没有元素与之对应，所以不是函数．(2)对于A中的元素±1，在f的作用下与B中的1对应，A中的元素±2，在f的作用下与B中的4对应，所以满足A中的任一元素与B中唯一元素对应，是“多对一”的对应，故是函数．(3)对于A中的任一元素，在对应关系f的作用下，B中都有唯一的元素与之对应，如±1对应1，±2对应4，所以是函数．(4)集合A不是数集，故不是函数． 类型2　求函数值【例2】　(对接教材P67练习T2)设f(x)＝2x2＋2，g(x)＝，(1)求f(2)，f(a＋3)，g(a)＋g(0)(a≠－2)，g(f(2))；(2)求g(f(x))．[解]　(1)因为f(x)＝2x2＋2，所以f(2)＝2×22＋2＝10，f(a＋3)＝2(a＋3)2＋2＝2a2＋12a＋20.因为g(x)＝，所以g(a)＋g(0)＝＋＝＋(a≠－2)．g(f(2))＝g(10)＝＝.(2)g(f(x))＝＝＝.函数求值的方法(1)已知f(x)的表达式时，只需用a替换表达式中的x即得f(a)的值．(2)求f(g(a))的值应遵循由里往外的原则．2．已知f(x)＝x3＋2x＋3，求f(1)，f(t)，f(2a－1)和f(f(－1))的值．[解]　f(1)＝13＋2×1＋3＝6；f(t)＝t3＋2t＋3；f(2a－1)＝(2a－1)3＋2(2a－1)＋3＝8a3－12a2＋10a；f(f(－1))＝f((－1)3＋2×(－1)＋3)＝f(0)＝3. 类型3　求函数的定义域【例3】　(对接教材P67练习T1)求下列函数的定义域：(1)f(x)＝2＋；(2)f(x)＝(x－1)0＋；(3)f(x)＝·；(4)f(x)＝－.从f(x)有几部分组成，是否含有分母、开偶次方根、x0等角度思考f(x)有意义的条件，进而进行解答．[解]　(1)当且仅当x－2≠0，即x≠2时，函数f(x)＝2＋有意义，所以这个函数的定义域为{x|x≠2}．(2)函数有意义，当且仅当解得x>－1且x≠1，所以这个函数的定义域为{x|x>－1且x≠1}．(3)函数有意义，当且仅当解得1≤x≤3，所以这个函数的定义域为{x|1≤x≤3}．(4)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足解得x≤1且x≠－1，即函数定义域为{x|x≤1且x≠－1}．求函数定义域的常用方法(1)若f(x)是分式，则应考虑使分母不为零．(2)若f(x)是偶次根式，则被开方数大于或等于零．(3)若f(x)是指数幂，则函数的定义域是使幂运算有意义的实数集合．(4)若f(x)是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．(5)若f(x)是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．3．求函数y＝＋的定义域．[解]　要使函数有意义，只需即∴x≤－或2≤x<4，∴函数的定义域为.1．下列四个图象中，不是函数图象的是(　　)A　　 　　B　　 　　C　 　　　DB　[根据函数的定义知：y是x的函数中，x确定一个值，y就随之确定一个值，体现在图象上，图象与平行于y轴的直线最多只能有一个交点，对照选项，可知只有B不符合此条件．故选B.]2．函数y＝的定义域是(　　)A．{x|x≥－1}　　　 B．{x|－1≤x<0}C．{x|x>－1} D．{x|－10得x>－1，所以函数的定义域为{x|x>－1}．]3．(多选)下列关于函数y＝f(x)的说法正确的是(　　)A．y是x的函数B．x是y的函数C．对于不同的x，y也不同D．f(a)表示x＝a时，f(x)的函数值是一个常数AD　[结合函数的定义可知AD正确．]4．若f(x)＝，则f(3)＝________，f(f(－2))＝________.－　　[∵f(x)＝，∴f(3)＝＝－.∵f(－2)＝＝－，∴f ＝＝.]5．已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{1,2,4}，给出下列四个对应关系：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝x－1，④y＝|x|，其中能构成从M到N的函数的是________．(填序号)④　[结合函数的定义可知y＝|x|.]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．判断一个对应关系是否为函数的条件是什么？[提示]　(1)A，B必须是非空实数集．(2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应．2．f(x)与f(a)相同吗？两者存在怎样的联系？[提示]　f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值，如一次函数f(x)＝3x＋4，当x＝8时，f(8)＝3×8＋4＝28是一个常数．3．求函数y＝f(x)的定义域常注意哪些问题？[提示]　(1)分母是否为零；(2)被开偶次方数是否非负；(3)x0中x是否为0；(4)实际意义．函数定义的演变过程简介在现代数学以及其他相关学科中，函数都是非常重要甚至是不可或缺的．与其他重要数学概念一样，函数定义的发展与完善也经历了比较长的一段时间．“函数”一词是莱布尼茨创造的，他用这个词表示与曲线上的点有关的线段长度，并使用这个词表示变量之间的依赖关系．欧拉于1734年首先使用字母f表示函数，欧拉在他的著作《微分学》中给出的函数定义是：如果某变量，以如下的方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前者也随之变化，则称前面的变量是后面变量的函数．1851年，德国数学家黎曼给出的函数定义是：假定z是一个变量，它可以逐次取所有可能的实数值．如果对它的每一个值，都有未知量w的唯一的一个值与之对应，则w称为z的函数．人们通常称这样的定义为函数的“对应说”，因为定义中采用了“唯一的一个值与之对应”的说法．1939年，法国布尔巴基学派在集合论的基础上给出了如下函数的定义：设E和F是两个集合，它们可以不同，也可以相同．E中的变元x和F中的变元y之间的一个关系称为一个函数关系，如果对于每一个x∈E，都存在唯一的y∈F，它满足与x给定的关系，称这样的运算为函数．它以上述方式将与x有给定关系的元素y∈F与每一个元素x∈E相联系．称y是函数在元素x处的值，函数值由给定的关系所确定．两个等价的函数关系确定同一个函数．人们通常称这样的定义为“关系说”．后来，有些学者把布尔巴基学派的定义进一步符号化：设F是定义在集合X和Y上的一个二元关系，称这个关系为函数，如果对于每一个x∈X，都存在唯一的y∈Y，使得(x，y)∈F.这样，函数的定义就完全用数学的符号形式化了．可以看出，上述函数的定义越来越严。