大学数学：第7章 微分方程组与微分方程习题课.ppt

一、微分方程组与高阶微分方程一、微分方程组与高阶微分方程1.微分方程组与高阶微分方程的相互转化微分方程组与高阶微分方程的相互转化一阶微分方程组一阶微分方程组的一般形式的一般形式：：向量形式向量形式通过引入通过引入n-1个新的未知变量，可以把个新的未知变量，可以把n阶微分方程阶微分方程化为化为n个由一阶微分方程组成的微分方程组：个由一阶微分方程组成的微分方程组：(2) 解的存在唯一性定理解的存在唯一性定理在闭域在闭域上连续，且满足上连续，且满足Lipschitz条件：条件：则初值问题则初值问题(1)(2)在下属区间上存在唯一的解：在下属区间上存在唯一的解：P281定理定理1.1二、线性微分方程组的理论二、线性微分方程组的理论1. 线性微分方程组的向量形式线性微分方程组的向量形式 （齐次的和非齐次的）（齐次的和非齐次的）特别地，特别地，齐次齐次线性微分方程组的线性微分方程组的n个特解的线性无关个特解的线性无关的充要条件是这的充要条件是这n个解的个解的Wronski行列式在行列式在t0处处的值不等于的值不等于0，即，即W(t0) ≠02. n维向量值函数的线性相关与线性无关维向量值函数的线性相关与线性无关3. 齐次齐次线性微分方程组的基本解组、基解矩阵和通解线性微分方程组的基本解组、基解矩阵和通解基解矩阵基解矩阵----以基本解组为列构成的矩阵以基本解组为列构成的矩阵.基本解组基本解组:注意注意:基解矩阵的性质基解矩阵的性质这里这里C是任意常数列向量是任意常数列向量.4. 非齐次非齐次线性微分方程组解的结构及求解线性微分方程组解的结构及求解（（1 ））非齐线非齐线性微分方程组解的性质性微分方程组解的性质（（2 ））非齐次非齐次线性微分方程组的线性微分方程组的通解结构通解结构其中其中常系数常系数非齐线非齐线性微分方程组的一个特解性微分方程组的一个特解5. 常系数常系数齐次齐次线性微分方程组的求解线性微分方程组的求解的求解步骤：的求解步骤：(1) 写出矩阵写出矩阵A的特征方程的特征方程求出特征值求出特征值l. l.(2) 代入特征值代入特征值l li,作矩阵作矩阵A-l liE的初等行变换，的初等行变换，求出求出A的属于特征值的属于特征值l li的特征向量的特征向量(3) 代入特征值代入特征值l li,作矩阵作矩阵A-l liE的初等行变换，的初等行变换，求出求出A的属于特征值的属于特征值l li的特征向量的特征向量(i)(ii)(iii)应用公式计算应用公式计算 若属于若属于l li的线性无关特征向量个数的线性无关特征向量个数