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数列求和-2025年高考数学一轮复习(解析版).pdf

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    • 第4课 时 数 列 求 和 考试要求1.熟练掌握等差、等比数列的前项和公式2掌握数列求和的常用方法.链接教材 夯基固本 落实主干激活技能龄梳 理 必备知识1 .公式法等差数列的前项和公式:cn(ai+an),21(21=1),等比数列的前项和公式:nar,q=1,1(1-q)_ 鱼q1-Q2.几种数列求和的常用方法(1)分组求和法:一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的,则求和时可用分组求和法,分别求和后相加减.(2)裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消(注意消项规律),从而求得前项和.常见的拆项类型 分 式 型:111n(n+/c)1 k n n+k),(2n l)(2n+l)2 2n 1 2n+l/n(n+l)(n+2)2 Ln(n+1)指数型:(n+l)(n+2).2n1_1_ _n_+_2_ 1_1 卒(2n+1-l)(2n-l)-2n-l 2n+1-l r(1+l)2rl-2九一 1 一(4+1)2,寸;根式型:对数型:厂 JeW(V n+T-6)等;an=log,tz+1 -logma,m0 且机 WL(3)错位相减法:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么求这个数列的前项和可用错位相减法求解.(4)倒序相加法:如果一个数列满足与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数,那么求这个数列的前n项和可用倒序相加法求解.(5)并项求和法:一个数列的前项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和形如诙=(的数列求和,可采用两项合并求解.例如,1 0 02-9 92+9 82-9 724-F2-I2=(1 0 0+9 9)+(9 8+9 7)H-F(2+l)=5 0 5 0.提醒:无论用哪一种方法求和,最后可以用S,电进行验证.常用结论(i)y:=1+2+3+W(2k1 ;=1 +3+5+(2 一 1)=肥;R、1=13+23+-+3=|n(n j L l)2;r in(4)H =l2+22+32+-+/z2=i +l j 2+y.激活基本技能一 易 错 易 混 辨 析(正 确 的 打,错误的打“X”)(1)已 知 各 项 均 不 为 零 的 等 差 数 列 an的 公 差 为d0),则有 一=anan+l()d an an+1J(2)当 “2 2 时,高=;(2 一左).()(3)求 S;=a+2 a 2+3 a 3-时,只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求解.()(4)利用倒序相加法可求得 s i n21 +s i n22 +s i n23 H-F s i n28 8 +s i n28 9 =4 4.5.()答案(1)V (2)V (3)X (4)V二、教材经典衍生1 .(人教A版选择性必修第二册P5 1 练习T2改编)数列 斯 的前n项和为S”若即=7%,则S 5 等于()n(n+l)A.1B.|B ,an=71,n=7 7,.*.S 5=a i+。

      2 H I-a 5=l-1 +1-n(n+l)n n+l 2 2 3 5 6 62.(人教A版选择性必修第二册P5 1练习改编)数列 的通项公式为的=(1)汽 2 一 1),则该数列的前1 0 0 项和为()A.-2 0 0 B.-1 0 0C.2 0 0 D.1 0 0D 5 i o o=(-l+3)+(-5+7)H-F(-197+199)=2X 5 0=100.3.(人教A版选择性必修第二册P4 0习题4.3T 3(I)改编)若数列 斯 的通项公式为斯=2+2 一 1,则数列 斯 的 前 项 和 为()A.2+/1 B.2n+1+w21C.2+】+22 D.2+一 2C S=m+02+03+口=(21+2X 1 l)+(22+2 X 2 1)+(23+2X 3 1)+(2+2一l)=(2+22-1-2)+2(1+2+3 H-卜 )=2(;)+2 乂:1)一=2(21)+2+=2+1+/2.4.(人教A版选择性必修第二册P4o 习题4.3T 3改编)l+2a +3a 2+相 =-1 an-n-a-n(z a W y1)、9:;1二;)1-a 记&=1+232+陵-1,-2-(G -1)当 a=1 时,S 及=1+2+3+=,(+1);当 a W l 时,aSn=a+2a2+3 ai-(n l)an A+nan,(1 a)Sn=1 +a+a2-a3+an Anan.d u,、?c l-an nanz/-、所以5 =中 一 H 伍/1),l-an nan 1(用1-。

      a型,a=l.典例精研核心考点考点一分组求和与并项求和考向1分组求和重难解惑直击高考 典例 1在数列 a 中,ai=-1,an=2an-ih3 n 6(三2,GN*).(1)求证:数歹!J 斯+3 为等比数列,并求数列 斯 的通项公式;(2)设bn=an+ri,求数列 儿 的前项和Tn.解(1)证明:.,2念_1 +3一6(三2,GN*),当三2时an+3n _ 2an-i+3n 6+3n _ 2(an-i+3n 3)C L fi 14 3(ri 1)an i+3zi 3 QNJ+ST T.3=2,J数列 斯+3 是首项为Q I+3=2,公比为2的等比数列,/.an-3 n=2n,Q=2一3”.(2)bn=ann=2n3+=2一2n,数列 儿 的前项和从+a +为=(212)+(224)+(23 6)+(2 一2n)=2+22H-F2“一(2+4+6+2)=|f p 等X=2+i2 (+1).考向2并项求和 典例2已知等差数列的前项和为S“,怒=9,S5=25.(1)求数列 an的通项公式及Sn-,(2)设儿=(1)S”求数列 bn的前项和Tn.解(1)设数列的公差为 d,由 5 =5。

      3=2 5,得3=3+力4)+(、5 +方6)H b (bn-+bn)=(-12+22)+(-32+42)+(-52+62)+-+-(-1)2+2=(21)(2+1)+(4 3)(4+3)+(6 5)(6+5)+一(-+=1+2+3+当n为奇数时,一1为偶数,T=Tn_l+(iy 2=H 2=一当 由综上可知,y D名 师 点 评分组求和与并项求和的常见类型(1)若可=从盘,且 儿,扇 为等差或等比数列,则可采用分组求和法求 斯 的前n项和.(2)通项公式为念=以”为的数列,其中数列 儿,为 是等比数列或等l c,律为偶数差数列,可采用分组求和法求和.(3)如果=(1)呢,求 c 的前项和时,可采用并项求和法求解.对分奇数、偶数讨论,建议先求是偶数时S”,当为奇数时,Sn=Sn+cn.跟进训练1.(2024 四川乐山模拟)已知等差数列 a 的前三项和为15,等比数列 儿 的前三项积为6 4,且a i=b i=2.(1)求 斯 和 儿 的通项公式;(2)设c产汇”?片 求数列出 的前20项和.kjbn,正为偶数,解(1)设等差数列 斯 的公差为,等比数列 瓦 的公比为4,由条件可知,a i+。

      2+3 =32=15,得 02=5,d=C 1 2-0=3,所以2+(-1)X3=3 1,等比数列 儿 中,6励3 =房=6 4,则 勿=4,=誓=2,所以儿=2 2对=2.b i3n 1,7 1为奇数,(2)C,1=n 22,7 1为偶数,对数列 3-1,为奇数时,3(+2)1(3-1)=6,所以数列 为 的奇数项是首项为2,公差为6的等差数列,对数列 2司,n为偶数,所以数列 为 的偶数项是首项为2,公比为2的等比数列,所以数列Q 的前20项和为+02+03+20=(3+019)+(02+04 +20)=10(2+56)2(1-21)2=2 336.2 1-2【教师备选资源】已知数列 而满足费+缓+堂=*(1)求数列 斯 的通项公式;(2)对于任意的G N*,令bn=:笠常,求数列也 的前项”解 当 =1时,得 =;,解得41=1;当 2时,可 得 当+砥+学=九一1一 九 一12 屋一1 2n 1,由r J7 一J7,J 2n=2n 2n 2n即 a=2n,当=1时,0=2 1 =1也符合,所以数列 斯 的通项公式为an=2n.(2)由(1)及题意知儿=2-n,ri为奇数,22-n,71为偶数.当n为偶数时,S”=l+(T)+(_ 3)+2_(_1)+(2+2+22”)_-3(3+1)2+12(3+1)+16 _ 1 12 3x 2n-1 3n2+6 n+25 4 12 3x 2n-1*综上所述,(-3n2+6 n+25 412 3x 2n-1-3n2+12n+16 112-3x 2 九-2n为奇数,律为偶数.考点二裂项相消法求和3(2022 新 高 考I卷)记S”为数列 劣 的前n项和,已知1,闰 是vanJ公差为g的等差数列.(1)求斯 的通项公式;(2)证明:+,H-2.0.2 解(1)ci=l,.*S=a 1,=1,又:刖是 公 差 为3的等差数列,.号=l+g 1)=等,:.Sn=,当22 时,SI=S+IT,_ Q q (n+2)an(n+l)an-i整理得(“-1)呢=(+即 工=用 三2),an-i n 1:.a=ai x 也X X Q x 上al a2 an-2 an-l5-34-23-1显然对于n=l也成立,.a 的通项公式为斯=竺罗(2)证明:由(1)知 以=竺 罗)+(卜引=2(1_/2.an n(n+l)n n+1/?.+-=2卜-|)+。

      2an L 2/2 3,名师点评裂项相消法求和的基本步骤印 已 观 察 数 列 的 通 项,将通项拆成两项之差的形)跳尸式,分解时要等价:0 二二二二二二二股 卜:寤 薮 为 教 场 后M否项痛加:语申而时以清芸的顼箱互痛酒隔新条的看和消项卜:项相加,得到数列的前“项和,一般剩下的正负11*1 1项个数相同;跟进训练2.(2024 湖南衡阳模拟)在数列 而 中,B+?+号+含=/+机(1)求 念 的通项公式;Q)证明:嬴 十 有 十十言嬴1-8 解 因为3+等+詈+弋=/+,2 3 4 n+1则当”=1 时,y=2,即 2 1=4,当三2时,巴+&+0+吐 1=2 ,2 3 4 n一得含=2”,所以斯=2(+1),1=4 也满足念=2(+1),故对任意的 N*,即=2 (+1).(2)证 明(n+2)九 2n(n+l)(n+2)2(n+1)n(n+2)4(n+l)&+)=4 n(n+l)11 所 以 工+工+i =工 _ 2 _ _ _ _ L+J_ _ _ _ L+_(n+l)(n+2)J 3al 4a?(n+2)an 4 Llx2 2x3 2x3 3x4 n(n+l)-=-2),两式相减得的=%-上尸(巳2),化简得(-1 )斯=nan-i,所以&=久9=?=1,所以斯=机n n i 1由知儿=(1)+1;1 署=(-1)+1(;+a),所以 7 1 2 0 2 3 =(1 +|)-(|+|)+G+D 岛+盛)+(盛+六)=1+七=翳口 考点三错位相减法求和 典例4 (2 0 2 3 全国甲卷)已知数列 念 中,4 2=1,设 S 为数列 诙 的前项和,2Sn ndn.(1)求 为 的通项公式;求数列a i 的前项和T”.解(1)当 =1 时,2 s l=m,解得 m =0,当 时,2Sn-i=(n l)6 z -i,2an=nan (nl)an-i,.*(n l)an-i=(n-2)an,当3时,可 得 上=三,c in i n L:.a,=23x 4x X-X n-1X a 2 =n-l,123 n-2当 =2或 =1时,4 1 =0,4 2=1适合上式,斯 的通项公式为an=nl.(2)由 可 得 黑=白九-2n+3-23+2-22+1-2+3-242-+23+1-22A1-2+IT=1 _L _L _ _ _ _ _ 九 _ 1 一 尹)_ q=i-1_ _ 3 -T=2空*27 2 十 2 2十 23丁 2n 2n+1 i-l 2n+1 2n 2n+19*n 2n.2名 师 点 评错位相减。

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