控制系统的数学模型..doc

控制系统的数学模型在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型自动控制系统的组成可以是电气的、机械的、液压的或气动的，然而描述这些系统的数学模型却可以是相同的因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型的外部特征，研究其内在的共性运动规律通过本章的学习，我们要掌握三种数学模型：微分方程、传递函数、动态结构图的建立方法熟练掌握自动控制系统传递函数的求取方法§2—1 列写微分方程的一般方法微分方程是描述控制系统动态性能的一种数学模型建立系统或元件微分方程的一般步骤如下：（1） 根据实际工作情况，确定系统和各元件的输入量和输出量；（2） 根据物理或化学定律，列写系统各组成元件的原始方程；（3） 在可能条件下，对各元件的原始方程进行适当简化，略去一些次要因素或进行线性化处理；（4） 消去中间变量，得出描述输出量和输入量（包括干扰）关系的微分方程，即元件的微分方程；（5） 对求出的系统微分方程标准化即将与输出有关的各项放在等号左侧；而将与输入有关的各项置于等号右侧，等号左右侧各项均按降幂形式排列例：列写下图所示RC网络的微分方程解：1、明确输入、输出量输入量：RC网络的电压；输出量：2、建立输入、输出量的动态联系根据电路理论的基尔霍夫电压定律，任意时刻，网络的输入电压等于各支路的电压降和，即 ………（1） ………（2）（i为网络电流，是一个中间变量）3、消除中间变量将（2）式代入（1）式得4、系统的微分方程的标准化 例2：列写下图所示RLC网络的微分方程。

零初始条件）解：1、明确输入、输出量输入量：；输出量：2、列写个组件的原始方程 （i为网络电流，是一个中间变量）3、消除中间变量将（3）分别代入（1）、（2）则得将（5）代入（4）则得4、系统的微分方程的标准化 即为所求的微分方程例3：列写下图所示RL网络的微分方程零初始条件）1、明确输入、输出量输入量：；输出量：2、列写个组件的原始方程 3、消除中间变量将（3）分别代入（1）则得由（2）得将（5）代入（4）得4、系统的微分方程的标准化 即为所求的微分方程§2—2 非线性方程的线性化控制系统的实际组成元件，几乎程度不同地都具有非线性特性求出的系统微分方程常常是非线性方程由于非线性微分方程的求解很困难，如果能把非线性方程转化为线性方程，将为系统的分析和计算提供很大的方便由于许多实际控制系统的输入量和输出量是围绕平衡工作状态进行小范围变化的，故可采用泰勒级数展开法，略去二次以上的高次项，进行小偏差线性化处理，所得到的线性微分方程称为系统的线性化数学模型也就是说，如果实际上的x只是在某平衡工作点附近小范围变化，则在附近以直线代替曲线就较为合理设元件的输入量和输出量的非线性函数为：在工作点（平衡点）的邻域内，对非线性函数可表示为泰勒级数：即略高阶无穷小（因为变量偏离工作点的范围较小，所以增量的高次项可以忽略不计，故可以近似得到即 式中，上式表示了单变量系统在工作点处小偏差线性化的基本方程。

系统的输入、输出只是在工作点附近的微小变化，至使很小，其高次项可忽略这个假设是符合自动控制系统的因为对于闭环系统而言，只要有偏差，就产生控制作用，以抑制偏差，所以各变量只能在平衡点做微小运动例：工业中常用孔板和差压变压器测量流体的流量通过孔板的流量Q与孔板前后的差压P的平方根成正比，即（为常数）设系统在流量值附近作微小变化，将流量方程线性化解：首先对方程两边求导则根据小偏差线性化的基本方程，则即流量方程线性化方程为§2—3 传递函数微分方程是从时间域中描述系统的动态方程的数学模型，在给定输入量和初始条件时，就可求得系统输出响应的解这种方法虽然比较直观准确，但用于分析设计高阶系统时，就显得繁琐因为高阶系统的求解比较困难，而且看不出系统的结构，参数对系统输出解的影响如果输出响应不合要求就不知如何去改变系统的结构参数，而且如果每次改变结构参数，就得重新编写微分方程线性定常系统微分方程经过拉氏变换，就可得到系统在复频域中的数学模型，称为传递函数传递函数不仅可以表示系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结构和参数对性能的影响，从而使分析和设计大为简化，在经典控制理论中，广泛应用的频率法和根轨迹法都是建立在传递函数这一数学模型基础之上的。

因此，传递函数是经典控制理论中最基本，也最重要的数学模型一、传递函数的定义定义：零初始条件下，线性定常系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换之比即 在古典控制理论中，主要讲单输入单输出线性定常系统，设微分方程为：式中：为输出量，为输入量，均为由系统结构参数决定的常数在初始条件为零时，对方程两边进行拉氏变换，得象方程：则系统传递函数 分子为象方程的输入端算子多项式； 分母为象方程的输出端算子多项式（亦即微分方程的特征式）二、关于传递函数的几点说明1、传递函数是经拉氏变换导出的，拉氏变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统2、传递函数表达式中各项系数的值完全取决于系统的结构和参数，并与微分方程中各项系数相对应，所以传递函数也是系统的动态数学模型3、传递函数只表明一个特定的输入、输出关系，即单输入、单输出的关系4、传递函数是在零初始条件下建立的，因此它只是系统的零状态模型，而不能完全反映零输入响应的动态特性此即传递函数作为系统动态数学模型的局限性5、因为实际的物理系统总含有惯性元件，并受到能源功率的限制，所以，实际系统传递函数中分母多项式的阶数n总是大于或等于分子多项式的阶数m，即；通常将分母多项式的阶数为n的系统称为n阶系统。

三、传递函数的求法1、根据系统的微分方程求传递函数（1）确定系统或元件的输入变量和输出变量；（2）根据物理定律，列写出微分方程或微分方程组；（3）在零初始条件下求各微分方程的拉氏变换式（象函数），将它们转换为s域的代数方程组；（4）消去中间变量后，根据定义求出传递函数例：求下图所示RLC网络的传递函数解：根据基尔霍夫电压定律，可以列出 在零初始条件下将以上两式进行拉氏变换后得消去中间变量则得根据传递函数的定义可得2、用复阻抗的概念求电路的传递函数由电路理论可知，电阻R的复阻抗仍为R，电容C的复阻抗为（容抗）；电感L的复阻抗为（感抗）阻抗的串联、并联计算方法完全可以用于复阻抗网络等效复阻抗的计算[思考]分压公式例：求下图所示无源电路的传递函数解：利用分压公式，可直接写出RLC串联电路的输出电压与输入电压之间的关系则传递函数为例：设无源网络如图所示已知初始条件为零，试求网络传递函数，并说明该网络是否等效于RC和RL两个网络的串联解：利用基尔霍夫电压定律、电流定律及欧姆定律得消去中间变量可得则网络的传递函数为如果将网络分割开来，则RC网络的传递函数为 RL网络的传递函数再将RC与RL两个网络串联起来，则整个网络的传递函数将成为： 结果与原网络的传递函数不同，其原因是确定RC网络传递函数时，没有考虑到RL网络的负载效应。

另一种方法：利用复阻抗的方法 先求再求 例：求下图所示电路的传递函数解：（先画出其S域模型设，，这三个复阻抗串并联后的等效电阻为，且则上面电路可等效为根据分压定理则由于则两端电压仍为，则再根据分压定理有将（1）、（2）代入（3）式则即传递函数为例、求取下图所示无源电路的传递函数 解：用电路中阻抗的概念求取传递函数，通过拉氏变换电容的阻抗形式为， 则 =例、求如图所示电路的传递函数 解：利用负阻抗的方法来求传递函数 先求再求 则 例：求如图所示电路的传递函数解：利用负阻抗的方法求传递函数例：求如图所示电路的传递函数解：利用负阻抗的方法求传递函数例：求如图所示二阶网络的传递函数解：利用负阻抗的方法求传递函数§2—4 动态结构图和典型环节一、动态结构图控制系统的动态结构图简称为结构图，又称为传递函数的方框图或框图，它是传递函数的一种图形描述方式，它可以形象地描述自动控制系统各单元之间和各作用量之间的相互联系，具有简明直观、运算方便的优点，所以框图在分析自动控制系统中获得了广泛的应用。

一）动态结构图组成动态结构图是由局部传递函数（各个环节的函数功能）和一些反映信号流向的基本符号组成的，即由信号线、传递方框、综合点、引出点组成1、信号线表示信号输入、输出通道，箭头代表信号传递方向→2、传递方框方框两侧应为输入信号线和输出信号线方框内写入该输入、输出之间的传递函数3、综合点亦称加减点，表示几个信号相加减，叉圈符号的输出量为各输入量的代数和因此在信号输入处要注明它们的极性4、引出点表示同一个信号传输到几个地方二）典型自动控制系统统的动态结构图通路：前向通路、反馈回路（局部反馈、主反馈回路）；综合点：A、B两点；引出点：C、D两点；传递方框：、、、、均为系统中一个相对独立的功能单元的传递函数三）建立控制系统动态结构图的步骤如下：1、考虑负载效应，建立控制系统各元部件的微分方程；2、对各元部件的微分方程进行拉氏变换，写出其传递函数，并画出相应的环节单元和综合点单元；3、从与系统输入量有关的综合点开始，依据信号流向，把各元部件的结构图连接起来，置系统的输出量于右端，便得到系统的结构图例：试建立下图所示二级RC网络的动态结构图 解：（1）建立系统各元部件的微分方程 （2）对微分方程（1）-（4）两边分别进行拉氏变换 将（5）式转化：将（6）式转化：将（7）式转化：将（8）式转化：绘制动态结构图此题我们可以用复阻抗的概念直接来绘制。

列写出象方程组： 根据上面绘制动态结构图的方法同样可以绘制出上面的动态结构图二、典型环节从上面例子可以看出，任何一个复杂的系统，总可以看成由一些典型环节组合而成掌握这些典型环节的特点，可以更方便地分析较复杂系统内部各单元之间的联系1、比例环节（放大环节）微分方程：传递函数：结构图：比例环节能立即成比例地响应输入量的变化比例环节是自动控制系统中遇到最多的一种，例如电子放大器、杠杆机构、电位器等等2、微分环节微分方程： 为微分时间常数传递函数：结构图： 实例：电感的电压与电流之间的关系3、积分环节微分方程： T为积分时间常数传递函数：结构图：实例：电容的电压与电流之间的关系4、惯性环节（一阶环节）微分方程： T为。