新高考数学（文）大二轮复习学案——立体几何初步第4节垂直关系.pdf

第四节垂直关系 最新考纲 1. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理.2. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题1直线与平面垂直(1) 定义： 如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直(2) 定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线和一个平面内 的 两 条 相 交 直 线 都 垂直，那么该直线与此平面垂直ablalbabA?l性质定理如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行ab? ab2. 二面角(1) 定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角这条直线叫作二面角的棱，这两个半平面叫作二面角的面(2) 二面角的度量二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角平面角是直角的二面角叫作直二面角3平面与平面垂直(1) 定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2) 定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直ll?性质定理两个平面垂直， 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直lala?l常用结论 1若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面2一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直3两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面4过一点有且只有一条直线与已知平面垂直5过一点有且只有一个平面与已知直线垂直一、思考辨析 ( 正确的打“”，错误的打“”)(1) 直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l. ( ) (2) 若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则. ( ) (3) 若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行( ) 答案(1) (2) (3) 二、教材改编1下列命题中错误的是( ) A 如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面B 如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D 如果平面平面，平面平面，l，那么lA 两个平面垂直，一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面，故A 错误选 A. 2如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S-EFG中必有 ( ) A SGEFG所在平面B SDEFG所在平面C GFSEF所在平面D GDSEF所在平面A 四面体S-EFG如图所示：由SGGE，SGGF. 且GEGFG得SGEFG所在的平面故选 A. 3如图，三棱锥V-ABC中，VAVBACBC2，AB23，VC 1，则二面角V-AB-C的度数为 _60 如图，取AB的中点D，连接VD，CD. 由VAVBACBC知，VDAB，CDAB，从而VDC就是二面角V-AB-C的平面角在VAB和ABC中分别求得VDCD1，因此VDC是等边三角形，故VDC60.4在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1) 若PAPBPC，则点O是ABC的_心；(2) 若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心(1) 外( 2) 垂(1) 如图 1，连接OA，OB，OC，OP，在 RtPOA，RtPOB和 RtPOC中，PAPCPB，所以OAOBOC，即O为ABC的外心图 1 图 2 (2) 如图 2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G. PCPA，PBPC，PAPBP，PA，PB平面PAB，PC平面PAB，又AB平面PAB，PCAB，ABPO，POPCP，PO，PC平面PGC，AB平面PGC，又CG平面PGC，ABCG，即CG为ABC边AB上的高同理可证BD，AH分别为ABC边AC，BC上的高，即O为ABC的垂心 考点 1 直线与平面垂直的判定与性质证明直线与平面垂直的常用方法(1) 利用线面垂直的判定定理(2) 利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3) 利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”(4) 利用面面垂直的性质定理证明直线与平面垂直如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是边长为2 的正三角形，M为棱BC的中点，BB13，AB110，CBB160.(1) 求证：AM平面BCC1B1；(2) 求斜三棱柱ABC-A1B1C1的体积解 (1) 证明：如图，连接B1M，因为底面ABC是边长为2 的正三角形，且M为棱BC的中点，所以AMBC，且AM3，因为BB13，CBB160，BM1，所以B1M21232213cos 60 7，所以B1M7. 又因为AB110，所以AM2B1M210AB21，所以AMB1M. 又因为B1MBCM，所以AM平面BCC1B1. (2) 设斜三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V，则V 3VB1-ABC3VA-B1BC313SB1BC|AM| 1223sin 60 3 92. 所以斜三棱柱ABC-A1B1C1的体积为92. (1) 已知线段的长度， 一般情况下用勾股定理的逆定理证明线线垂直，如本例第 (1) 问(2) 解答本例第 (2) 问时，易误认为B1M是斜三棱柱ABC-A1B1C1的高，从而得到错误答案证明空间两条直线垂直(2019成都模拟)如图，在多面体ABCDFE中，四边形ABCD是矩形，四边形ABEF为等腰梯形，且ABEF，AF2，EF2AB4AD42，平面ABCD平面ABEF. (1) 求证：BEDF；(2) 求三棱锥C-AEF的体积V. 解 (1) 证明：取EF的中点G，连接AG. EF2AB，ABEG. 又ABEG，四边形ABEG为平行四边形，AGBE，且AGBEAF2. 在AGF中，GF12EF22，AGAF2，AG2AF2GF2，AGAF. 四边形ABCD是矩形，ADAB. 又平面ABCD平面ABEF，且平面ABCD平面ABEFAB，AD平面ABEF. 又AG平面ABEF，ADAG. ADAFA，AG平面ADF. 又AGBE，BE平面ADF. 又DF平面ADF，BEDF. (2) 连接DE. CDAB，且CD平面ABEF，AB平面ABEF，CD平面ABEF，VC - AEFVD -AEF. 由(1) 得，AD平面ABEF，SAEF124224，VC - AEFVD -AEF1342423. 证明线线垂直一般是先证线面垂直，再根据线面垂直的性质得到线线垂直 教师备选例题 (2017江苏高考) 如图，在三棱锥A-BCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合 ) 分别在棱AD，BD上，且EFAD. 求证： (1)EF平面ABC；(2)ADAC. 证明 (1) 在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB. 又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC. (2) 因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD. 因为AD平面ABD，所以BCAD. 又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC. 又因为AC平面ABC，所以ADAC. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE. 证明 (1) 在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，CD平面ABCD，PACD. 又ACCD，且PAACA，CD平面PAC. 而AE平面PAC，CDAE. (2) 由PAABBC，ABC60，可得ACPA. E是PC的中点，AEPC. 由(1) 知AECD，且PCCDC，AE平面PCD. 又PD平面PCD，AEPD. PA底面ABCD，PAAB. 又ABAD，且PAADA，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD. 又ABAEA，PD平面ABE. 考点 2 面面垂直的判定与性质证明面面垂直的两种方法(1) 定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题(2) 定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决，注意：三种垂直关系的转化(1)(2019 全国卷 ) 如图， 点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则 ( ) A BMEN，且直线BM，EN是相交直线B BMEN，且直线BM，EN是相交直线C BMEN，且直线BM，EN是异面直线D BMEN，且直线BM，EN是异面直线B 取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB，BD，BE. 点N为正方形ABCD的中心，点N在BD上，且为BD的中点ECD是正三角形，EFCD. 平面ECD平面ABCD，EF平面ABCD. EFFN. 不妨设AB2，则FN1，EF3，ENFN2EF22. EMMD，DGGF，MGEF，MG平面ABCD，MGBG. MG12EF32，BGCG2BC232错误 ! 未指定书签。

2252，BMMG2BG27. BMEN. BM，EN是DBE的中线，BM，EN必相交故选 B. (2)(2019 青岛模拟) 如图，四棱锥P-ABCD中，PCD为等边三角形，CDAD2AB，E，S，T，Q为CD，PA，PB，AD的中点，ABCBCDPEA90，平面STRQ平面ABCDRQ. 证明：平面PAE平面STRQ；若AB1，求三棱锥Q-BCT的体积解 证明： 因为E为CD的中点，CD2AB，ABCBCD90，所以四边形ABCE为矩形，所以AECD. 由已知易得RQCD，所以RQAE. 因为PEA90，PECDE，故AE平面PCD，又因为AE平面ABCD. 故平面PCD平面ABCD. 因为PECD，所以PE平面ABCD. 因为RQ平面ABCD，所以RQPE. 又PEAEE，所以RQ平面PAE. 所以平面PAE平面STRQ. 由可知，PE平面ABCD，又T是PB的中点，点T到平面BCQ的距离为12PE32，易知SBCQ12S梯形ABCD1212(12)3334. 故三棱锥Q-BCT的体积V133343238. 解答本例T(2)第 (2) 问时，借助已知的点面距求高，这是常用的方法，求SBCQ时，可先求底边和高，再求面积(2018全国卷 ) 如图，在平行四边形ABCM中，ABAC3，ACM90. 以AC为折痕将ACM折起，使点M到达点D的位置，且ABDA. (1) 证明：平面ACD平面ABC；(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BPDQ23DA， 求三棱锥Q-ABP的体积解 (1) 证明：由已知可得，BAC90，BAAC. 又BAAD，且AC平面ACD，AD平面ACD，ACADA，所以AB平面ACD. 又AB平面ABC，所以平面ACD平面ABC. (2) 由已知可得，DCCMAB3，DA32. 又BPDQ23DA，所以BP22. 作QEAC，垂足为E，则QE13DC. 由已知及 (1) 可得DC平面ABC，所以QE平面ABC，QE1. 因此，三棱锥Q-ABP的体积为VQ-ABP13QESABP13112322sin 45 1. 考点 3 点到平面的距离求点到平面的距离( 高) 的两种方法(1) 定义法：求几何体的高或点到面的距离，经常根据高或距离的定义在几何体中作出高或点到面的距离其步骤为：一作、二证、三求如何作出点到面的距离是关键，一般的方法是利用辅助面法，所作的辅助面， 一是要经过该点，二是要与所求点到面的距离的面垂直，这样在辅助面内过该点作交线的垂线，点到垂足的距离即为点到面的距离(2) 等体积法： 求棱锥的高或点到平面的距离常常利用同一个三棱锥变。