高三数学万能解题模板专题46 随机变量及其分布（解析版）.docx

专题46 随机变量及其分布【高考地位】随机变量及其分布列是高考中的常考知识点，主要考查离散型随机变量及其分布列、离散型随机变量均值、方差的概念，重点考查n次独立重复试验的模型及二项分布，往往涉及古典概型、二项式定理等内容，其难度不会太大，但题型可能较灵活，背景更新颖．在高考中主要以选择题、填空题和解答题的形式考查，其试题难度属中档题.类型一 离散型随机变量的分布列的求法万能模板内 容使用场景离散型随机变量的分布列的求法解题模板第一步 明确随机变量可能取哪些值；第二步 结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值；第三步 按要求画出其分布列即可.例1【2021年1月普通高等学校招生全国统一考试适应性测试（八省联考）】一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．（1）求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为，求的分布列及数学期望．【答案】(1)0.28；(2)分布列见解析，.【分析】(1)由题意利用对立事件概率公式即可求得满足题意的概率值；(2)首先确定X可能的取值，然后分别求解其概率值，最后确定其分布列并求解数学期望即可.【详解】(1)设部件1需要调整为事件A，部件2需要调整为事件B，部件3需要调整为事件C，由题意可知：.部件1，2中至少有1个需要调整的概率为：.(2)由题意可知X的取值为0，1,2,3.且：，，.，故X的分布列为：0123其数学期望：.【点睛】思路点晴：求离散型随机变量X的数学期望的一般步骤：（1）先分析X的可取值，根据可取值求解出对应的概率；（2）根据（1）中概率值，得到X的分布列；（3）结合（2）中分布列，根据期望的计算公式求解出X的数学期望.【变式演练1】【江西省五市九校协作体2021届高三第一次联考】学校趣味运动会上增加了一项射击比赛，比赛规则如下：向A、B两个靶子进行射击，先向A靶射击一次，命中得1分，没有命中得0分；再向B靶连续射击两次，如果只命中一次得2分，一次也没有命中得0分，如果连续命中两次则得5分．甲同学准备参赛，经过一定的训练，甲同学的射击水平显著提高，目前的水平是：向A靶射击，命中的概率是；向B靶射击，命中的概率为．假设甲同学每次射击结果相互独立．（1）求甲同学恰好命中一次的概率；（2）求甲同学获得的总分X的分布列及数学期望．【答案】（1）；（2）分布列见解析；期望为．【分析】（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C，“甲射击命中A靶”为事件D，“甲第一次射击B靶命中”为事件E，“甲第二次射击B靶命中”为事件F，然后利用互斥事件概率的求解方法求解即可.（2）随机变量的可能取值为：0，1，2，3，5，6，求出概率，列出分布列，然后求解期望.【详解】（1）记“甲同学恰好命中一次”为事件C，“甲射击命中A靶”为事件D，“甲第一次射击B靶命中”为事件E，“甲第二次射击B靶命中”为事件F，由题意可知，．由于，．（2）随机变量X的可能取值为：0，1，2，3，5，6．X012356P．【变式演练2】【安徽省淮北市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试】甲､乙两人进行乒乓球比赛，规定比赛进行到有一人比对方多赢2局或打满6局时比赛结束.设甲､乙在每局比赛中获胜的概率均为，各局比赛相互独立，用X表示比赛结束时的比赛局数（1）求比赛结束时甲只获胜一局的概率；（2）求X的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【分析】（1）先分析出甲只获胜一局的所有情况，然后根据对应的情况去计算概率；（2）先分析的可能取值，然后根据取值列出对应的比赛获胜情况，由此计算出对应的概率，可得的分布列，根据分布列可计算出数学期望.【详解】（1）因为比赛结束时甲只获胜一局，所以一共比赛了局，且甲在第局或第局赢了，当甲在第局赢了，则乙在后面局都赢了，此事件的概率为：，当甲在第局赢了，则乙在第局赢了，此事件的概率为：，记“比赛结束时甲只获胜一局”为事件，则；（2）根据条件可知：可取，当时，包含甲或乙前局连胜，此时种情况：{甲，甲}，{乙，乙}；当时，包含甲或乙前局赢了局，后局都没赢，此时种情况：{甲，乙，乙，乙}，{乙，甲，乙，乙}，{乙，甲，甲，甲}，{甲，乙，甲，甲}（大括号中，按顺序为各局的获胜者）；，，，所以的分布列为： 所以.【点睛】思路点睛：求离散型随机变量的数学期望的一般步骤：（1）先分析的可取值，根据可取值求解出对应的概率；（2）根据（1）中概率值，得到的分布列；（3）结合（2）中分布列，根据期望的计算公式求解出的数学期望.类型二 超几何分布问题的求解万能模板内 容使用场景超几何分布的实际应用解题模板第一步 分析题意，写出随机变量的所有可能取值以及辨别是否属于古典概型；第二步 运用古典概型的计算概率公式计算随机变量所有取值所对应的概率；第三步 画出随机变量的分布列并得出结论.例2.【云南省曲靖市第二中学、大理新世纪中学2021届高三第一次模拟考试数学（理）】移动支付（支付宝及支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查曲靖市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到列联表如下：35岁以下（含35岁）35岁以上合计使用移动支付4050不使用移动支付40合计100（1）将上列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？（2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为，求的分布列及期望.0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.0010.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：）（其中）【答案】(1)列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为支付方式与年龄有关.；(2)分布列见解析，.【分析】（1）先补全列联表，求出的值，根据临界值表得出判断；（2）根据分层抽样，可知35岁以下(含35岁)的人数为8人，35岁以上的有2人，所以获得奖励的35岁以下(含35岁)的人数为，则的可能为1，2，3，求出概率，得到分布列，求出期望.【详解】(1)根据题意及列联表可得完整的列联表如下:35岁以下(含35岁)35岁以上合计使用移动支付401050不使用移动支付104050合计5050100根据公式可得，所以在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为支付方式与年龄有关. (2)根据分层抽样，可知35岁以下(含35岁)的人数为人，35岁以上的有2人，所以获得奖励的35岁以下(含35岁)的人数为，则的可能为1，2，3，且，其分布列为123.【变式演练3】2017年3月29日，中国自主研制系全球最大水陆两栖飞机AG600将于2017年5月计划首飞，AG600飞机的用途很多，最主要的是森林灭火、水上救援、物资运输、海洋探测、根据灾情监测情报部门监测得知某个时间段全国有10起灾情，其中森林灭火2起，水上救援3起，物资运输5起，现从10起灾情中任意选取3起.（1）求三种类型灾情中各取到1个的概率；（2）设X表示取到的森林灭火的数目，求X的分布列与数学期望.【解析】（1）令A表示事件“三种类型灾情中各取到1个”，则由古典概型的概率公式有PA=C21C31C51C103=14；（2）随机变量X的取值为：0，1，2，则P(X=0)=C83C103=715，P(X=1)=C21C82C103=715，P(X=2)=C22C81C103=115，X012P715715115．点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.类型三 二项分布问题的求解万能模板内 容使用场景二项分布的实际应用解题模板第一步 首先写出随机变量的所有可能取值以及辨别是否是独立重复试验；第二步 运用二项分布随机变量所对应的各自的概率；第三步 画出分布列表即可得出结论.例3．“一带一路”近年来成为了百姓耳熟能详的热门词汇，对于旅游业来说，“一带一路”战略的提出，让“丝路之旅”超越了旅游产品、旅游线路的简单范畴，赋予了旅游促进跨区域融合的新理念. 而其带来的设施互通、经济合作、人员往来、文化交融更是将为相关区域旅游发展带来巨大的发展机遇.为此，旅游企业们积极拓展相关线路；各地旅游主管部门也在大力打造丝路特色旅游品牌和服务.某市旅游局为了解游客的情况，以便制定相应的策略. 在某月中随机抽取甲、乙两个景点10天的游客数，统计得到茎叶图如下：（1）若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据，以每天游客人数频率作为概率.今从这段时期内任取4天，记其中游客数超过130人的天数为，求概率 ；（2）现从上图20天的数据中任取2天的数据（甲、乙两景点中各取1天），记其中游客数不低于125且不高于135人的天数为，求的分布列和数学期望.【解析】（1）由题意知，景点甲的每一天的游客数超过130人的概率为.任取4天，即是进行了4次独立重复试验，其中有次发生， 则随机变量服从二项分布，∴.（2）从图中看出，景点甲的数据中符合条件的只有1天，景点乙的数据中符合条件的有4天，所以在景点甲中被选出的概率为，在景点乙中被选出的概率为.由题意知的所有可能的取值为0、1、2，则； ；.∴的分布列为∴.【变式演练4】【海南省2021届高三年级第二次模拟考试数学】甲､乙两人进行投篮比赛，要求他们站在球场上的，两点处投篮，已知甲在，两点的命中率均为，乙在点的命中率为，在点的命中率为，且他们每次投篮互不影响.（1）若甲投篮4次，求他至多命中3次的概率；（2）若甲和乙每人在，两点各投篮一次，且在点命中计2分，在点命中计1分，未命中则计0分，设甲的得分为，乙的得分为，写出和的分布列，若，求的值.【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，.【分析】（1）根据相互独立事件的概率计算“甲4次全部命中”的概率，用1减去“甲4次全部命中”的概率即可得出答案；（2）由题意得的可能取值均为0，1，2，3，依据题意算出其概率，列出其分布列分布列，根据数学期望公式算出，由建立方程解出.【详解】解：（1）“甲至多命中3次”的对立事件为“甲4次全部命中”，所以甲至多命中3次的概率为.。