高中数学人教B版必修五3.2《均值不等式》word学案2.doc

§3.2 均值不等式均值不等式(二二)自主学习知识梳理 1．设 x，y 为正实数 (1)若 x＋y＝s(和 s 为定值)，则当________时，积 xy 有最________值为________． (2)若 xy＝p(积 p 为定值)，则当________时，和 x＋y 有最________值为________． 2．利用均值不等式求积的最大值或和的最小值时，需满足： (1)x，y 必须是________； (2)求积 xy 的最大值时，应看和 x＋y 是否为______________；求和 x＋y 的最小值时， 应看积 xy 是否为________． (3)等号成立的条件是否满足． 利用均值不等式求最值时，一定要注意三个前提条件，这三个前提条件概括为“一正、 二定、三相等” ．自主探究请探究函数 y＝x＋ (a>0)在 x∈(0，＋∞)上的单调性．并利用该类函数的单调性求函ax数 y＝sin x＋，x∈(0，π)的最小值．4sin x对点讲练 知识点一知识点一 利用均值不等式求函数的最值利用均值不等式求函数的最值例 1 已知 x≥ ，则 f(x)＝有( )52x2－4x＋52x－4A．最大值 B．最小值 C．最大值 1 D．最小值 15254总结 本题看似无法使用均值不等式，但对函数式进行分离，便可创造出使用均值不等式的条件．变式训练 1 已知 x0，y>0，且 ＋ ＝1，求 x＋y 的最小值．1x9y总结 利用均值不等式求代数式的最值时，经常要对代数式进行变形，配凑出均值不等式满足的条件，同时要注意考察等号成立的条件．变式训练 2 已知正数 a，b 满足 ab＝a＋b＋3.求 a＋b 的最小值．知识点三知识点三 均值不等式的实际应用均值不等式的实际应用例 3 如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙， 其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面 积最大？ (2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间 虎笼的钢筋网总长最小？总结 涉及不等式的应用时，要首先建立函数关系式，适时巧用均值不等式求其最值．变式训练 3 甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半 时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，则谁先到教室？1．利用均值不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，并且和为定值，积有最大值；积为定值，和有最小值．2．使用均值不等式求最值时，若等号取不到，则考虑用函数单调性求解．3．解决实际应用问题，关键在于弄清问题的各种数量关系，抽象出数学模型，利用均值不等式解应用题，既要注意条件是否具备，还要注意有关量的实际含义. 课时作业一、选择题1．函数 y＝log2 (x>1)的最小值为( )(x＋1x－1＋5) A．－3 B．3 C．4 D．－4 2．已知点 P(x，y)在经过 A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，则 2x＋4y的最小值为( ) A．2 B．4 C．16 D．不存在223．若 xy 是正数，则2＋2的最小值是( )(x＋12y)(y＋12x)A．3 B. C．4 D.7292 4．若关于 x 的不等式(1＋k2)x≤k4＋4 的解集是 M，则对任意实常数 k，总有( ) A．2∈M,0∈M B．2∉M,0∉M C．2∈M,0∉M D．2∉M,0∈M 二、填空题 5．建造一个容积为 8 m3，深为 2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平 方米分别为 120 元和 80 元，那么水池的最低总造价为________元． 6．函数 y＝loga(x＋3)－1 (a>0，a≠1)的图象恒过点 A，若点 A 在直线 mx＋ny＋1＝0上，其中 mn>0，则 ＋ 的最小值为________．1m2n 7．周长为＋1 的直角三角形面积的最大值为______．28．某公司一年购买某种货物 400 吨，每次都购买 x 吨，运费为 4 万元/次，一年的总 存储费用为 4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x＝________吨． 三、解答题9．求下列函数的最小值．(1)设 x，y 都是正数，且 ＋ ＝3，求 2x＋y 的最小值；1x2y(2)设 x>－1，求 y＝的最小值．x＋5x＋2x＋110．某种生产设备购买时费用为 10 万元，每年的设备管理费共计 9 千元，这种生产设 备的维修费各年为：第一年 2 千元，第二年 4 千元，第三年 6 千元，而且以后以每年 2 千 元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费 用最少)?§3.2 均值不等式均值不等式(二二) 知识梳理1．(1)x＝y 大 (2)x＝y 小 2s24p2．(1)正数 (2)定值 定值 自主探究 证明 当 x∈(0，＋∞)时，设 x10，即 y1>y2；a当 x1、x2∈(，＋∞)时，y1－y20，54所以 f(x)＝4x－2＋＝－＋314x－5(5－4x＋15－4x)≤－2＋3＝－2＋3＝15－4x·15－4x当 5－4x＝，即 x＝1 时，f(x)max＝1.15－4x例 2 解 方法一 ∵ ＋ ＝1，1x9y∴x＋y＝(x＋y)·＝10＋ ＋.(1x＋9y)yx9xy∵x>0，y>0，∴ ＋≥2＝6.yx9xyyx·9xy当且仅当 ＝，即 y＝3x 时，取等号．yx9xy又 ＋ ＝1，∴x＝4，y＝12.1x9y∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.方法二 由 ＋ ＝1，得 x＝，1x9yyy－9∵x>0，y>0，∴y>9.x＋y＝＋y＝y＋＝y＋＋1yy－9y－9＋9y－99y－9＝(y－9)＋＋10.∵y>9，∴y－9>0，9y－9∴y－9＋＋10≥2＋10＝16，9y－9y－9·9y－9当且仅当 y－9＝，即 y＝12 时取等号．9y－9又 ＋ ＝1，则 x＝4，1x9y∴当 x＝4，y＝12 时，x＋y 取最小值 16.变式训练 2 解 方法一 ∵a＋b＋3＝ab≤，a＋b24设 a＋b＝t，t>0，则 t2≥4t＋12.解得：t≥6 (t≤－2 舍去)，∴(a＋b)min＝6.方法二 ∵ab＝a＋b＋3，∴b＝>0，∴a>1.a＋3a－1∴a＋b＝a＋＝a＋＋1a＋3a－14a－1＝(a－1)＋＋2≥2＋2＝6.4a－1a－1·4a－1当且仅当 a－1＝，即 a＝3 时，取等号．4a－1例 3 解 (1)设每间虎笼长 x m，宽为 y m，则由条件知：4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy.方法一 由于 2x＋3y≥2＝2，2x·3y6xy∴2≤18，得 xy≤，6xy272即 S≤，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．272由Error!解得Error!故每间虎笼长为 4.5 m，宽为 3 m 时，可使面积最大．方法二 由 2x＋3y＝18，得 x＝9－ y.32∵x>0，∴00，∴S≤ ·2＝.32[6－y＋y2]272当且仅当 6－y＝y，即 y＝3 时，等号成立，此时 x＝4.5.(2)由条件知 S＝xy＝24.设钢筋网总长为 l，则 l＝4x＋6y.方法一 ∵2x＋3y≥2＝2＝24，2x·3y6xy∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48，当且仅当 2x＝3y 时，等号成立．由Error! 解得Error!故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．方法二 由 xy＝24，得 x＝.∴l＝4x＋6y＝＋6y24y96y＝6≥6×2＝48.(16y＋y)16y·y当且仅当＝y，即 y＝4 时，等号成立，此时 x＝6.16y故每间虎笼长 6 m，宽 4 m 时，可使钢筋网总长最小．变式训练 3 解 设路程为 s，跑步速度为 v1，步行速度为 v2，t甲＝＋＝s2v1s2v2 sv1＋v22v1v2s＝·v1＋·v2⇒t乙＝，t乙2t乙22sv1＋v2∴＝≥＝1.t甲t乙v1＋v224v1v22 v1v224v1v2∴t甲≥t乙，当且仅当 v1＝v2时“＝”成立．由实际情况知 v1>v2，∴t甲>t乙．∴乙先到教室．课时作业 1．B 2．B [∵点 P(x，y)在直线 AB 上，∴x＋2y＝3.∴2x＋4y≥2＝2＝4.]2x·4y2x＋2y23．C [2＋2(x＋12y)(y＋12x)＝x2＋y2＋＋ ＋14(1x2＋1y2)xyyx＝＋＋(x2＋14x2) (y2＋14y2) (xy＋yx)≥1＋1＋2＝4.当且仅当 x＝y＝或 x＝y＝－时取等号．]22224．A [∵(1＋k2)x≤k4＋4，∴x≤.k4＋41＋k2∵＝k4＋41＋k21＋k22－21＋k2＋51＋k2＝(1＋k2)＋－2≥2－2.51＋k25∴x≤2－2，M＝{x|x≤2－2}，55∴2∈M,0∈M.] 5．1 760 解析 设水池的造价为 y 元，长方形底的一边长为 x m，由于底面积为 4 m2，所以另一边长为 m．那么4xy＝120·4＋2·80·＝480＋320(2x＋2·4x)(x＋4x)≥480＋320·2＝1 760(元)．x·4x当 x＝2，即底为边长为 2 m 的正方形时，水池的造价最低，为 1 760 元．6．8 解析 ∵A(－2，－1)在直线 mx＋ny＋1＝0 上，∴－2m－n＋1＝0，即 2m＋n＝1，mn>0，∴m>0，n>0.＋ ＝＋＝2＋ ＋＋21m2n2m＋nm4m＋2nnnm4mn≥4＋2·＝8.nm·4mn当且仅当 ＝，即 m＝ ，n＝ 时等号成立．nm4mn1412故 ＋ 的最小值为 8.1m2n7.14解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为 a、b，则＋1＝a＋b＋≥2＋，解得 ab≤ ，当且仅当 a＝b＝时取“＝” ，所以2a2＋b2ab2ab1222直角三角形面积 S≤ ，即 S 的最大值为 .1414 8．20 解析 设一年的总运费与总存储费用之和为 y 万元，则 y＝×4＋4x＝4≥160 万元，400x(x＋400x)当且仅当 x＝，即 x＝20 时取到最小．400x9．解 (1)2x＋y＝＝(2x＋y)32x＋y313(1x＋2y)＝≥ (2＋4)＝ .13(yx＋4xy＋4)13483当且仅当 ＝时取“＝” ，即 y2＝4x2，∴y＝2x.yx4xy又∵ ＋ ＝3，求出 x＝ ，y＝ .1x2y2343∴2x＋y 的最小值为 .83(2)∵x>－1，∴x＋1>0，设 x＋1＝t>0，则 x＝t－1，于是有 y＝＝t＋4t＋1tt2＋5t＋4t＝t＋ ＋5≥2＋5＝9，4tt·4t当且仅当 t＝ ，即 t＝2 时取等号，此时 x＝1.4t∴当 x＝1 时，函数 y＝取得最小值为 9.x＋5x＋2x＋110．解 设使用 x 年的年平均费用为 y 万元．由已知，得 y＝，10＋0.9x＋0.2x2＋0.2x2x即 y＝1＋＋(x∈N*)．10xx10由均值不等式知 y≥1＋2 ＝3，当且仅当＝，即 x＝10 时取等号．因此使用10x·x1010xx1010 年报废最合算，年平均费用为 3 万元．。