全国高中数学联赛湖南预赛试题及答案.docx

精品名师归纳总结2021 年湖南省高中数学竞赛〔 A 卷〕〔2021-06-27 〕一、选择题〔每个 5 分，共 6 题〕1. 将选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去年 1 个最低分， 7 个剩余分数的平均分为 91，现场做的 9 个分数的茎叶图有一个数据模糊， 无法识别， 在图中以 x 表示， 就 7 个剩余分数的方差为可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结A. 1169B. 36 7C. 36 D. 6 77可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结2. 半径为 R 的球的内部装有 4 个有相同半径 r 的小球，就小球半径 r 可能的最大值是可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结A. 3 R B. 2 36 R C.3 61 R D. 5 R 1 3 2 5可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知数列 { an} 和{b n} 对任意n N ，都有 anbn ，当 n 时，数列 { an} 和{b n} 的极限分可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结*别是 A 和 B ，就A. A B B. A B C. A B D. A 和 B 的大小关系不确定可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结4. 对全部中意 11n m 5 的 m,n,极坐标方程表示的不同双曲线条数为可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结mA. 6 B. 9 C. 12 D. 151 C n cos可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结5. 使关于 x 的不等式x 3 6x k 有解的实数 k 的最大值是可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结A. 6 3 B. 3 C. 6 3 D. 6可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结6. 设 M { |x2 y2 , x, y Z} ，就对任意的整数 n，形如 4n,4n+1,4n+2,4n+3 的数中，不可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结是 M 中的元素的数为A. 4n B. 4n+1 C. 4n+2 D. 4n+3二、填空题〔每个 8 分，共 6 题〕7. 已知三边为连续自然数的三角形的最大角是最小角的两倍，就该三角形的周长为：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结8. 对任一实数序列A 〔 1 , 2,3 ,...〕，定义△ A 为序列 〔2 1 ,3 2 ,4 3,...〕 ，它的第 n可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结项是 n 1n ，假定序列△〔△ A 〕的全部项都是 1，且 19 92 0 ，就 1的值为：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结9. 中意使 I[ 1 12 2 3ni ] 为纯虚数的最小正整数 n=可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结10. 将 1， 2， 3， ...，9 这 9 个数字填在如下图的 9 个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下分别依次增大，当 3，4 固定在图中的位置时，填写空格的方法数为：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结11. 记集合 Ta1 a22 3 4{0,1,2,3,4,5,6}, M {a3 a4| a T ,i1,2,3,4}，将 M 中的元素按从可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结i7 7 7 7大到小次序排列，就第 2021 年数是：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结12. 设直线系M : x cos 〔 y2〕sin 1〔0 2 〕，对于以下四个命题：可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结① M 中全部直线均经过一个定点②存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结③对于任意整数n〔 n3〕 存在正 n 边形，其全部边均在 M 中的直线上可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结④ M 中的直线所能围成的三角形面积都相等其中真命题的代号是： 〔写出全部真命题的代号〕三、解答题〔共 4 题，总分值 72 分〕13. 〔本小题总分值 16 分〕如下图， AB 为 Rt△ABC 的斜边， I 为其内心，假设△ IAB 的外接圆的半径为 R， Rt△ABC的内切圆半径为 r，求证： R 〔2 2〕 r .可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结14. 〔本小题总分值 16 分〕2 2 2 2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结2 2如图， A ，B 为椭圆 x ya bx y1 〔a>b>0〕 和双曲线 2 2a b1 的公共顶点， P、Q 分别为双曲可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结线和椭圆上不同于 A 、B 的动点，且中意AP BP〔AQ BQ〕〔R,| | 1〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结求证：〔Ⅰ〕三点 O、P、Q 在同始终线上。

〔Ⅱ〕假设直线 AP、BP、AQ、 BQ 的斜率分别是 k1 、k2 、k3、k 4，就 k 1+k 2+k 3+k 4 是定值15. 〔本小题总分值 20 分〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结已 知 整 数 列 { a } ， {b } 满 足 a a1 ， b1 a b ， 对 于 正 整 数 n， 定 义 函 数可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结n n n 1 nn 1 n n2可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结n n nf 〔x〕 x 2a x b ，证明：假设存在某个f 〔x〕 有两个整数零点，就必有无穷多个f 〔x〕 有可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结kn两个整数零点可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结x16. 〔本小题总分值 20 分〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结已知 a0，函数f 〔x〕 lnx a〔x1〕, g〔x〕 e 。

可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结〔Ⅰ〕经过原点分别作曲线y f 〔x〕 和y g〔 x〕的切线l1 和 l2 已知两切线的斜率互为倒数，可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结2求证： e 1 a e 1e e可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结〔Ⅱ〕设h〔 x〕f 〔 x 1〕g〔x〕 ，当 x0 时，h〔 x〕 1 恒成立，试求实数 a 的聚会范畴可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结2021 年湖南省高中数学竞赛答案〔 A 卷〕可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结BBBADC7.15 8.819 9.3 10.6 11. 386240112.②③可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结13.14.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结15.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载精品名师归纳总结16.可编辑资料 -- -- -- 欢迎下载。