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傅立叶变换与频谱分析 1 第二章 傅立叶变换与频谱分析 ? 离散信号的傅立叶变换及其特征 ? 线性移不变系统的频率响应 ? 频谱分析 这一章介绍信号与系统的频域分析和频域处理的理论与方法频域是区别于时域的另一 种数据域，这里，信号以各种正弦波的叠加形式表现，有些谐波成分的能量较大，有些则较 小频域分析的目的是获取信号的正弦谐波分布范围以及各谐波的能量大小和延迟信息，从 而更加全面地分析信号的特征，为进一步的处理、传输和分类识别等提供基础 频域分析的主要手段是傅立叶变换离散时间信号通过傅立叶变换得到的频谱 （s p e c t r u m ）是周期性频谱，是相应连续时间信号频谱的一种周期性延拓，并具有对称性 傅立叶变换得到的频谱是一个复数值，由实部和虚部构成，但一种更常用的形式是用幅度和 相位表示，分别称作幅度谱（m a g n i t u d e s p e c t r u m ）和相位谱（p h a s e s p e c t r u m ） 实际应 用中大部分情况感兴趣的是幅度谱，因为其包含了信号频域的主要特征信息，如频谱峰值和 谷点等 2.1 离散信号的傅立叶变换 离散信号通过傅立叶变换得到信号的频域分布，也就是信号的频谱，反映了构成信号的 频率成分和大小。

2.1.1 离散信号傅立叶变换的定义 离散信号)(nx的傅立叶变换定义如下式（2 - 1 ） ，简称为离散时间傅立叶变换（D T F T ： D i s c r e t e T i m e F o u r i e r T r a n s f o r m ） ： ∑ ∞ −∞= − = n njj enxeX ωω )()( 2 - 1 这里，ω称为角频率，其与普通频率f和采样频率 s f的关系如下： 傅立叶变换与频谱分析 2 s f fπ ω 2 = 2 - 2 通过离散时间傅立叶变换 D T F T ，时域信号)(nx被转化为频域分布信号)( ωj eX一般， )( ωj eX是一个随角频率ω变化的复数，并且ω分布在（- ∞，+ ∞）之间尽管)(nx在时域是离 散分布的，但)( ωj eX却是连续分布的，对任意一个实数域的ω都有相应的取值信号)(nx的 离散傅立叶变换)( ωj eX在实际应用中的一个通常叫法是频谱，即一系列随频率而变化的值， 反映了信号的频域分布和变化规律 离散时间傅立叶变换)( ωj eX可以表示成（2 - 3 ）式或相应的极坐标形式（2 - 4 ） ，它们的 关系由（2 - 5 ）和（2 - 6 ）表示。

)()()](Im[)](Re[)( ωωωωωj i j r jjj ejXeXeXjeXeX+=+= 2 - 3 )( | )(|)( ωθωω X jjj eeXeX= 2 - 4 )()(| )(| 22ωωω += j i j r j eXeXeX 2 - 5 } )( )( {tan)( 1 ω ω ωθ j r j i X eX eX − = 2 - 6 （2 - 5 ）式的| )(| ωj eX是信号)(nx的频率响应幅度谱，而（2 - 6 ）式的)(ωθX为相位谱幅度 谱的值随频率的变化不会小于零，相位谱的主值随频率可以在（- π，+ π）之间变化 例 2 - 1 ：设一指数离散时间信号)(nx如下：    0.5 2- 44 傅立叶变换与频谱分析 9 由于收敛域包含单位圆，因此相应的傅立叶变换存在，由)(ZH推导得到，如下： )sin(5 . 0)cos(5. 01 1 5 . 01 1 )( ω+ω− = − = ω− ω je eH j j 2- 45 当输入正弦信号)5. 0cos()(nnxπ=时，系统的频率响应为)( 5 . 0 πj eH，相应的幅度频率响应 和相位频率响应如下： 894. 0 5 . 01 1 | 5 . 01 1 || )(| 2 5 . 0 = + = + = π j eH j 2- 46 4636. 0}5 . 0{tan)( 1 −=−=ωθ − H 2- 47 因此，系统的输出信号)(ny为 )4636. 05 . 0cos(894. 0)(−π=nny 2- 48 2.4 系统函数零极点与频率响应的关系 第一章关于线性移不变系统 Z 变换的分析指出，系统函数的收敛域是以极点为边界的圆 形区域，在极点处系统函数的值为无穷大，而在零点处，系统函数的值为零。

这一章分析系 统函数的零极点对系统的频率响应的影响 对于稳定的线性移不变系统，其系统函数)(ZH的收敛域包含单位圆，因此，系统的频 率响应)( ωj eH存在并且，由于不可能在单位圆上存在极点，所以频率响应不可能出现无穷 大值 设线性移不变系统的系统函数如下： ∏ ∏ = − = − − λ− = N k k M k k Zp ZG ZH 1 1 1 1 )1 ( )1 ( )( 2- 49 其中 kk p,λ分别是系统函数的零点和极点这些零点和极点在 Z 平面上的分布可以用实部和 虚部来描述，也可以用极坐标或向量的形式表示 Re{Z} Im{Z} 1 - 1 +j - j × p 1 × p 2 λ1 ° 单位圆 图 2.4 零极点在 Z 平面上的向量形式表示 傅立叶变换与频谱分析 10 图 2.4 表示了两个极点 4/ 2 4/ 1 8 . 0,8 . 0 π−π == jj epep和零点5 . 0 1 −=λ的情况 (2- 49)式对应的系统频率响应如下式所示： ∏ ∏ = ω− = ω− ω − λ− = N k j k M k j k j ep eG eH 1 1 )1 ( )1 ( )( 2- 50 相应的幅度谱为 ∏ ∏ = ω− = ω− ω − λ− = N k j k M k j k j ep eG eH 1 1 |1 | |1 ||| | )(| 2- 51 其中分子和分母的基本项|1 | ω− λ− j ke 和|1 | ω− − j ke p可以作以下变换，从而看出它们分别表示 零点和极点到单位圆上某点 ωj e的距离。

|||1 | k jj k eeλ−=λ− ωω− 2- 52 |||1 | k jj k peep−=− ωω− 2- 53 如果用 k DZ表示零点 k λ到 ωj e的向量， k DP表示极点 k p到 ωj e的向量，则它们之间的向量关 系如图 2.5 所示，而（2- 51）可以表示成下列形式 ∏ ∏ = =ω = N k k M k k j DP DZG eH 1 1 || |||| | )(| 2- 54 Re{Z} Im{Z} 1 - 1 +j × ° ωj e k p k DP k DZ k λ 单位圆 图 2.5 零极点到单位圆上的点（对应频率ω）的向量表示 从公式（2- 54）和图 2.5 可以看出， k DZ和 k DP是随着角频率ω的变化而变化的当 k λ 与 ωj e两个向量方向一致时（如图 2.5 中虚线所示） ， k DZ向量的模|| k DZ得到极小值，系统 的频率响应幅度谱会得到一个局部的极小值当 k p与 ωj e两个向量方向一致时（如图 2.5 中 傅立叶变换与频谱分析 11 虚线所示） ， k DP向量的模|| k DP得到极小值，系统的频率响应幅度谱会得到一个局部的极大 值。

因此， 从频谱上看， 零点会对系统频率响应幅度谱产生一个谷点， 而极点产生一个峰值， 并且，零极点越是靠近单位圆，这种效果越明显当然，当一对零极点靠得较近，或离单位 圆较远的话，会因两者作用的相互抵消而不引起以上现象或表现不明显 例 2- 5：设有一稳定的线性移不变系统，其系统函数如下所示： )9 . 01)(9 . 01 ( )1)(1 ( )( 13/13/ 14/14/ −π−−π −π−−π −− −− = ZeZe ZeZe ZH jj jj 2- 55 分析其零极点以及频率响应幅度谱 解：从给定的系统函数可以看出，其零极点分别如下： 零点： 4/ 2 4/ 1 , ππ λλ jj ee − == 极点： 3/ 2 3/ 1 9 . 0,9 . 0 π−π == jj epep 从系统函数零极点的位置以及前面的分析可以得出，系统的频率响应幅度谱应该在 4/πω±=处有两个局部极小值，而在3/πω±=处有两个局部极大值 由系统函数得到以下系统频率响应： )9 . 0)(9 . 0( ))(( )9 . 01)(9 . 01 ( )1)(1 ( )( 3/3/ 4/4/ 3/3/ 4/4/ π−ωπω π−ωπω ω−π−ω−π ω−π−ω−π ω −− −− = −− −− = jjjj jjjj jjjj jjjj j eeee eeee eeee eeee eH 2- 56 相应的幅度谱计算式如下： 2222 2222 3/3/ 4/4/ )) 3 sin(9 . 0)(sin()) 3 cos(9 . 0)(cos()) 3 sin(9 . 0)(sin()) 3 cos(9 . 0)(cos( )) 4 sin()(sin()) 4 cos()(cos()) 4 sin()(sin()) 4 cos()(cos( |9 . 0||9 . 0| |||| | )(| π +ω+ π −ω π −ω+ π −ω π +ω+ π −ω π −ω+ π −ω = −− −− = π−ωπω π−ωπω ω jjjj jjjj j eeee eeee eH 2- 57 幅度谱谱图如图 2.6 所示，由于有效频谱的ω分布范围在[0，π]，所以图中仅画出了这一范围 的幅度谱。

可以很明显地从图中看到，在极点 3/ 1 π j ep =所对应的频率3/πω= p 处有一个峰， 而在零点 4/ 1 π λ j e=对应的频率4/πωλ=处有一个谷点 傅立叶变换与频谱分析 12 图 2.6 频率响应幅度谱 2.5 离散信号频谱与模拟信号频谱之间的关系 尽管模拟信号的傅立叶变换 FT（Fourier Transform）不是本书的内容，但为了更好地理 解离散信号的傅立叶变换，即离散时间傅立叶变换 DTFT，有必要清楚认识两者之间的关系 特别是对于离散信号傅立叶变换的角频率ω与频率f（以 Hz 为单位）的关系式（2- 2） ，也有 必要明白其关系的来历 2.5.1 模拟信号的傅立叶变换 模拟信号)(txa的傅立叶变换如下式： ∫ ∞ ∞− π− =dtetxfX ftj aa 2 )()( 2- 58 )( fXa被称为模拟信号的频谱，反映了模拟信号在频域随频率变化的特征，并且是一个复数 形式，相应的频谱幅度和相位为 频谱幅度：)()(| )(| 22 fXfXfX ira += 2- 59 频谱相位：) )( )( (tan)( 1 fX fX f r i X − =θ 2- 60 显然，模拟信号的幅度谱也是对称分布的。

例 2- 6：设有一指数信号，      ≤ = − 00 0 )( t te tx t 2- 61 求其傅立叶变换并画出频谱幅度 解：由式（2- 58）得信号的傅立叶变换如下： 傅立叶变换与频谱分析 13 fj dteefX ftjt π π 21 1 )( 2 + = = ∫ ∞ ∞− −− 2- 62 因此，相应的频谱幅度为 2 )2(1 1 | )(| f fX π+ = 2- 63 图 2.7 是模拟信号)(tx的幅度谱图 图 2.7 模拟信号)(tx的幅度谱 2.5.2 离散时间傅立叶变换的导出 对模拟信号)(txa的采样在理论上可以通过图 2.8 所示的采样函数与模拟信号的乘积实 现设采样频率为 s f，周期为 s fT/1=，则采样函数)(t T δ和采样形成的信号)(txs的具体形 式如下： ∑ ∞ −∞= −= n T nTtt)(。