类型②　相似三角形的判定与性质.doc

类型②　相似三角形的判定与性质,备考攻略)1．有关相似三角形的计算问题(如边、角、周长、面积等)．2．用相似三角形解决实际问题．3．证明两个三角形相似或有关相似三角形的证明．1．对应关系判断错误．2．忽视分类讨论而出错．3．错记相似三角形的面积比而出错．1．求证两三角形相似，方法有：(1)对应的两个角相等(经常用到)；(2)三组对应边成比例；(3)两组对应边成比例，并且相应的夹角相等；(4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；(5)对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形(定义)．2．相似三角形的对应角相等，对应边成比例，相似比＝边长比＝周长比＝对应高的比＝对应中线的比＝对应角平分线的比；面积比＝相似比的平方．3．做题时灵活运用相关知识．1．有关相似三角形的计算问题：熟悉并掌握相似三角形的性质，在求解过程中能够找出边或角的对应关系，适当的运用方程、转化、分类等数学思想．2．用相似三角形解决实际问题：首先将实际问题转化为相似三角形的模型，再判断说明两个三角形相似及利用相似三角形的性质求解．3．证明两个三角形相似或有关相似三角形的证明：熟悉并掌握相似三角形的判定方法，注意总结归纳相似三角形的一些基本模型．,典题精讲)　　　　　　　　　　　　　　　　　【例1】(2017自贡中考)在△ABC中，MN∥BC分别交AB，AC于点M，N；若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为________．【解析】由MN∥BC，易证△AMN∽△ABC，根据相似三角形的性质即可得到结论．【答案】11．(2016乐山中考)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC的周长之比为2∶3，AD＝4，则DB＝__2__．2．如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为__12__．(第2题图)　　　(第3题图)3．(南宁中考)有3个正方形如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1∶S2等于(　D　)A．1∶ B．1∶2C．2∶3 D．4∶9【例2】(齐齐哈尔中考)如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)若∠ABD＝45°，AC＝3时，求BF的长．【解析】(1)由∠C＋∠DBF＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，推出∠DBF＝∠DAC，由此即可证明；(2)先证明AD＝BD，由△ACD∽△BFD，得＝1，即可解决问题．【答案】解：(1)∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C＋∠DBF＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，∴△ACD∽△BFD；(2)∵∠ABD＝45°，∠ADB＝90°，∴AD＝BD，∴＝1.∵△ACD∽△BFD，AC＝3，∴＝＝1，∴BF＝3.4．(2017毕节中考)如图，在▱ABCD中过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.(1)求证：△ABF∽△BEC；(2)若AD＝5，AB＝8，sinD＝，求AF的长．解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，AD＝BC，∴∠D＋∠C＝180°，∠ABF＝∠BEC.∵∠AFB＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠D，∴∠C＝∠AFB，∴△ABF∽△BEC；(2)∵AE⊥DC，AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE＝90°.在Rt△ADE中，sinD＝＝＝，∴AE＝4.在Rt△ABE中，根据勾股定理得：BE＝＝＝4.∵BC＝AD＝5，由(1)得：△ABF∽△BEC，∴＝，∴＝，解得：AF＝2.　1．(湘西中考)如图，在△ABC中，DE∥BC，DB＝2AD，△ADE的面积为1，则四边形DBCE的面积为(　D　)A．3 B．5C．6 D．82．(随州中考)如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比是(　B　)A．1∶3 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶25(第2题图)　　　　(第3题图)3．(毕节中考)在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A.已知BC＝2，AB＝3，则BD＝____.4．(岳阳中考)如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，点F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠B＝90°，AD∥BC，∴∠AMB＝∠EAF.又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°，∴∠B＝∠AFE，∴△ABM∽△EFA；(2)∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，∴AM＝＝13，AD＝12.∵F是AM的中点，∴AF＝AM＝6.5.∵△ABM∽△EFA，∴＝，即＝，∴AE＝16.9，∴DE＝AE－AD＝4.9.5．(2017安徽中考节选)已知正方形ABCD，点M边AB的中点．如图，点G为线段CM上的一点，且∠AGB＝90°，延长AG，BG分别与边BC，CD交于点E，F.求证：(1)BE＝CF; (2)BE2＝BC·CE.解：(1)∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°.∴∠ABG＋∠CBF＝90°.∵∠AGB＝90°， ∴∠ABG＋∠BAG＝90°， ∴∠BAG＝∠CBF.在△ABE和△BCF中∴△ABE≌△BCF, ∴BE＝CF；(2)∵∠AGB＝90°，点M为AB的中点， ∴MG＝MA＝MB, ∴∠GAM＝∠AGM.又∵∠CGE＝∠AGM，∠GAM＝∠CBG, ∴∠CGE＝∠CBG, 又∠ECG＝∠GCB, ∴△CGE∽△CBG, ∴＝，即CG2＝BC·CE, 由∠CFG＝∠GBM＝∠BGM＝∠CGF得CF＝CG, 由(1)知BE＝CF, ∴BE＝CG, ∴BE2＝BC·CE.6。