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点集拓扑学 点集拓扑学 合肥工业大学数学学院 预备学问1.点集拓扑的定义 《点集拓扑学》课程是一门现代数学根底课程，属数学与应用数学专业的理论课是数学与应用数学专业的主干课点集拓扑学〔Point Set Topology〕，有时也被称为一般拓扑学〔General Topology〕，是数学的拓扑学的一个分支它探究拓扑空间以及定义在其上的数学构造的根本性质这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致探究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析它的表述形式也许在1940年左右就已经成文化了通过这种可以为全部数学分支适用的表述形式，点集拓扑学根本上抓住了全部的对连续性的直观相识 2.点集拓扑的起源 点集拓扑学产生于19世纪G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑构造的重要结果1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的探究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的起先 3.一些参考书籍〔1〕《拓扑空间论》，高国士，科学出版社，2000年7月第一版 〔2〕《根底拓扑讲义》，尤承业，北京大学出版社，11017年11月第一版 〔3〕《一版拓扑学讲义》，彭良雪，科学出版社，2022年2月第一版 2 第一章 集合论初步 在这一章中我们介绍有关集合论的一些根本学问．从未经定义的“集合”和“元素”两个概念启程给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的学问等。

这里所介绍的集合论通常称为“朴实的集合论”，这对大局部读者已经是足够了．那些对集合的理论有进一步需求的读者，例如准备探究集合论本身或者准备探究数理逻辑的读者，建议他们去研读有关公理集合论的专著 1.1 集合的根本概念集合这一概念是简单被读者所理解的，它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体例如我们常说“正在这里听课的全体学生的集合”, “全部整数的集合”等等．集合也常称为集集合〔即通常所谓的“集体”〕是由它的元素〔即通常所谓的“个体”〕构成的．例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素；全部整数的集合以每一个整数为它的元素．元素也常称为元，点或成员．集合也可以没有元素．例如平方等于2 的有理数的集合，既大于1 又小于2 的整数的集合都没有任何元素，这种没有元素的集合我们称之为空集，记作?此外，由一个元素构成的集合，我们常称为单点集．用文句来描述一个集合由哪些元素构成〔像前面所作的那样〕，是定义集合的一个重要方式．此外，我们还通过以下的方式｛x︱关于x 的一个命题P }表示使花括号中竖线后面的那个命题P 成立的全部元素x构成的集合．集合表示方式中的竖线“︱”也可用冒号“: ”或分号“; ”来代替．此外，也常将一个集合的全部元素列举出来再加上花括号以表示这个集合．我们常用：N 表示全体正整数构成的集合，称为正整数集； Z 表示全体整数构成的集合，称为整数集； Q 表示全体有理数构成的集合，称为有理数集； R 表示全体实数构成的集合，称为实数集。

我们从前在数学的各种科目中学过诸如函数、偏序〔自反、反对称、传递〕、运算以及等价等种种概念，它们的一个共同的特点在于给出了某些给定集合的元素之间的某种联系．为了明确地定义它们，我们先定义“关系”，而为了定义关系，又必需先有两个集合的笛卡儿积这个概念 定义1.1.1设X和Y 是两个集合．集合(x,y)x?X,y?Y称为X与Y 的笛卡儿积，记作 3??x称为(x,y)的第一个坐标，读为X叉乘Y 其中(x,y)是一个有序偶，y称为(x,y)X?Y，的其次个坐标．X称为X?Y的第一个坐标集，Y 称X?Y的其次个坐标集．集合X与自身的笛卡儿积X?X称为X的2 重〔笛卡儿〕积，通常简洁记作X2. 〔有序偶的定义请参考书本〕1.2 集合的根本运算〔略〕1.3关系定义1.3.1 设X，Y是两个集合，假如R 是X与Y 的笛卡儿积X?Y 的一个子集，即R?X?Y，那么就称R 是从X到Y 的一个关系假如(x,y)?R，那么我们称x与y是R相关的，并且记作xRy．假设A?X，那么Y的子集?y?Y存在x?A,使得?x,y??R?称为集合A 对于关系R 而言的象集，或者简洁地称为集合A 的象集，或者称为集合A 的R 象，并且记作R(A)，R?X?称为关系R 的值域．关系的概念是非常广泛的，大家很快便会看到，以前在另外的数学学科中学过的函数〔映射〕，等价，序，运算等等概念都是关系的特例．定义1.3.2 设R 是从集合X到集合Y 的一个关系，即R?X?Y，这时笛卡儿积Y?X的子集?(y,x)?Y?XxRy?是从集合Y 到集合X的一个关系，我们称它为关系R的逆，并且?1?1?1?1R(B)是集合B 的R?1象，我们也常称它为集合B对于B?Y记作R。

假如，X的子集关系R而言的原象，或者集合B的R原象特殊，关系R的值域R(Y)也称为关系R的定义域．定义1.3.3设R 是从集合X到集合Y的一个关系，S是从集合Y到集合Z的一个关系，称关系(x,z)?X?Z存在y?Y使得xRy并且ySz为关系R与关系S的复合或积，记作SOR. 定理1.3.4 设R是从集合X到集合Y的一个关系，S是从集合Y到集合Z的一个关系，T是从集合Z到集合U的一个关系．那么 ( l )(R)?1?1???R ；4 ( 2 )(S?R)?1?R?1?S?1 ；( 3 )T?(S?R)?(T?S)?R另外，对于X的随意两个子集A和B，我们有： 〔4〕R(A?B)?R(A)?R(B)； 〔5〕R(A?B)?R(A)?R(B)； 〔6〕(S?R)(A)?S(R(A)).定义1.3.5 集合X中的一个关系R称为集合X中的一个等价关系，假如它满意： 〔1〕自反性，即?x?X,(x,x)?R，或者?(X)?R； 〔2〕对称性，即假设(x,y)?R，那么(y,x)?R，或者R?1?R；〔3〕传递性，即假设(x,y)?R,(y,z)?R,那么(x,z)?R，或者R?R?R.1.4 映射 定义1.4.1 设F是从集合X到集合Y的一个关系．假设对于每一个x?X，存在唯一的一个y?Y使得xFy，那么称F 是从X到Y的一个映射，并且记作F:X?Y.定义1.4.2 设X1,X2,?,Xn是n个集合。

从笛卡尔集X?X1?X2???Xn到它的第i个坐标集Xi的投射〔或称第i个投射〕Pi:X?Xi定义为对每一个x?(x1,x2,?,xn)?X，Pi(x)?xi.定义1.4.3 设R 是集合X中的一个等价关系．从集合X到它的商集X／R 的自然投射p:X?X/R定义为对于每一个x?X,p(x)?[x]R. 其次章 拓扑空间与连续映射2.1 拓扑空间与连续映射从数学分析中读者已经熟知单变量和多变量的连续函数，它们的定义域和值域都是欧氏空间〔直线，平面或空间等等〕或是其中的一局部．在这一章中，我们首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义 5 ?1(1)*?(1)设(1)*成立，那么对随意给定的f(x0)的球形邻域B(f(x0),?)，f(B(f(x0),?))是x0的一个邻域，依据定理2.2.12, x0有一个球形邻域B(x0,?)包含于f?1(B(f(x0),?))．因此f(B(x0,?))?B(f(x0,?))．这证明f在点x0处连续．(2) ?(2) 设〔2〕成立．令V 为Y 中的一个开集且U?f*?1(V).?x?U，我们有f(x)?V．由于V 是一个开集，所以V 是f(x)的一个邻域．由于f在每一点处都连续，故依据(1)可知道U 是x的一个邻域．于是有包含x的某一个开集Ux使得Ux?U，易见*U?x?U?Ux．由于每一个Ux都是开集，依据定理2.2.10，我们知道U 是一个开集．(2)*?(2) 设〔2〕成立．对于随意x?X，设U是f(x)的一个邻域，即存在包含f(x)的一个开集V?U．从而x?f所以f?1?1(V)?f?1(U)．依据(2)*,我们知道f?1(V)是一个开集，(U)是x的一个邻域，因此对于x而言，(1)*成立，于是f在点x处连续。

由于点x是随意选取的，所以f是一个连续映射．2.3 拓扑空间与连续映射从上一节定理2.2.14可以看出：度量空间之间的一个映射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续的，本质上只与度量空间中的开集有关〔留意，邻域是通过开集定义的〕．这就导致我们甩开度量这个概念，参照度量空间中开集的根本性质〔定理2.2.10〕建立拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的概念．此时此刻我们遵循这一思路，即从开集及其根本性质〔定理2.2.10 〕启程来建立拓扑空间的概念． 定义2.3.1 设X是一个集合，T 是X的一个子集族．假如T 满意如下条件： (1)X,??T ；(2)A,B?T ?A?B?T ； (3) T 1? T ??{A:A?T 1}?T .那么称T 是X的一个拓扑．假如T 是集合X的一个拓扑，那么称偶对〔X，T 〕是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑T 而言的拓扑空间；或者当拓扑T 早已约定或在行文中已有说明而无须指出时，就称集合X是一个拓扑空间此外T 的每一个元素都叫做拓扑空间〔X，T 〕中的一个开集．此时此刻我们可以将上述定义中的三个条件与定理2.2.10的三个结论参照一下，将“U属于T ”读做“U是一个开集”，便会发觉两者事实上是一样的． 11 此时此刻首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴．定义2.3.2 设〔X，?〕是一个度量空间．令T 定理2.2.10，T??为由X中的全部开集构成的集族，依据是X的一个拓扑．我们称T?为X的由度量?诱导出来的拓扑，此外我?们约定：假如没有另外的说明，我们提到度量空间〔X，?〕的拓扑时，指的就是拓扑T 在称度量空间〔X，?〕为拓扑空间时，指的就是拓扑空间(X, T?；).因此，实数空间R，n维欧氏空间Rn〔特殊，欧氏平面R2) , Hilbert 空间H 都可以叫做拓扑空间，它们各自的拓扑分别是由例2.1.1 , 例2.1.2 和例2.1.3 中定义的各自的度量所诱导出来的拓扑．度量空间是拓扑空间中最为重要的一类．此外，我们还有其它一些拓扑空间的例子． 例2.3.3 平凡空间．设X是一个集合．令T =?X,??，简单验证，T 是X的一个拓扑，称之为X的平凡拓扑；并且我们称拓扑空间(X, T )为一个平凡空间．在平凡空间(X, T )中，有且仅有两个开集，即X本身和空集． 例2.3.4离散空间．设X是一个集合，令T ＝2，即T 是由X的全部子集构成的族．简单验证T 是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑；并且我们称拓扑空间(X, T )为一个离散空间．在离散空间(X, T )中，X的每一个子集都是开集． 例2.3.5 设X＝{ a , b , c } ．令T ＝{?, {a},{a,b},{a,b,c}}简单验证T是X的一个拓扑，因此(X, T )是一个拓扑空间，这个拓扑空间既不是平凡空间又不是离散空间．例2.3.6 有限补空间．设X是一个集合．对于X的每一个子集A，它的补集X-A 我们写为A．令T =U?2'X?X:U'是有限的?????可以验证T是X的一个拓扑，称之为X的有限补拓扑．拓扑空间(X, T )称为一个有限补空间．例2.3.7可数补空间. 设X是一个集合．令T =U?2?X:U'是可数的。