第五节空间直线及其方程教学幻灯片.ppt

一、空间直线的点向式方程 和参数方程二、空间直线的一般方程三、空间两直线的夹角第五节 空间直线及其方程第八章 向量代数 空间解析几何 设 M(x, y, z)是直线 L 上任意一点，设直线 L 过点 M0(x0, y0, z0)，是直线 L 的向量.由两向量平行的充要条件可知方程组 称为直线的点向式方程或标准方程 (当 m，n，p 中有一个或两个为零时， 就理解为相应的分子是零).MxLsyzM0一、空间直线的点向式方程和参数方程若直线 L 的方程为平面 的方程为则直线 L 与平面 平行的充要条件是 mA + nB + pC = 0 .直线 L 与平面 垂直的充要条件是 在直线方程 中，记其比值为 t ，则方程组称为直线的参数方程，t 为参数.例 2求过点 M1 (x1, y1, z1)， M2(x2, y2, z2)的直线方程.解设所求的直线方程为由于直线过点 M1，M2 ,所以可取向量 为直线的方向向量 s . 故所求的直线方程为 例 3求过点(1, 3, 2) 且平行于两平面 3x y + 5z + 2 = 0 及 x + 2y 3z + 4 = 0 的直线方程.解设所求的直线方程为因为所求直线平行于两平面， 故直线的方向向量 s 垂直于两平面的法向量 n1 = 3 , 1 , 5 及 n2 = 1 , 2 , 3 .所以因此所求的直线方程为即 显然 P 点的坐标应同时满足已知的直线方程与平面方程. 与平面 2x + y z 5 = 0 的交点.例 4解 设所求交点为 P(x, y, z)，解方程组得 t = 4 ， 代入参数方程得 x = 3，y = 6，z = 5，即交点 P 的坐标为(3, 6, 5).由于 L 的参数方程为例 5求点 P(1, 1, 4)到直线 L：的距离.解 过点 P 且垂直于直线 L 的平面 的法向量为 n = 1, 1, 2，则平面方程为( x1 ) + ( y 1 ) + 2( z 4 ) = 0，即 x + y + 2z 10 = 0 . x = 2 + t，y = 3 + t， z = 4+ 2t，将 代入 ， 得6t + 3 = 0，即将 代入 得交点 Q 的坐标为所以点 P 到 L 的距离 称为空间直线的一般方程.二、空间直线的一般方程方程组 表示这两个平面的交线，例如方程组 表示 z 轴所在的直线方程， 而表示 y 轴所在的直线方程. 因为 s 分别垂直于两平面的法向量 即点( 2, 0, 0 )在直线上. 例 6 将直线方程 化为点向式方程及参数方程.解 令 z = 0 代入原方程得 x = 2， y = 0， n1 = 1, 1, 2，n2 = 2, 1, 3.所以所以直线的点向式方程为令上式等于 t，得已知直线的参数方程为又因已知直线例 7一直线过点 M5, 0, 2， 且与直线平行，求该直线方程.解 因为所求直线过点(5, 0, 2)， 所以它的方程为 的方向向量 s 为：即 s = m, n, p =2, 5, 11 ，因此， 所求直线方程为 三、空间两直线的夹角两直线方向向量的夹角称为两直线的夹角.设直线 L1 和 L2 的方程为那么 L1 和 L2 的夹角 的余弦为 两直线 L1，L2 垂直的充要条件是:通常规定， 0 , . 易知两直线 L1，L2 平行的充要条件是： 确定下列各方程组所表示的直线或直线与平面间的位置关系：例 8解(3)直线 L3 / 平面 1;(4)直线 L4 在平面 2 上; (5)直线 L5平面 3 .例 9求直线 L1 :和的夹角.解由公式可得所以。