数理方程 r10 试卷 a 修改版(2013年修).pdf

大 连 交 通 大 学 试 卷大 连 交 通 大 学 试 卷 2012 ～2013 学年 第一学期 教研室主任 （签字） 学院院长（系主任） （签字） 专 业 班 级 学 号 姓 名 课程 数学物理方程 A 卷数学物理方程 A 卷 （（ R 2010 年级）年级） 课程性质（√必修□专业限选□任选） 考试方式（√闭卷□开卷） 一、填空题（本题共 8 个小题，每小题 4 分，共计 32 分）一、填空题（本题共 8 个小题，每小题 4 分，共计 32 分） 1. 设弦一端在0x =处做自由运动，另一端在xl=处固定则弦振动问题的 边界条件为：_____________________ ___________ 2. 1 1001010 1 ( )( )Px Px dx − = ∫ 3. 方程425640 xxxyyyx uuuuu+−−+=的特征方程为 ； 此方程是 型的偏微分方程 4. 2 阶贝塞尔方程的标准形式是 5. 设函数),(txu的傅立叶变换式为),(tUω， 则方程 2 2 2 uu a tx ∂∂ = ∂∂ 的傅立叶变换 为 。

6. 若 0 u 为常数， 为使定解问题 2 0 0 0 0,, 0 txx x xx l t ua u uuu u == = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ = == = 中的边界条件齐次化, 设)(),(),(xwtxvtxu+=,则可选=)(xw 7. 定解问题 4,,0 ( ,0),( ,0)1 ttxx t uuxt u xx u x =−∞ =+≥ =≥ ，， ， ，0 ， 1） （4 分） 选取变元做适当的积分变换，并将问题转化为常微分方程的定解问题； 2） （4 分） 求解转化后的常微分方程定解问题； 3） （4 分） 对 2）中的像函数表达式作积分逆变换，求出原定解问题的解 共共 3 页页 第第 2 页页 专 业 班 级 学 号 姓 名 四四、选择适当的方法求解下列定解问题（本题共 2 个小 题，每小题 14 分，共计 28 分） 选择适当的方法求解下列定解问题（本题共 2 个小 题，每小题 14 分，共计 28 分） 1. A是常数，对定解问题 2 ,(0,0), (0, )0,( , )0,(0), ( ,0)0,(0) txx ua uAxl t utu l tt u xxl ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ =+ ==≥ =≤≤ ， 1） （3 分）写出对应齐次问题的本征值问题及本征函数； 2） （4 分）将( , )u x t，A按本征函数系展成傅里叶级数； 3） （3 分）将偏微分方程的定解问题转化为常微分方程的定解问题； 4） （4 分）求解上述常微分方程的定解问题；进而求得原定解问题的解。

得分 装 订 线 2. (0)(0)ϕψ=，对 Goursat 问题 , ,0 ( ),0 ( ),0 ttxx tx t x uuxt uxx uxx ϕ ψ =− = ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ =−∞ =≤ =≥ 1） （4 分） 写出方程的特征方程、特征线； 2） （4 分） 作特征变换，求得方程的通解； 3） （6 分） 确定通解中的任意函数，进而写出定解问题的解 共共 3 页页 第第 3 页页 专 业 班 级 学 号 姓 名 课程 数学物理方程 （A 卷）数学物理方程 （A 卷） 演算纸 2012 ～2013 学年 第一学期 装 订 线 共共 页页 第第 5 页页 。