
【名校资料】中考数学复习:动点与抛物线专题答案.doc
37页◆+◆◆二〇一九中考数学学习资料◆+◆◆动点与抛物线专题复习一、平行四边形与抛物线1、解:(1)由于抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点B(0,4),则 c=4;∵抛物线的对称轴 x=﹣=﹣,∴b=5a=;即抛物线的解析式:y=x2+x+4.(2)∵A(4,0)、B(3,0)∴OA=4,OB=3,AB==5;若四边形ABCD是菱形,则 BC=AD=AB=5,∴C(﹣5,3)、D(﹣1,0).将C(﹣5,3)代入y=x2+x+4中,得:×(﹣5)2+×(﹣5)+4=3,所以点C在抛物线上;同理可证:点D也在抛物线上.(3)设直线CD的解析式为:y=kx+b,依题意,有:,解得 ∴直线CD:y=﹣x﹣.由于MN∥y轴,设 M(t,t2+t+4),则 N(t,﹣t﹣);①t<﹣5或t>﹣1时,l=MN=(t2+t+4)﹣(﹣t﹣)=t2+t+;②﹣5<t<﹣1时,l=MN=(﹣t﹣)﹣(t2+t+4)=﹣t2﹣t﹣;若以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形,由于MN∥CE,则MN=CE=3,则有:t2+t+=3,解得:t=﹣3±2;﹣t2﹣t﹣=3,解得:t=﹣3;综上,l=且当t=﹣3±2或﹣3时,以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形.2、解:(1)解方程x2﹣7x+12=0,得x1=3,x2=4,∵OA<OB,∴OA=3,OB=4.∴A(0,3),B(4,0).(2)在Rt△AOB中,OA=3,OB=4,∴AB=5,∴AP=t,QB=2t,AQ=5﹣2t.△APQ与△AOB相似,可能有两种情况:(I)△APQ∽△AOB,如图(2)a所示.则有,即,解得t=.此时OP=OA﹣AP=,PQ=AP•tanA=,∴Q(,);(II)△APQ∽△ABO,如图(2)b所示.则有,即,解得t=.此时AQ=,AH=AQ•cosA=,HQ=AQ•sinA=,OH=OA﹣AH=,∴Q(,).综上所述,当t=秒或t=秒时,△APQ与△AOB相似,所对应的Q点坐标分别为(,)或(,).(3)结论:存在.如图(3)所示.∵t=2,∴AP=2,AQ=1,OP=1.过Q点作QE⊥y轴于点E,则QE=AQ•sin∠QAP=,AE=AQ•cos∠QAP=,∴OE=OA﹣AE=,∴Q(,).∵▱APQM1,∴QM1⊥x轴,且QM1=AP=2,∴M1(,);∵▱APQM2,∴QM2⊥x轴,且QM2=AP=2,∴M2(,);如图(3),过M3点作M3F⊥y轴于点F,∵▱AQPM3,∴M3P=AQ,∠QAE=∠M3PF,∴∠PM3F=∠AQE;在△M3PF与△QAE中,∵∠QAE=∠M3PF,M3P=AQ,∠PM3F=∠AQE,∴△M3PF≌△QAE,∴M3F=QE=,PF=AE=,∴OF=OP+PF=,∴M3(﹣,).∴当t=2时,在坐标平面内,存在点M,使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形.点M的坐标为:M1(,),M2(,),M3(﹣,).3.解:(1)由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0)及C(2,3)得,,解得,故抛物线为y=﹣x2+2x+3又设直线为y=kx+n过点A(﹣1,0)及C(2,3)得,解得故直线AC为y=x+1;(2)作N点关于直线x=3的对称点N′,则N′(6,3),由(1)得D(1,4),故直线DN′的函数关系式为y=﹣x+,当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小,则m=﹣×=;(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2)∵点E在直线AC上,设E(x,x+1),①当点E段AC上时,点F在点E上方,则F(x,x+3),∵F在抛物线上,∴x+3=﹣x2+2x+3,解得,x=0或x=1(舍去)∴E(0,1);②当点E段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,则F(x,x﹣1)由F在抛物线上∴x﹣1=﹣x2+2x+3解得x=或x=∴E(,)或(,)综上,满足条件的点E为E(0,1)、(,)或(,);(4)过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G,如图2,设Q(x,x+1),则P(x,﹣x2+2x+3)又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC﹣S△AGC=(x+1)(﹣x2+2x+3)+(﹣x2+2x+3+3)(2﹣x)﹣×3×3=﹣x2+x+3=﹣(x﹣)2+∴△APC的面积的最大值为.二、 梯形与抛物线1、解:(1)过点C作CH⊥x轴,垂足为H;∵在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2,∴OB=4,OA=2;由折叠的性质知:∠COB=30°,OC=AO=2,∴∠COH=60°,OH=,CH=3;∴C点坐标为(,3).(2)∵抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过C(,3)、A(2,0)两点,∴,解得;∴此抛物线的函数关系式为:y=﹣x2+2x.(3)存在.因为y=﹣x2+2x的顶点坐标为(,3),即为点C,MP⊥x轴,垂足为N,设PN=t;因为∠BOA=30°,所以ON=t,∴P(t,t);作PQ⊥CD,垂足为Q,ME⊥CD,垂足为E;把x=t代入y=﹣x2+2x,得y=﹣3t2+6t,∴M(t,﹣3t2+6t),E(,﹣3t2+6t),同理:Q(,t),D(,1);要使四边形CDPM为等腰梯形,只需CE=QD,即3﹣(﹣3t2+6t)=t﹣1,解得t=,t=1(舍),∴P点坐标为(,),∴存在满足条件的P点,使得四边形CDPM为等腰梯形,此时P点坐标为(,).2、解:(1)∵抛物线y=x2+h经过点C(0,1),∴+h=1,解得h=1.(2)依题意,设抛物线y=x2+1上的点,P(a,a2+1)、Q(b,b2+1)(a<0<b)过点A的直线l:y=kx+2经过点P、Q,∴a2+1=ak+2…①b2+1=bk+2…②①×b﹣②×a得:(a2b﹣b2a)+b﹣a=2(b﹣a),化简得:b=﹣;∴S△POQ=OA•|xQ﹣xP|=•OA•|﹣﹣a|=(﹣)+(﹣a)≥2•=4由上式知:当﹣=﹣a,即|a|=|b|(P、Q关于y轴对称)时,△POQ的面积最小;即PQ∥x轴时,△POQ的面积最小,且POQ的面积最小为4.(3)连接BQ,若l与x轴不平行(如图),即PQ与x轴不平行,依题意,设抛物线y=x2+1上的点,P(a,a2+1)、Q(b,b2+1)(a<0<b)直线BC:y=k1x+1过点P,∴a2+1=ak1+1,得k1=﹣a,即y=ax+1.令y=0得:xB=﹣,同理,由(2)得:b=﹣∴点B与Q的横坐标相同,∴BQ∥y轴,即BQ∥OA,又∵AQ与OB不平行,∴四边形AOBQ是梯形,据抛物线的对称性可得(a>0>b)结论相同.故在直线l旋转的过程中:当l与x轴不平行时,四边形AOBQ是梯形;当l与x轴平行时,四边形AOBQ是正方形.3.解:(1)由题意可知,当t=2(秒)时,OP=4,CQ=2,在Rt△PCQ中,由勾股定理得:PC===4,∴OC=OP+PC=4+4=8,又∵矩形AOCD,A(0,4),∴D(8,4).点P到达终点所需时间为=4秒,点Q到达终点所需时间为=4秒,由题意可知,t的取值范围为:0<t<4.(2)结论:△AEF的面积S不变化.∵AOCD是矩形,∴AD∥OE,∴△AQD∽△EQC,∴,即,解得CE=.由翻折变换的性质可知:DF=DQ=4﹣t,则CF=CD+DF=8﹣t.S=S梯形AOCF+S△FCE﹣S△AOE=(OA+CF)•OC+CF•CE﹣OA•OE=[4+(8﹣t)]×8+(8﹣t)•﹣×4×(8+)化简得:S=32为定值.所以△AEF的面积S不变化,S=32.(3)若四边形APQF是梯形,因为AP与CF不平行,所以只有PQ∥AF.由PQ∥AF可得:△CPQ∽△DAF,∴,即,化简得t2﹣12t+16=0,解得:t1=6+2,t2=6﹣2,由(1)可知,0<t<4,∴t1=6+2不符合题意,舍去.∴当t=(6﹣2)秒时,四边形APQF是梯形.三、等腰三角形、菱形与抛物线1、解:(1)∵点A(﹣1,0),∴OA=1,由图可知,∠BAC是三角板的60°角,∠ABC是30°角,所以,OC=OA•tan60°=1×=,OB=OC•cot30°=×=3,所以,点B(3,0),C(0,),设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,则,解得,所以,抛物线的解析式为y=﹣x2+x+;(2)①∵△OCE∽△OBC,∴=,即=,解得OE=1,所以,AE=OA+OE=1+1=2,即x=2时,△OCE∽△OBC;②存在.理由如下:抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=1,所以,点E为抛物线的对称轴与x轴的交点,∵OA=OE,OC⊥x轴,∠BAC=60°,∴△ACE是等边三角形,∴∠AEC=60°,又∠DEF=60°,∴∠FEB=60°,∴∠BAC=∠FEB,∴EF∥AC,由A(﹣1,0),C(0,)可得直线AC的解析式为y=x+,∵点E(1,0),∴直线EF的解析式为y=x﹣,联立,解得,(舍去),∴点M的坐标为(2,),EM==2,分三种情况讨论△PEM是等腰三角形,当PE=EM时,PE=2,所以,点P的坐标为(1,2)或(1,﹣2),当PE=PM时,∵∠FEB=60°,∴∠PEF=90°﹣60°=30°,PE=EM÷cos30°=×2÷=,所以,点P的坐标为(1,),当PM=EM时,PE=2EM•cos30°=2×2×=2,所以,点P的坐标为(1,2),综上所述,抛物线对称轴上存在点P(1,2)或(1,﹣2)或(1,)或(1,2),使△PEM是等腰三角形.3、解:(1)由题意,A(6,0)、B(0,8),则OA=6,OB=8,AB=10;当t=3时,AN=t=5=AB,即N是线段AB的中点;∴N(3,4).设抛物线的解析式为:y=ax(x﹣6),则:4=3a(3﹣6),a=﹣;∴抛物线的解析式:y=﹣x(x﹣6)=﹣x2+x.(2)过点N作NC⊥OA于C;由题意,AN=t,AM=OA﹣OM=6﹣t,NC=NA•sin∠BAO=t•=t;则:S△MNA=AM•NC=×(6﹣t)×t=﹣(t﹣3)2+6.∴△MNA的面积有最大值,且最大值为6.(3)Rt△NCA中,AN=t,NC=AN•sin∠BAO=t,AC=AN•cos∠BAO=t;∴OC=OA﹣AC=6﹣t,∴N(6﹣t,t).∴NM==;又:AM=6﹣t,AN=t(0<t<6);①当MN=AN时,=t,即:t2﹣8t+12=0,t1=2,t2=6(舍去);②当MN=MA时,=6﹣t,即:t2﹣12t=0,t1=0(舍去),t2=;③当AM=AN时,6﹣t=t,即t=;综上,当t的值取 2或或 时,△MAN是等腰三角形.4、解:(1)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过A(﹣1,0),B(3,0),C(0,)三点,∴,解得a=,b=,c=,∴抛物线的解析式为:y=x2x.(2)设直线l1的解析式。












