非线性泛函分析引论公主岭第三高级中学数学组：张娜摘要：讨论了三阶非线性两点边值问题"T(顿)) = 0m/z(0) 一 伽”(0) = 0, "(1) = 0, /⑴=0正解的存在性.利用锥上的不动点定理证明了该问题至少存在两个正解.关键词：三阶常微分方程；边值问题；正解的存在性；锥.Abstract: The existence of a positive solution to two-point boundary value problems are considered for third-order nonlinear differential equation 〃"一/(『，"(，))=0,is studied with 怎/(0) 一 ”以"(0) 二 0,"(1) =0,z/(l) = 0.At least two positive solution exists by using the Fixed Point Theorem in cones.Key words： third-order nonlinear differential equation; boundary value problem; existence of a positive solution; cone.1、引 言1.1研究背景常微分方程作为一门学科是伴随着微积分的形成而产生的,在十七世纪作为微积 分的一部分，微分方程和微积分彼此不分,十八世纪由于天文学，力学，物理学的需要，同 时也是由于解决许多复杂的问题需要专门的技术，这样微分方程开始成为了一门独立 的学科，在数学及许多应用学科中，发挥着越来越大的作用，直到现在作用仍然有增无 减.非线性微分方程的辿值问题是微分方程领域中一个十分重要的研究领域.近几年 来,人们在对三阶微分方程的两点边值问题正解的存在性研究方面做了许多工作，起到 了举足轻重的作用，并且非线性边值问题在自然科学，生产实践以及工程技术领域中都 有广泛的应用.最近，国内外许多学者[3*相继用不动点定理,非线性抉择和迭合度理论等研究给 出非线性边值问题正解的存在性的一些结果.文献[10],[11]中只在局部范围内对此类 问题进行了研究，本文将在更广泛的范围内研究边值问题至少存在两个正解的情况，使 其更具有实际意义.1.2研究问题本文研究如下三阶非线性两点边值问题口广-/(顷。
))=0 (I)鼻()-伽”(0) = 0, 〃(1) = 00(1) = 0 (2)正解的存在性.这里名”是非负常数，且 ”〉0.以下,我们总假定：㈤)/G C(f0,l]x[0,oo)j0,oo))J/(r,w)在任[0,1]的任何子区间上不恒为零;(名)liny minrG[01](/(f, ")/“) = 8,lim min间on(/(5)/“)= 8；(H3)存在 p>0,使得 ovgp,且 0V41,则和,“)v〃p, 〃 = (fG(O,sm)T,其中Ov$月 > 0,有 ax + /3y g P ；G）若 xc P,x」8,则一 x—P ,则称户是E中的锥.定义2.1.2设X,Y是B空间，设A:X tY线性；称A是紧算子，如果顽矽在丫 中是紧集，其中坊是X中的单位球.定义2. 1. 3连续算子A: M -氏，若A把M中的任一有界集映为矿中的紧致集, 则称A为全连续算子.定义2. 1.4所谓心）是边值问题⑴，⑵的正解，是指川）是边值问题⑴，⑵的 解，且心）〉。
隹（0,1）.2.2基本引理引理2.1“’边值问题(3)⑷,=0U/(0) - ")，"(0) = 0,)，(1) = 0, y，(l) = 0有唯一解)，(,)=f GQ,s)ds,这里G(f,s) =i[(r-l)(5-l)(^4 + l)-(l-5)2], 2 a*一 1)(5 — 1)(^^^+ 1) — (1 一 S)—S)2],2 a+”是边值问题⑶，⑷的Green函数.引理 2.2 G(r,5) 5_ p—— + s a+ (5>(l-r)(m + /?)一 a+2”Nq)・^0<5 0亳唧/⑴ 2 0。
)Wil}(在本文中仅用到sup范数).这里0 v 3 < !, q(t) =(；；；： ,||w|| := sup{w(r), 0 0的事实，可得A(K) u K .证明完成.引理2.5 12设X是一个Banach空间，K为X中的一个锥.对于p〉0,定义 Kp={xe A： HI-/7}・假设A;Kp_K是一个全连续算子，对于 xg dKp={xeK |||圳 < p},使得 Fx f(0对于在3K〃,如果冏同竹圳，那么也4,Kp,K) = 0; ()对Txe OK”,如果诉怀那么0*,K) = 1.3、主要结果定理3.1假设f(顷)满足(事),(仇),(久)，则边值问题(1)和⑵至少有两个正解可 和邑，使得0<|国| v p<||x2|・证明任取M〉0使得咚[七5>1 a + 2" L 2由(HQ，存在尸〉0 ,使得rMu ,可断言，对于 ue 3XRr,||A(u)||>||w||,事实上，对于"6 dKr,泓)(H=[G 这，溟(&〃(s))*ZM g(；,s)W|0s-M 七(：,5)*・0) ||训JEgg粉由引理2.5得i(AA.,K) = 0同样M>0满足(%)及(7)，存在R】 >。
使得/(项)> 协.对于所有的〃 > /?,，选取R > max ! p, R、工一V 7 a+2/3由 u 6 dKR,得到 minu(r) > q(t) u >a+2/3W|| = R] .于是 又由引理2.5得A(w)(-) = f G(s，s)f(s,"(s))ds> M./3一 a+2”>IHI-2件(!，$)||“||次i(A,q,K) = O另一方面，又由(％),对于U G dKp ,||A(w)|| = max J G(/,s)j(s,u(s))ds< G(O,s)f(s,“(s))dsv g(o,s)〃|〉Ws =g(o,s)〃次 w 0,如(小)得.因此，对于3Kp』A(")|| < W| .显然，对于dKp, A(u) u .再次 由引理2.5得i(A,Kp,K) = l. (10)由不动点指数的可加性和(8),(9),(10),有 0 ，(A,Kr\Kp，K)=T 且 0 i(A,Kp\K「,K) = l. 0 0因此,*有一个不动点X[ Kr\Kp且有一个不动点& c K \K「.这两个都是边值问题(1) 和(2)的解.对于re (0,1)有对)>0和x2(0>0. 定理证毕.5、参考文献[1] Zhao Weili.Singular perturbations for third order nonlinear boundary value problems [J]. Nonliear Analysis TMA,1994,23(10):1225-1242.[2] L.H.ERBE.Multiple positive solutions of some boundary value problems [J].SIAM Rev. 1987.[3] Gregus M.Third order linear differential equations [M]. Reidel D,Dordrecht, the Netherland.1987.[4] Guo D,Laskshmikantham V. Nonlinear problems in abstract cones[M]. Academic Press San Diego, 1988.[5] TROY WC.Solution of Third-order Differential Equation Relevant to Draining and coating Flows [J]. SIAM.J.Math.Anal. 1993,24.[6] Guo Da Jun. Some fixed point theorems on cone maps [J]. Kexue Tonghao, 1984, 29 (5):575-578.[7] J.S.W.WONGOn the generalized. Emden-Fowler equation, SIAM Rev. 17(1975).339- 360.[8] 赵为礼.三阶微分方程边值问题解的存在性[J].吉林大学学报,1984,(2):10-19.[9] 松昌松.具有奇性的三阶微分方程边值问题解的存在性[J].哈尔滨师范大学学报 (自),1997,13⑷:9-12.[10] 蒋达清.三阶非线性常微分方程正解的存在性[J].东北师范大学学报(自然科学 版),1996X4):6-10.[11] 钟承奎，范先令,陈文源.非线性泛函分析引论[M].甘肃:兰州大学出版社,1998.。
