知识讲解 物理学中微元法的应用.docx

物理学中微元法的应用编稿：李传安 审稿：张金虎【高考展望】 随着新课程的改革，微积分已经引入了高中数学课标，列入理科学生的高考考试范围， 为高中物理的学习提供了更好的数学工具教材中很多地方体现了微元思想，逐步建立微元 思想，加深对物理概念、规律的理解，提高解决物理问题的能力，不仅需要从研究方法上提 升学习能力，而且还要提高利用数学方法处理物理问题的能力高考试题屡屡出现“微元法” 的问题，较多地出现在机械能问题、动量问题、电磁感应问题中，往往一出现就是分值高、 难度较大的计算题在高中物理竞赛、自主招生物理试题中更是受到命题者的青睐，成为必 不可少的内容知识升华】“微元法”又叫“微小变量法”，是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到 整体的思维方法用该方法可以使一些复杂的物理过程用我们熟悉的物理规律迅速地加以解 决，使所求的问题简单化在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程,” 而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的微元可以是一小段线段、圆弧、一小块面积、 一个小体积、小质量、一小段时间……，但应具有整体对象的基本特征这样，我们只需分 析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题 得到求解。

利用“微元法”可以将非理想模型转化为理想模型，将一般曲线转化为圆甚至是 直线，将非线性变量转化为线性变量甚至是恒量，充分体现了“化曲为直”“化变为恒”的 思想方法点拨】应用“微元法”解决物理问题时，采取从对事物的极小部分（微元）入手，达到解决事 物整体的方法，具体可以分以下三个步骤进行：（1）选取微元用以量化元事物或元过程； （2）把元事物或元过程视为恒定，运用相应的物理规律写出待求量对应的微元表达式；（3） 在微元表达式的定义域内实施叠加演算，进而求得待求量微元法是采用分割、近似、求和、 取极限四个步骤建立所求量的积分式来解决问题的典型例题】 类型一、微元法在运动学、动力学中的应用例1、设某个物体的初速度为V，做加速度为a的匀加速直线运动，经过时间t,则物 01体的位移与时间的关系式为X = v t + at2，试推导02【思路点拨】把物体的运动分割成若干个微元，At极短，写出v-1图像下微元的面积的表 达式，即位移微元的表达式，最后求和，就等于总的位移解析】作物体的v-1图像，如图甲、乙，把物体的运动分割成若干个小元段（微元），由 于每一个小元段时间At极短，速度可以看成是不变的，设第i段的速度为v，则在At时间i内第i段的位移为x二v At，物体在t时间内的位移为x = =Yv At，在v -1图像上则为i i i i若干个微小矩形面积之和。

甲 乙 丙当把运动分得非常非常细，若干个矩形合在一起就成了梯形OAPQ,如图丙所示图线 与轴所夹的面积，表示在时间t内物体做匀变速直线运动的位移面积S = S + S，又v = v + at，所以x = v t + at21 2 p 0 0 2【总结升华】这是我们最早接触的微元法的应用总结应用微元法的一般步骤：（1）选取微 元，时间At极短，认为速度不变，“化变为恒”（2）写出所求量的微元表达式，微元段的意义是位移，写出位移表达式x = v At，（3）对所求物理量求和，即对微元段的位移求和, i ix = Zx = Zv Ati i举一反三【变式1】加速启动的火车车厢内的一桶水，若已知水面与水平面的夹角为0,则火车加速行驶的加速度大小为（）A. gcos9B. g tan9C.- cos 9D. tag9答案】B【解析】如图所示，取水面上质量为Am的水元为研究对象，其受力如图所示,应用正交分解或平行四边形定则，可求得质量为Am的水元受到的合力为F合 =Amg tan9，根据牛顿第二定律可知F合 =Ama，则a = g tan9，方向与启动方向相同变式2】如图所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度v拉水平面上的物体A,当绳子与 0水平方向成0角时，求物体A的速度。

v【答案】v =—A cos 9【解析】设物体A在0角位置At时间向左行驶Ax距离，滑轮右侧绳长缩短AL，如图， 当绳水平方向的角度变化很小时，有AL = Axcos9，两边同除以At得AL Ax 一=cos9，当这一小段时间趋于零时，收绳的平均速率就等于瞬时速率 At At即收绳速率v = v cos 90 Av 所以物体A的速率为v = 1.A cos 9类型二、微元法在功和能中的应用例2、(2015北京卷)真空中放置的平行金属板可以用作光电转换装置，如图所示光照 前两板都不带电以光照射A板，则板中的电子可能吸收光的能量而逸出假设所有逸出 的电子都垂直于A板向B板运动，忽略电子之间的相互作用保持光照条件不变a和b 为接线柱0b「……T………盯已知单位时间内从A板逸出的电子数为N，电子逸出时的最大动能为Ekm元电荷为e1) 求 A板和B板之间的最大电势差U，以及将a、b短接时回路中的电流I短短(2) 图示装置可看作直流电源，求其电动势E和内阻r3) 在a和b之间连接一个外电阻时，该电阻两端的电压为U外电阻上消耗的电功率 设为P；单位时间内到达B板的电子，在从A板运动到B板的过程中损失的动能之和设为AEko请推导证明:P=AEko(注意：解题过程中需要用到、但题目没有给出的物理量，要在解题中做必要的说明E E E 、、【答案】⑴ km Ne (2) km 叶 (3)外电阻两端的电压为U,贝9电源两端的 e e Ne2电压也是Uo【解析】⑴由动能定理，Ekm=eUm，可得U = —kmm e短路时所有逸出电子都到达B板，故短路电流I =Ne短(2)电源的电动势等于短路时的路端电压，即上面求出的Um，所以E □ E mE = U = ―kmm e电源内阻短(3) 外电阻两端的电压为U,则电源两端的电压也是Uo 由动能定理，一个电子经电源内部电场后损失的动能AEke=eU设单位时间内有N'个电子到达B板，则损失的动能之和AE =NAE =N'eUk ke根据电流的定义，此时电源内部的电流I=N'e此时流过外电阻的电流也是I=N'e，外电阻上消耗的电功率P=IU=N'eU所以P=AEk举一反三【变式】(2014上海徐汇模拟)如图所示，一台农用水泵装在离地面的一定高度处，其出水管是水平的.现仅有一盒钢卷尺，请你粗略测出水流出管口的速度大小和从管口到地面之 间在空中水柱的质量(已知水的密度为p重力加速度为g).(1) 除了已测出的水管内径l夕卜，还需要测量的物理量是 (写出物理量名称和对应的字母)；(2) 水流出管口的速度v0的表达式为 (请用已知量和待测量的符表示);(3) 空中水柱的质量m的表达式为 (请用已知量和待测量的符表示).【答案】(1)水的水平射程x,管口离地的高度h兀p Xl 2(3) m=~4-立以上二式可得初速度vo【解析】根据平抛运动的规律知，水平方向上有x=v0t，竖直方向上有h= 2gt2，联c 兀Pxl 2空中水的质量m=Svot p—y-例3、从地面上以初速度v竖直向上抛出一质量为m的球，若运动过程中受到的空气阻力 0与其速率成正比关系，球运动的速率随时间变化规律如图所示，t］时刻到达最高点，再落回地面，落地时速率为v，且落地前球已经做匀速运动.求：1(1) 球从抛出到落地过程中克服空气阻力所做的功;(2) 球抛出瞬间的加速度大小；(3) 球上升的最大高度H.【思路点拨】（1） （2）求解不难。

3）用微元法求解，首先根据牛顿第二定律写出加速度的Av表达式，再用a = ，取微元然后写出Av与At关系式，最后求和At【答案】见解析解析】（1）球从抛出到落地重力做功为零，根据动能定理w 1 1—W = — mv 2 一 mv 2 f 2 12o克服空气阻力做功W =； mv2 — mv2f 2 o 2 1（2） 阻力与其速率成正比抛出瞬间阻力f = kv 匀速运动时f二kv0 1 1 抛出瞬间阻力的大小为f二m^°v1根据牛顿第二定律mg + f二ma0解得抛出瞬间的加速度大小为 ；v、=1+弋 g I vJ（3） 上升时加速度为a，根据牛顿第二定律— （mg + kv ） = maka = — g — — vm取极短时间At，速度的变化量Av，有Av = aAt = — g At — — vAtm式中vAt = Ah上升全过程对等式两边求和kEAv = — g EAt — EAhm左边求和EAv = 0 - v （末减初）0k k—gEAt = — gt — EAh = — H （ EAh = H）1 m m代入解得0 — v =— gt — -H，又前面已求出k =0 1 m v1所以球上升的最大高度（v - gt ）vH = —0 1_1【总结升华】取微元，根据相应的物理规律写出所求问题用微元表示的函数表达式，最后求 和，注意各物理量的物理意义，解析中已经写得很清楚了。

类型三、微元法在动量中的应用例3、一根质量为M，长度为L的铁链条，被竖直地悬挂起来，其最低端刚好与水平接 触，今将链条由静止释放，让它落到地面上，如图所示，求链条下落了长度时，链条对地 面的压力为多大？【思路点拨】在下落过程中链条作用于地面的压力实质就是链条对地面的“冲力”加上落在 地面上那部分链条的重力•根据牛顿第三定律，这个冲力也就等于同一时刻地面对链条的反 作用力，这个力的冲量，使得链条落至地面时的动量发生变化由于各质元原来的高度不同, 落到地面的速度不同，动量改变也不相同.我们取某一时刻一小段链条(微元)作为研究对 象，就可以将变速冲击变为恒速冲击.3Mgx【答案】N = 2pgx +pgx = 3pgx = •L【解析】设开始下落的时刻t=0,在t时刻落在地面上的链条长为X,未到达地面部分链条 的速度为v，并设链条的线密度为P •由题意可知，链条落至地面后，速度立即变为零•从t 时刻起取很小一段时间At，在At内又有AM = pAx落到地面上静止.地面对AM作用的冲量为(F - AMg)At = Ap = p vAx 因为 AMg - At 〜0所以FAt = AM - v-0 = pvAx解得冲力：F = p v 学,AtAx其中不就是t时刻链条的速度v故F = p v2，链条在t时刻的速度v即为链条下落长为x时的瞬时速度,即v2 = 2 gx,代入F的表达式中，得F = 2 p gx即t时刻链条对地面的作用力，也就是t时刻链条对地面的冲力.所以在t时刻链条对地面的总压力为N = 2 pgx + pgx = 3 pgx = ^Mgx.L【总结升华】通过取微元分析，把变速冲击问题转化为恒定速度的冲击问题，这就体现了“化 变为恒”的思想。

举一反三【变式1】一艘帆船在静水中由风力推动做匀速直线运动帆面的面积为S,风速为V，船1速为V（V