线性代数（经管类）练习题.doc

02198 线性代数 复习资料一、线性代数的基础内容：1、行列式——行列式的定义及计算性质(7条)，克莱姆法则；2、矩阵——运算(包括相等、加法、数乘；转置，乘法，逆)；矩阵的行列式、伴随矩阵；初等变换(包括行、列变换及与矩阵乘法的关系，求逆等)；行等价标准形(行阶梯形、行简化阶梯形)及标准形；矩阵的秩；分块矩阵3、向量——线性组合、表示、相关性；秩及极大无关组特别的，除理解概念外，尽可能深刻的理解初等变换在解决矩阵相关问题中的作用；初等变换与矩阵乘积运算的关系；矩阵的秩与向量组的秩之间的关系；如何借助矩阵的初等行变换去求向量组的秩及其极大无关组二、线性代数的应用性内容1、线性方程组求解：i)齐次的，讨论有不全为零解的条件，解的性质和基础解系(不唯一)—格式化的求基础解系的步骤；ii)非齐次的，讨论有解的条件(唯一解、无穷多解)，解的性质和结构—格式化的解题步骤2、向量空间：基、坐标、过渡矩阵、坐标变换公式；特殊的基，自然基和标准正交基及施密特正交化方法；正交矩阵3、特征值特征向量：i)特征值、特征向量——格式化的求解步骤，关键是在理解这组概念及其性质；ii)矩阵对角化：矩阵可对角化的条件；特征向量的性质；相似矩阵iii)实对称矩阵正交对角化：实对称矩阵特征值特征向量的性质(特征值都为实数，属于不同特征值的特征向量正交)——格式化的对角化步骤4、二次型：i)二次型与对称矩阵的关系ii) 利用正交变换的方法化二次型为标准型相当于实对称矩阵的正交对角化；配方法化二次型为标准形；合同矩阵(与等价、相似的关系)iii)二次型的规范形与惯性定理：正惯性指数与负惯性指数唯一确定iv)正定二次型与正定矩阵：如何判别？——四个等价的条件(正定；正惯性指数为；存在使；所有特征值大于零)第一章 行列式关键字：行列式的概念和基本性质　行列式按行（列）展开定理 克莱默法则一、1．行列式定义及相关概念：(这是行列式的递推法定义)由个数组成的阶行列式是一个算式，特别当时，定义；当 ，其中，是中去掉第1行第列全部元素后按照原顺序拍成的阶行列式，称为元素的余子式，为元素的代数余子式。

中所在的对角线称为行列式的主对角线，相应的元素为主对角元另一条对角线称为副对角线2．阶行列式的性质a)行列式的行与列(按原顺序)互换，其值不变；b)行列式对任一行按下式展开，其值相等，即 ， 其中，是中去掉第行第列全部元素后按照原顺序排成的阶行列式，称为元素的余子式，为元素的代数余子式；c)线性性质——加法和数乘；推论：某行元素全为零的行列式其值为d)行列式中两行对应元素全相等，其值为0；推论：行列式中两行对应成比例，其值为0e)在行列式中，把某行各元素分别乘非零常数，再加到另一行的对应元素上，行列式值不变；f)行列式的两行互换，行列式的值反号g)行列式的某一行元素乘另一行对应元素的代数余子式之和为03．计算行列式，利用行列式的性质需要记住范德蒙行列式和反对称行列式的值)计算经验总结：利用行列式性质定义与性质，化成三角阵(习惯上化成上三角阵)，或按零元素最多的行或列按定义展开等等二、定理(克莱默法则)设线性非齐次方程组，其系数行列式：，这方程组有唯一解其中是用常数项替换中第列所成的行列式推论：若齐次线性方程组的系数行列式，则方程组只有零解，第二章 矩阵一、矩阵相关概念：数域中个数排成行列，并扩以圆括弧(或方括弧)的数表，称为数域上的矩阵，通常用大写字母记做，其中称为矩阵的第行第列元素。

时为实矩阵，时为复矩阵；个元素全为0的矩阵称为零矩阵；时称为方阵(或为阶方阵)；线性方程组的未知元系数排成的矩阵，称为系数矩阵，若加上右端常数项排成的矩阵称为增广矩阵，记为注】矩阵与行列式的区别：行列式是一个算式，是一个值；矩阵是一张表，当是方阵时可以计算其所对应的行列式值，称为矩阵的行列式，记为或若，称为奇异矩阵；若，称为非奇异矩阵二、矩阵的基本运算：加法、数量乘法和乘法；转置；逆矩阵、初等行和列变换1、1)如果两个矩阵和的行数和列数分别相等，且对应元素也相等，即，就称和相等，记做2)加法：设和，规定，并称为和之和注】i)两个矩阵可相加的条件是行数和列数均相同(同型矩阵)，且结果行数和列数也相同；ii)矩阵加法满足以下运算律：交换率、结合律、存在零矩阵、存在负矩阵(由此定义减法)3)数乘：设是数域中任意的一个数，，规定【注】i)矩阵数乘指乘的每一个元素按原来的次序排成的矩阵，区别于行列式，若是阶方阵，则；ii）矩阵数乘满足以下运算律： 4)乘法：设是一个矩阵，是一个矩阵，则和的乘积(记作)是一个矩阵，且，即的第行第列元素是第行个元素与第列个元素分别相乘的乘积之和【注】a)矩阵乘法满足： ；b)有了矩阵乘法，线性方程组可以写为：b)若，能否推知或？逆否命题是什么？左零因子、右零因子c)当时，由能否有？当时，由能否有？d)如果，证明：当且仅当5)特殊矩阵(方阵)：主对角元全为1，其余元素均为零时称为阶单位矩阵，记作或或；主对角元全为非零常数，其余元素全为零时称为阶数量矩阵，记作或或；非主对角元皆为零时称为阶对角矩阵，记作；当， 时称为上三角矩阵，当， 时称为下三角矩阵相关结论：a)；b)对角阵左乘等于乘以中第行的每一个元素，右乘等于 乘以中第列的每一个元素；c)两个上(下)三角矩阵的乘积仍是上(下)三角矩阵；d)设、是两个阶矩阵，则乘积的行列式等于和行列式的乘积，即2、1)矩阵的转置：把一个的矩阵行和列互换得到一个的矩阵，称之为的转置矩阵，记做或，其中。

转置满足如下运算： ；2)设矩阵，若，则称为对称矩阵；若 ，则称为反对称矩阵3) 为对称矩阵的充要条件是；为反对称矩阵的充要条件是3、可逆矩阵：矩阵可逆的条件是什么？可逆矩阵怎么求？(伴随矩阵，初等行变换)1)逆矩阵：对于矩阵，如果存在矩阵使得，就称为可逆矩阵(简称可逆)，并称是的逆矩阵，记作同样对于存在的，其也可逆，且是的逆矩阵；和互为逆矩阵2)若是可逆矩阵，则的逆矩阵是唯一的3)伴随矩阵：设阶矩阵，是行列式中元素的代数余子式，称为的代数余子式矩阵，并称的转置矩阵为的伴随矩阵，记作或，即4)(利用伴随矩阵求逆矩阵)矩阵可逆的充分必要条件是，且5)可逆矩阵满足运算率：a) ; b); c) ; d) ; e) ，即b)设是矩阵，证明：存在非零矩阵使的必要条件是(充分也成立)c)设方阵满足，证明：i)和都可逆，求出它们的逆；ii)和不同时可逆；d)设和都是矩阵，下列命题是否成立？若成立则证明，不成立，举出反例(i)若，皆不可逆，则也不可逆；(ii)若可逆，则，都可逆；(iii) 若不可逆，则，都不可逆；(iv)若可逆，则可逆(是数)4、矩阵的初等变换和初等矩阵1)初等行变换：以非零常数乘矩阵的某一行——倍乘变换；将矩阵的某一行乘以常数加到另一行——倍加变换；将矩阵的某两行对换位置——对换变换。

类似的有初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换2)初等变换矩阵：将单位矩阵做一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵a)初等倍乘矩阵，是由单位阵第行(或列)乘()得到b)初等倍加矩阵，是由单位矩阵第行乘加到第行得到的，第列乘加到第列得到的；c)初等对换矩阵是由单位矩阵第，行(或列)对换而得到的3)结论：a）初等矩阵左乘矩阵，相当于做相应的行变换；右乘矩阵，相当于做列变换b)初等矩阵是可逆阵，且有c)可逆矩阵可以经过若干次初等行变化化为单位矩阵，可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积；如果对可逆矩阵和同阶的单位阵做同样的初等变换，当变为单位阵时变为，即第三章 线性方程组一、维向量及其线性相关性1、1)元(维)向量：数域上个数构成的有序数组，记做 ，分别称为行向量和列向量，其中称为的第个分量，全体元向量的集合记为2)向量的运算：两向量相等当且仅当对应元素全相等；和为对应元素相加；数乘为各元素都乘上数注】维行、列向量事实上可以看做上和矩阵，适用矩阵的运算和运算性质；矩阵的行、列可分别看成对应维数的行、列向量3)向量空间：上全体维向量集合，在其上定义了加法和数乘，称为上的维向量空间，仍记，当为实数域时为维实向量空间记为2、1)线性组合：设，则向量称为向量组在数域上的一个线性组合。

如果记，就说可由线性表示2)线性相关：如果对个向量，有个不全为零的数，使成立，则称线性相关；否则，称为线性无关3)充要条件：向量组线性相关的充要条件是中至少有一个向量可由其余的个向量线性表示注】i)逆否命题：向量组线性无关的充要条件是中任一个向量都不能由其余的个向量线性表示ii)维单位(基本)向量：维向量称为维单位向量；任一个维向量都可表示为向量组的一个线性组合，其中(1在第个位置，其余位置均为0)iii)零向量是任一向量组的线性组合，所以任一含零向量的向量组总是线性相关4)向量相关与方程组的关系：设()，则线性相关的充要条件是齐次方程组有非零解，其中，【注】 i)逆否命题：线性无关的充要条件是只有零解；ii)如果，由高斯消元法知线性方程组必有自由未知量，即必有非零解；任何个维向量都是线性相关的；中，任何一组线性无关的向量最多只能含个向量5)向量组扩充的相关性质：i) 如果向量组中有一部分向量线性相关，则整个向量组也线性相关；整个向量组线性无关，则部分向量组也线性无关ii）若向量组线性无关，而线性相关，则可由线性表示，且表示法唯一；特别的，若中的个向量线性无关，则中的任一向量可由线性表示，且表示法唯一iii)如果一个维向量组线性无关，那么把这些向量各任意添加个分量得到新的向量(维)组也是线性无关的；如果是线性相关的，则去掉相同位置的若干个分量所得到的新的向量组也是线性相关的。

齐次方程组的零解、非零解】二、向量组的秩及其极大线性无关组1、秩：如果向量组中存在个线性无关的向量，且其中任一个向量都可由这个向量线性表示，则数称为向量组的秩，记做 秩【注】i)如果线性无关，则 秩；ii)秩为的向量组中，任意个向量是线性相关的；iii)秩的等价定义：若向量组中存在个线性无关的向量，且任何向量都线性相关，则称数为向量组的秩2、等价：如果向量组中每个向量可由向量组线性表示，就称前一个向量组可由后一个向量组线性表示如果两个向量组可相互线性表示，则称这两个向量组是等价的3、如果向量组可由向量组线性表示，且，则线性相关注】如果向量组可由向量组线性表示，且线性无关，则4、极大线性无关组：秩为的向量组中，任一个线性无关的部分组最多只能含有个线性无关的向量；将只含有个线性无关向量的向量组，称为极大线性无关组一般情况下，极大线性无关组不唯一注】设 秩，秩，如果可由线性表示，则；特别的等价的向量组，秩相等二、矩阵的秩、等价(相抵)标准形1、矩阵的秩：对于矩阵，把它的每一行(列)称为的一个行(列)向量，把的行(列)向量组的秩称为其行(列)秩；的矩阵的行秩；列秩；2、初等变换与矩阵的秩：a)如果对矩阵做初等行变换将其化为，则的行秩等于的行秩；b)对矩阵做初等行变换化为，则与的任何对应的列向量组有相同的线性相关性，即：，则列向量组与 有相同的线性相关性c)初等变换不改变矩阵的行秩和列秩；矩阵的行秩等于列秩，统称为矩阵的秩，记做或d)的阶矩阵也称为满秩矩阵；阶矩阵满秩的充要条件是为非奇异矩阵(即)；【矩阵可逆的充要条件是为满秩矩阵】3、加法、乘法运算与矩阵的秩：a)；b) (I)c)设是矩阵，分别是阶、阶可逆矩阵，则4、子式及其与秩的关系：a)矩阵的任意个行(行)和任意个列(列)的交点上的个元素按照原顺。