§1.5 一元二次不等式及其解法考试要求 1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.3.会解一元二次不等式．1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(a≠0)．2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x10(a>0)的解集{x|xx2}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1< x0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.微思考1．二次函数的零点与一元二次方程的根，二次函数图象与x轴的交点之间有什么联系？提示 二次函数的零点即为对应的一元二次方程的根，也是二次函数图象与x轴交点的横坐标．2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？提示 显然a≠0.ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(x1，x2)，则必有a>0.( √ )(2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )(3)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．( √ )(4)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.( × )题组二 教材改编2．已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B等于( )A．(－2,3) B．(1,3)C．(3,4) D．(－2,4)答案 B解析 由题意知A＝{x|10的解集为________．(用区间表示)答案 (－4,1)解析 由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，得－40，令3x2－2x－2＝0，得x1＝，x2＝，∴3x2－2x－2>0的解集为∪.题组三 易错自纠5．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集是，则a＋b＝________.答案 －14解析 ∵x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，∴解得∴a＋b＝－14.6．若不等式x2＋ax＋4<0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________________．答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞)解析 由题意得Δ＝a2－4×4>0，即a2>16.∴a>4或a<－4.题型一 一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1 (1)(2020·全国Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－3x－4<0}，B＝{－4,1,3,5}，则A∩B等于( )A．{－4,1} B．{1,5} C．{3,5} D．{1,3}答案 D解析 ∵A＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|(x＋1)(x－4)<0}＝{x|－10)．解 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，因为a>0，所以(x－1)<0.所以当a>1时，解得1时，不等式的解集为. 在本例中，把a>0改成a∈R，解不等式．解 当a>0时，同例2，当a＝0时，原不等式等价于－x＋1<0，即x>1，当a<0时，<1，原不等式可化为(x－1)>0，解得x>1或x<.综上，当01时，不等式的解集为，当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}，当a<0时，不等式的解集为.思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．跟踪训练1 (1)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，则不等式x2－bx－a≥0的解集是________．答案 {x|x≥3或x≤2}解析 由题意，知－，－是方程ax2－bx－1＝0的两个根，且a<0，所以解得故不等式x2－bx－a≥0为x2－5x＋6≥0，解得x≥3或x≤2.(2)解不等式12x2－ax>a2(a∈R)．解 原不等式可化为12x2－ax－a2>0，即(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，解得x1＝－，x2＝.当a>0时，不等式的解集为∪；当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a<0时，不等式的解集为∪.题型二 一元二次不等式恒成立问题命题点1 在R上的恒成立问题例3 对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，2) B．(－∞，2]C．(－2,2) D．(－2,2]答案 D解析 当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立；当a－2≠0，即a≠2时，则有解得－20时，g(x)在[1,3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，所以m<，所以00，又因为m(x2－x＋1)－6<0，所以m<.令y＝，因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m<即可．所以m的取值范围是.命题点3 给定参数范围的恒成立问题例5 若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围为________．答案 解析 设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，则即解得0对一切实数x都成立， 则实数a的取值范围为( )A．a<－或a> B．a>或a<0C．a> D．－0不恒成立，故a＝0不合题意；当a≠0时，即解得a>.(2)当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是( )A．(－∞，4] B．(－∞，－5)C．(－∞，－5] D．(－5，－4)答案 C解析 令f(x)＝x2＋mx＋4，∴x∈(1,2)时，f(x)<0恒成立，∴即解得m≤－5.设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x1，x2，且x10，x2>0)一正根一负根即一个根小于0，一个根大于0(x1<00)得出的结论f(0)<0大致图象(a<0)得出的结论f(0)>0综合结论(不讨论a)a·f(0)<0表二：(两根与k的大小比较)分布情况两根都小于k即x1k，x2>k一个根小于k，一个根大于k即x10)得出的结论f(k)<0大致图象(a<0)得出的结论f(k)>0综合结论(不讨论a)a·f(k)<0表三：(根在区间上的分布)分布情况两根都在(m，n)内两根有且仅有一根在(m，n)内(图象有两种情况，只画了一种)一根在(m，n)内，另一根在(p，q)内，m0)得出的结论f(m)·f(n) <0或大致图象(a<0)得出的结论f(m)·f(n) <0或 综合结论(不讨论a)f(m)·f(n) <0 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1n，(图形分别如下)需满足的条件是(1)a>0时，(2)a<0时，对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m，n)内有以下特殊情况：(ⅰ)若f(m)＝0或f(n)＝0，则此时f(m)·f(n)<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m，n)内，从而可以求出参数的值．如方程mx2－(m＋2)x＋2＝0在区间(1,3)上有一根，因为f(1)＝0，所以mx2－(m＋2)x＋2＝(x－1)(mx－2)，另一根为，由1<<3得
