2022高一数学不等式证明知识点.docx

2022高一数学不等式证明知识点　　　　不等式公式　　假如a,b是正数，那么(a+b)/2(根号下ab),当且仅当a=b时，等号成立，我们称上述不等式为基本不等式　　若a,bR，则a平方+b平方2ab或ab(a平方+b平方)/2.　　若a,bR，则(a平方+b平方)/2[(a+b)/2]的平方　　若a,bR※，则a+b=2(根号ab) 或ab[(a+b)/2]的平方　　高一数学不等式证明学问概要　　不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的敏捷运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大解决这个问题的途径在于娴熟驾驭不等式的性质和一些基本不等式，敏捷运用常用的证明方法　　一、要点精析　　1.比较法比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小依次和运算性质的干脆应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法)　　(1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：a-b0ab;a-b0ab其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体;②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是常常运用的变形手段;③推断：依据已知条件与上述变形结果，推断不等式两边差的正负号，最终确定所求证不等式成立的结论。

应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般运用差值比较法　　(2)商值比较法的理论依据是：若a，bR+，a/b1ab;a/b1ab其一般步骤为：①作商：将左右两端作商;②变形：化简商式到最简形式;③推断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般运用商值比较法　　2.综合法利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最终推出所要证明的不等式，其特点和思路是由因导果，从已知看需知，逐步推出结论其逻辑关系为：AB1　　B2 B3 BnB，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B　　3.分析法分析法是指从需证的不等式动身，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是执果索因，即从未知看需知，逐步靠拢已知用分析法证明AB的逻辑关系为：BB1B1B3　　BnA，书写的模式是：为了证明命题B成立，只需证明命题B1为真，从而有，这只需证明B2为真，从而又有，这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真这种证题模式告知我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。

　　4.反证法有些不等式的证明，从正面证不好说清晰，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式AB，先假设AB，由题设及其它性质，推出冲突，从而确定AB凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有至多、至少、不存在、不行能等词语时，可以考虑用反证法　　5.换元法换元法是对一些结构比较困难，变量较多，变量之间的关系不甚明白的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法主要有两种换元形式1)三角代换法：多用于条件不等式的证明，当所给条件较困难，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑三角代换，将两个变量都有同一个参数表示此法假如运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将困难的代数问题转化为三角问题依据详细问题，实施的三角代换方法有：①若x2+y2=1，可设x=cos，y=sin;②若x2+y21，可设x=rcos，y=rsin(0r1);③对于含有的不等式，由于|x|1，可设x=cos;④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可设x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=2)增量换元法：在对称式(随意交换两个字母，代数式不变)和给定字母依次(如abc等)的不等式，考虑用增量法进行换元，其目的是通过换元达到减元，使问题化难为易，化繁为简。

如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t进行换元　　6.放缩法放缩法是要证明不等式A　　二、难点突破　　1.在用商值比较法证明不等式时，要留意分母的正、负号，以确定不等号的方向　　2.分析法与综合法是对立统一的两个方面，前者执果索因，利于思索，因为它方向明确，思路自然，易于驾驭;后者是由因导果，宜于表述，因为它条理清楚，形式简洁，适合人们的思维习惯但是，用分析法探求证明不等式，只是一种重要的探求方式，而不是一种好的书写形式，因为它叙述较繁，假如把只需证明等字眼不写，就成了错误而用综合法书写的形式，它掩盖了分析、探究的过程因而证明不等式时，分析法、综合法经常是不能分别的假如运用综合法证明不等式，难以入手时常用分析法探究证题的途径，之后用综合法形式写出它的证明过程，以适应人们习惯的思维规律还有的不等式证明难度较大，需一边分析，一边综合，实现两头往中间靠以达到证题的目的这充分表明分析与综合之间互为前提、相互渗透、相互转化的辩证统一关系分析的终点是综合的起点，综合的终点又成为进一步分析的起点　　3.分析法证明过程中的每一步不肯定步步可逆，也没有必要要求步步可逆，因为这时仅需找寻充分条件，而不是充要条件。

假如非要步步可逆，则限制了分析法解决问题的范围，使得分析法只能运用于证明等价命题了用分析法证明问题时，肯定要恰当地用好要证、只需证、即证、也即证等词语　　4.反证法证明不等式时，必需要将命题结论的反面的各种情形一一加以导出冲突　　5.在三角换元中，由于已知条件的限制作用，可能对引入的角有肯定的限制，应引起高度重视，否则可能会出现错误的结果这是换元法的重点，也是难点，且要留意整体思想的应用　　6.运用放缩法证明不等式时要把握好放缩的尺度，即要恰当、适度，否则将达不到预期的目的，或得出错误的结论另外，是分组分别放缩还是单个对应放缩，是部分放缩还是整体放缩，都要依据不等式的结构特点驾驭清晰　　1、比较法(作差法)　　在比较两个实数 和 的大小时，可借助　　的符号来推断步骤一般为：作差变形推断(正号、负号、零)变形时常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化积、应用已知定理、公式等　　2、分析法(逆推法)　　从要证明的结论动身，一步一步地推导，最终达到命题的已知条件(可明显成立的不等式、已知不等式等)，其每一步的推导过程都必需可逆　　3、综合法　　证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法。

　　例3、已知： ， 同号，求证： 　　证明：因为 ， 同号，所以 ， ，则 ，即 　　4、作商法(作比法)　　在证题时，一般在 ， 均为正数时，借助 或 来推断其大小，步骤一般为：作商变形推断(大于1或小于1)　　5、反证法　　先假设要证明的结论不对，由此经过合理的逻辑推导得出冲突，从而否定假设，导出结论的正确性，达到证题的目的　　6、迭合法(降元法)　　把所要证明的结论先分解为几个较简洁部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证　　7、放缩法(增减法、加强不等式法)　　在证题过程中，依据不等式的传递性，常采纳舍去一些正项(或负项)而使不等式的各项之和变小(或变大)，或把和(或积)里的各项换以较大(或较小)的数，或在分式中扩大(或缩小)分式中的分子(或分母)，从而达到证明的目的值得留意的是放、缩得当，不要过头常用方法为：变更分子(分母)放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、找寻中介量放缩法　　8、数学归纳法　　对于含有 的不等式，当 取第一个值时不等式成立，假如使不等式在 时成立的假设下，还能证明不等式在 时也成立，那么确定这个不等式对　　取第一个值以后的自然数都能成立。

　　9、换元法　　在证题过程中，以变量代换的方法，选择适当的协助未知数，使问题的证明达到简化　　10、三角代换法　　借助三角变换，在证题中可使某些问题变易 本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第9页 共9页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页第 9 页 共 9 页。