现代数学基础(定稿).pdf

1 现代数学基础现代数学的精神是：在集合论的基础上，用集合和映射的语言和符号将各种数学理论抽象为一些结构这是法国的布尔巴基学派所提倡的，但也有争论主要的数学结构有：序结构、代数结构、拓扑结构、测度结构它们基本涵盖了数学的主要的方面本课程只是介绍其基本概念和思想方法目录第一章 集合论§1 概念与运算（p1）§2 二元关系 (p2) §3 映射 (p4) §4 集合的势 (p7) 第二章 代数结构§1 一般概念 (p11) §2. 群(p13) §3. 环、域 (p18) §4 线性空间 (p20) 第三章 拓扑结构§1 度量空间 (p23) §2 完备度量空间(p27) §3 拓扑空间 (p29) §4 连续与同胚 (p30) §5 紧集上的连续函数(p31)第四章 测度结构§1 集环上的测度(p32) §2 测度的延拓 (p36) §3 可测函数 (p38) §4 可测函数关于测度的积分(p41) 第一章 集合论§1.概念与运算一、集合的朴素定义把一些事物放在一起，便构成了一个集合 在数学上， 认为构成一个集合的每个事物叫元素 所以也说集合是由元素组成的当然也有以集合作为元素构成的集合。

集合一般由大写拉丁字母,,,CBA表示，元素则用小写拉丁字母,,,cba当元素a在集合A中时，记Aa否则，记Aa二、悖论从逻辑上来说，一个元素a和一个集合A只有两种关系，Aa或Aa，二者必居其一2 按照逻辑， 集合可以分为两类：第一类是不属于自己的集合，这样的集合是很常见的；第二类便是属于自己的集合，这样的集合是否存在呢？读者可以自行考虑现在构造集合AAAS，即第一类集合的全体构成的集合试问S是第一类集合呢？还是第二类集合？因为二者必居其一若S是第一类集合，则SS，可是按照S的定义SS，矛盾若S是第二类集合，则SS，可是按照S的定义SS，矛盾这说明集合的概念本身存在问题要消除这个矛盾，是个很复杂的事情，需要引进集合论的公理感兴趣的同学可看相关的书三、集合的运算集合的并、交、差运算及其规律大家已经熟悉，不再赘言关于两个非空集合YX ,的 Descartes积YX，用集合X中的元素与集合Y中的元素的 有序偶 来定义：设YyXx,，定义有序偶yxxyx,,),(；YX ,的 Descartes积则定义为：YyXxyxYX,),(当YX,有一是空集时，定义YX也是空集强调两个运算律：1.分配律)()()()()()(CABACBACABACBA2.对偶律)()()()()()(CABACBACABACBA§2. 二元关系定义 1. YX的一个子集R称为 集合X和集合Y的一个二元关系。

当Ryx),(时，称x与y有关系R，记为xRy当YX时，R称为 集合X上的一个二元关系定义 2. 设R是集合X上的一个二元关系1）反身性 ：若xRxXx,，则称R是反身 的2）对称性 ：若yRxxRyXyx,,，则称R是对称 的3）反对称性 ：若yxyRxxRyXyx,,,，则称R是反对称 的4）传递性 ：若xRzyRzxRyXzyx,,,,，则称R是 传递 的3 两个重要的关系：一、序关系 ：定义集合X上的反身、反对称、传递的关系称为（偏 或部分 ）序关系，一般记为设是集合X上的一个序关系，如果对于Xyx,，或者yx，或者xy，则称是集合X上的一个 全序关系 定义设S是X的一个子集，如果存在Xb，对于Ss，都有bs，则称b是S的一个上界 上界可以不存在，即便存在一般也不唯一当S有上界SM时，称M为S的最大元，记为Smax由于反对称性，最大元若存在，则必是唯一的类似可定义 下界 ，以及 最小元Smin当S的上界组成的集合有最小元时，这个最小元称为S的上确界，记为Ssup同样，当S的下界组成的集合有最大元时，这个最大元称为S的下确界，记为Sinf SA称为S的极大元， 如果S中没有比A再大的元素了，即对任意Ss，sAsA。

同样可定义 极小元 极大元和极小元可以不存在，存在也不一定唯一定理 （Zorn 引理 ）若序集X的任何一个全序子集都有最大元，则X有极大元二、等价关系：定义集合X上的反身、 对称、 传递的关系称为等价关系， 一般记为E当xEy时，称x与y等价定义集合X的一个 划分 P，是X的一些不交的子集构成的集合P，满足XSPS下面介绍一个定理，它说明集合上的一个等价关系为集合的元素的分类制订了一种标准定理设E是集合 X 上的一个等价关系，Xx，定义 x 所在的等价类为Exxxx:][，即所有与x所有等价的元素的集合全体等价类的集合定义为X 关于等价关系E的商集 ，记为EX /则（1）EX /是 X 的一个划分2）反之，对X 的任意一个划分，也可以定义X 上的一个等价关系E，使得 X 关于等价关系E的商集EX /正好就是给定的划分证明 ： （1）设EXyx/][],[，如果][][yx，则][][yxz，于是zEyzEx,，所以xEy这样，][xc，因为cEx，所以cEy，于是][yc，这说明][][yx同理][][yx所以][][yx这说明EX /中任意两个不同的等价类不交其次，因为][,xxXx，所以XxEXx/][][4 从而XxEXx/][][。

2）设P是 X 的任意一个划分，定义 X 上的一个关系E如下：SyxPSxEy,,容易验证这是X 上的一个等价关系，且PEX /（练习）例 设n是一正整数，在整数集合Z中引入关系E，yxnxEy（称为 x 与 y 模 n 同余） 可证这是一个等价关系（自证）Zm，m所在的等价类记为nm][由于m可唯一写为nrZrZkrknm0,,,，所以mEr，Zkrknrmnn][][另外需要指出，位于), 0[n之间的任意两个整数都不等价因为假如有两个不同的整数),0[,nsr，不妨设sr，则nrs0，如果rEs，则Zkknrs,，则0k，于是1k，nknrs，矛盾所以nnnnEZ] 1[,] 1[ ,]0[/此称为 模 n 的剩余类集合整数之间的这个等价关系常常写为：)(mod nyx许多数学陈述，利用等价关系来表述显得很便利，现代数学中经常使用这种方法§3.映射一、 定义设有二非空集YX ,，如果存在一个法则f，使得对于集合X中的每个元素x，都唯一对应着Y中的一个元素)(xfy，则称f是由X到Y的一个 映射 ，记为YXf :其中X称为f的始域（ 或定义域），Y称为f的 终域 XA，集合AaafAf)()(称为A在映射f下的 像；特别地，)(ImXff称为f的值域 。

YB，集合BafaBf)()(1称为B关于映射f下的 原像 YXXxxfxfG));(,()(称为映射YXf :的图像 （Graph） 当Y是数集时，映射YXf :称为 X 上的一个 函数 （或 泛函 ） 5 两个映射f和g相等 ，是指其始域与终域分别相等，分别都是X与Y，且Xxxgxf),()(，此时记gf定义映射YXf :称为是（1）单射 ：若)()(2121xfxfxx （或等价地：2121)()(xxxfxf）（2）满射 ：若yxfXxYy)(,,，即YXf)(3）双射 ：若f既是单射又是满射几个重要的映射（1）包含映射 ：设YX，YXiX:，XxxxiX,)(称为包含映射2）恒等映射 ：XxxxfXXIX,)(,:称为恒等映射3）特征函数 ：设XA，定义X上关于子集A的特征函数 为实函数RXA:XxAxAxxA,, 0, 1)(定义（映射的限制与延拓）设有映射YXf :，XA，映射AaafafYAfAA),()(:称为f在A上的 限制映射 ，而f称为Af从A到X上的 扩张映射 映射与集合运算有下面的重要关系：)()()()()()()()()(BfAfBAfBfAfBAfBfAfBAf)()()()()()()()()(111111111BfAfBAfBfAfBAfBfAfBAfAAffAAff))(())((11))(()()(111AgfAgf6 注意这些关系对于集合族的并交运算也都是对的，请自行验证。

二、映射的集合XY表示由X到Y的所有映射构成的集合：YXffYX:如果YX ,都是有限集合，分别有nm,个元素，则XY也是有限集合，且有mn个元素当nm时，共有单射 !)1()1(nnmmmPn m个 （思考：其中满射有多少个？）三、映射的复合与映射的可逆性定义设有映射ZYgYXf:,:，则可定义 复合映射ZXfg:如下：Xxxgfxfg)),(())((映射的复合运算满足（1）ffIIfYX2） （结合律） 对任意映射ZYgYXf:,:，WZh :，)()(fghfgh定义映射YXf :称为 左（右）可逆的，是指存在映射XYfl:（XYfr:） ，使得XlIff（YrIff） 定理映射YXf :左（右）可逆的充要条件是f是单（满）射证 明 ： （ 1 ） 设YXf :左 可 逆 ， 则 映 射XYfl:， 使 得XlIff 所 以 若)()(21xfxf，则222111)()()()(xxIxffxffxIxXllX，所以f是单射反之，设f是单射，则)(),(1yfXfy是唯一的，所以可定义XYfl:如下：)(,)(),()(01XfyxXfyyfyfl其中0x是 X 中任意一个固定的元素。

这时，xxffxffl))(()(1，即XlIff7 （2）练习 证毕 所以可逆映射与双射是等价的，其逆映射是唯一的关于复合映射的逆映射还有下面的性质：（3）设ZYgYXf:,:是可逆映射，则gf也可逆，且111)(gfgf任何映射都有如下重要的单满分解 ：定理对任何YXf :，都存在集合C以及单射YCh :，与满射CXg :，使得ghf证明 ；在X中定义关系：)()(~2121xfxfxx显然这是X中的一个等价关系令~/XC定义映射YCh :为：)(])([xfxh；定义CXg :为：][)(xxg容易验证h为单射，g为满射，且ghf四、集合簇及其运算所谓 集合族 ，就是由一个指标集合标定的一族集合，即对每个指标，都唯一对应着一个集合A，于是可以定义为一个映射A，记为)(A1.并、交运算AxxA,;AxxA,;2.Descartes乘积 ：设是一个指标集合，)(A是由标定的一个集族，则称由映射构成的集合AfAf)(,:为集簇)(A的 Descartes乘积，记为A显然XXYY有限个集合的Descartes积，普通理解为有序组的集合§4.集合的势一、势的定义定义设有两个集合YX ,， 如果存在一个由X到Y的双射，则称集合X与集合Y是对等 的，记为YX ~。

8 这是集合之间的一种等价关系（自证）集合X的势就定义为这个集合所在的等价类，记为X当然需要注意，这种做法并不严格，因为全体集合的集合是不存在的二、势的比较——势的序关系定义两个集合YX ,，如果存在由X到Y的一个单射，则称YX这是集合之间的一个关系，显然它是反身和传递的，但并不是反对称的但下面可证明，它在对等的意义上还是反对称的定理（ Bernstein） 若XYX，则YX ~证明 ：因为XYX，所以存在单射YXf :和XYg :这时，因为)()()()()()(XfgfYfgXfYYgfgXgfYgX所以YX ,都可分解为可列个互不相交的集合的并：])()([])()(())()(())([(])()([]))()(())()(())([(YfgXfYXfgfYfgYfgXfXfYYXgfYgXYgfgXgfXgfYgYgXX由于f是单射，所以))(()()(YgXfYfgXf，这说明)(~)()(YgXYfgXf同理)(~)()(XfYXgfYg等等另外由于])()([)()()()(YfgXfYgXgfYgXgfYgX，所以)()(~)()(YfgXfYXgfYgX注】 这个定理在证明集合的对等时很有用，因为不需要直接作出双射。