2013届新课标高中数学(理)第一轮总复习第59讲直线与平面垂直.ppt

1.①若直线m⊥l，则m∥a；②若m⊥a，则m∥l ；③若m∥a，则m⊥l；④若m∥l，则m⊥a.如果直 线l⊥平面a，则上述判断正确的是_______ .2.已知三条直线l、m、n和平面a，m⊂a，n⊂a ，则“l⊥a”是“l⊥m且l⊥n”的 __________ 条件．3.已知PA⊥a，PB⊥b，垂足分别是A，B，且 a∩b=l，则l与平面PAB的位置关系是 _______ .②③④充分不必要垂直4.如图，直线PA垂直于以AB为直径的圆所在 的平面，C为圆上异于点A和点B的任意一点．有 下列四个结论：①PC⊥BC；②BC⊥平面PAC； ③AC⊥PB；④PA⊥BC.其中不正确的是____ .③依题意，∠ACB=90°，即BC⊥AC. 又PA⊥底面ABC，所以PA⊥BC. 而PA∩AC=A，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC. 综上得①②④正确． 假设③正确，则因为AC⊥PB，AC⊥BC， 所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥PC. 显然，这与由PA⊥底面ABC，得PA⊥AC矛盾． 故不正确的结论是③.5.如图所示，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥底 面ABCD，底面ABCD是矩形，则四个侧面中直角 三角形的个数为______.4用定义或判定定理 证明线面垂直 【例1】 如图，在四棱锥P—ABCD中 ，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD ，AC⊥CD，∠ABC＝60°， PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明： (1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面ABE； 【证明】(1)在四棱锥P—ABCD中，因为PA⊥ 底面ABCD，CD￿ 平面ABCD，故PA⊥CD. 又因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平 面PAC.而AE￿ 平面PAC，所以CD⊥AE. (2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，得△ABC 是等边三角形，故AC＝PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC. 由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C， 所以AE⊥平面PCD.而PD￿ 平面PCD，所以AE⊥PD. 又因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB. 由已知得AB⊥AD，且PA∩AD＝A，所以AB⊥ 平面PAD. 又PD￿ 平面PAD，所以AB⊥PD. 因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE. 本题考查直线与直线垂直、直线与平面垂直等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．立体几何的证明关键是学会分析和掌握一些常规的证 明方法．如：已知中点证明垂直时要首先考虑等腰 三角形中的“三线合一”；已知线段或角度等数量关系较多时最好标示出来，充分进行计算，从而发现蕴含的垂直等关系；已知线面垂直时会有哪些结论 ，是选择线线垂直还是选择面面垂直；要证明结论 或要得到哪个结论，就必须满足什么条件等． 【变式练习1】 如图，E，F分别为直角三角形ABC的直角 边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折 起到△A1EF的位置，连结A1B，A1C.求证： (1)EF⊥平面A1EC； (2)AA1⊥平面A1BC. 用线面垂直的性质 定理证明线线垂直 【证明】如图，∠ACB＝90°， 所以BC⊥AC. 又在直三棱柱ABC－A1B1C1 中，CC1⊥平面ABC，所以BC⊥CC1. 而AC∩CC1＝C， 所以BC⊥平面AA1C1C， 所以BC⊥AM. 连结A1C. 可以证明Rt△ACM∽Rt△AA1C，所以AM⊥A1C. 而A1C∩BC＝C，所以AM⊥平面A1BC，所以 A1B⊥AM.证明线线垂直常构造一个平面经过一条直线与另一条直 线垂直，从而达到由线面垂直 证明线线垂直的目的． 通过计算证明线 线垂直 【例3】如图，在正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E是BB1的中点， O是底面正方形ABCD的中心． 求证：OE⊥平面ACD1. 要证线面垂直可找线线垂直，这是几何中证明线面垂直 时常用的方法，在证明线线垂 直时，要注意从数量关系方面 找垂直，如利用勾股定理等． 【变式练习3】 直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB ＝2AD＝2CD＝2.求证：AC⊥平面 BB1C1C. 1.有下列四个命题： ①若一条直线垂直于一个平面内无数条直线，则这条直线与这个平面互相垂直； ②若两条直线互相垂直，其中一条垂直于一个平面，则另一条直线与该平面平行； ③若两条直线同时垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行；④若一条直线和一个平面不垂直，则这个平面内不存在与该条直线垂直的直线． 其中错误的命题是_______________. ①②④ 2.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长 为2，M是AD1上任意一点，M到平面 BCB1的距离是_______. 23.如图，在正方形SG1G2G3中， E，F分别是G1G2，G2G3的中 点，D是EF的中点，现沿SE， SF及EF把这个正方形折成 一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这 样，下列五个结论：①SG⊥平面EFG；②SD⊥ 平面EFG；③GF⊥平面SEF；④EF⊥平面GSD； ⑤GD⊥平面SEF.其中正确的是_______. ①④5.如图，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M 、N分别是AB、PC的中点． (1)求证：MN⊥CD； (2)若∠PDA＝45°， 求证：MN⊥平面PCD. 【证明】(1)连结AC，取其 中点O，连结NO、MO，并 延长MO交CD于R. 因为N为PC的中点，所以NO为△PAC的中位线，所以NO∥PA. 而PA⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD，所 以NO⊥CD. 又四边形ABCD是矩形，M为AB的中点，O为 AC的中点，所以MO⊥CD. 而MO∩NO＝O，所以CD⊥平面MNO，所以CD⊥MN.(2)连结NR， 则∠NRM＝∠PDA＝45°. 又O为MR的中点， 且NO⊥MR，所以△MNR为等腰三角形且∠NRM＝ ∠NMR＝45°， 所以∠MNR＝90°，所以MN⊥NR. 又MN⊥CD，且NR∩CD＝R，所以 MN⊥平面PCD. 1．面垂直的定义中，一定要弄清楚“任意”与“无数”这两个术语内涵 的差异，后者存在于前者中．“任意” 的理解最终转化为“两条相交直线”，证明时此条件不可缺少． 3．面面垂直的性质的理解中三个条件也不可缺少，即： ①两个平面垂直； ②其中一个平面内的直线； ③垂直于交线．所以无论何时见到已知两个平面垂直，都要首先找其交线，看是否存在直线垂直于交线来决定是否该作辅助 线，这样就能目标明确，事半功倍． 。