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[研究生入学考试题库]考研数学三模拟554一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．问题:1. 设A是n阶方阵，X是任意的n维列向量，B是任意的n阶方阵，则下列说法错误的是______ A． B． C． D． 答案:D[解析] 对任意的X，有XTAX=0，可推出AT=-A，不能推出A=O．例，对任意的[x1，x2]T，均有 但 问题:2. 对于常数k＞0，级数______A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.收敛性与k的取值有关答案:B[解析] 因为单调下降，且 问题:3. 设，则A-1=______ A． B． C． D． 答案:B[解析] 本题考查分块求逆及二阶求逆，注意 再根据，用二阶矩阵的伴随矩阵是主对角线对调副对角线变号，很容易看出 所以应选B． 评注：设，则 问题:4. 行列式=______.A.(ad-bc)2B.-(ad-bc)2C.a2d2-b2c2D.b2c2-a2d2答案:B[解析] =-ad(ad-bc)+bc(ad-bc)=-a2d2+2abcd-b2c2=-(ad-bc)2，应选B． 问题:5. 已知函数f(x)=ln|x-1|，则______ A． B． C． D． 答案:B[解析] 应当把绝对值函数写成分段函数，当x＜1时，当x＞1时，即得B．问题:6. 在[a，b]上，f(x)＞0，f'(x)＜0，f"(x)＞0，令则有______A.S1＜S2＜S3．B.S1＜S3＜S2．C.S2＜S1＜S3．D.S2＜S3＜S1．答案:C[解析] 由题设可知，在[a，b]上f(x)的图形如下图，由图形可知，梯形ABba的面积＞曲边梯形的面积＞矩形CBba的面积，所以S3＞S1＞S2． 问题:7. 设常数ai＞0(i=1，2，3)，b1，b2，b3互不相等．则方程 有且仅有实根的个数为______ A.0．B.1．C.2．D.3．答案:C[解析] 显然x=b1，b2，b3均不是该方程的根． 在该方程两边同乘(x-b1)(x-b2)(x-b3)，得 a1(x-b2)(x-b3)+a2(x-b1)(x-b3)+a3(x-b1)(x-b2)=0． (*) 不妨认为b1＜b2＜b3．不然，只要交换a1，a2，a3的位置即可．记方程(*)的左边为f(x)，于是有 f(b1)=a1(b1-b2)(b1-b3)＞0， f(b2)=a2(b2-b1)(b2-b3)＜0， f(b3)=a3(b3-b1)(b3-b2)＞0， 由连续函数介值定理知，在区间(b1，b2)，(b2，b3)分别至少有1个实根．共至少有2个实根．但(*)为2次方程，至多有2个实根，所以该方程正好有2个实根．选C． 问题:8. 设f(x)是偶函数，，则f(x)在x=0处______A.可导．B.连续，左、右两侧导数都存在，但不相等．C.连续，左、右两侧导数都不存在．D.不连续．答案:B[解析] 令t=e1-cosx-1，x→0t→0+，f(0)=0． 因为，所以 由于所以f(x)在x=0处右连续． 由于f(x)是偶函数， 因此f(x)在x=0处连续． 又 所以f'-(0)≠f'+(0)． 综上，知f(x)在x=0处连续，左右导数存在但不相等． 问题:9. 设f(x)在x=x0的某邻域内连续，且在该邻域内x≠x0处f'(x)存在，则的______A.充分必要条件．B.必要条件而非充分条件．C.充分条件而非必要条件．D.既非充分又非必要条件．答案:C[解析] 在所说前提及条件“”下，由洛必达法则： ， 所以，从而知“”的充分条件，但不是必要条件，反例如下：设 本例满足本题所说的前提不存在， 而 却是存在的．所以“”的必要条件．问题:10. 设，则______A.a=1，b=1B.a=-1，b=-1C.a=-1，b=0D.a=1，b=0答案:C[考点] 确定极限式中的参数．[解析] 因为 即a=-1．因此， 应选C．二、填空题问题:1. 若函数f(x)在点x=0处可导，且f(0)=f'(0)=1．则=______．答案:-5[解析] 问题:2. 设随机变量X和Y相互独立，且分布函数为FY(y)=令U=X+Y，则U的分布函数为______．答案:[解析] FU(u)=P(U≤u)=P(X+Y≤u)，当u＜0时，FU(u)=0； 当0≤u＜1时， 当1≤u＜2时， 当u≥2时，FU(u)=1．所以 问题:3. 已知A，B为3阶相似矩阵，λ1=1，λ2=2为A的两个特征值，|B|=2，则行列式 答案:[解析] 设λ3为A的另一特征值．则由A～B知，|A|=|B|=2，且λ1λ2λ3=|A|=2，可见λ3=1，从而A，B有相同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=1．于是有 |A+E|=(λ1+1)(λ2+1)(λ3+1)=12， |(2B)*|=|22B*|=43|B*|=43|B|2=256， 故 问题:4. 设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，X10为总体的简单样本，S2为样本方差，则D(S2)=______．答案:[解析] 因为，所以， 问题:5. 设A=[α1，α2，α3]是3阶矩阵，|A|=4，若 B=[α1-3α2+2α3,α2-3α3,2α2+α3]，则|B|=______． 答案:20[解析] 方法一利用行列式的性质． 方法二 故 问题:6. 设A是三阶矩阵，将A的所有元素用关于副对角线对称的元素替换得到的矩阵记为B．若|A|=a，则|B|=______．答案:a[解析] 三、解答题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．设来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn，总体X的概率分布为 其中0＜θ＜1．分别以v1，v2表示X1，X2，…，Xn中1，2出现的次数，试求 1. 未知参数θ的最大似然估计量；答案:解：求参数θ的最大似然估计量．样本X1，X2，…，Xn中1，2和3出现的次数分别为v1，v2和n-v1-v2，则似然函数和似然方程为 似然方程的唯一解就是参数θ的最大似然估计量 2. 未知参数θ的矩估计量；答案:解：求参数θ的矩估计量．总体X的数学期望为 EX=θ2+4θ(1-θ)+3(1-θ)2． 在上式中用样本均值估计数学期望EX，可得θ的矩估计量 3. 当样本值为1，1，2，1，3，2时的最大似然估计值和矩估计值．答案:解：对于样本值1，1，2，1，3，2，由上面得到的一般公式，可得最大似然估计值 矩估计值 问题:4. 设函数y=f(x)二阶可导，f'(x)≠0，且与x=φ(y)互为反函数，求φ"(y)．答案:解：因为函数的一阶导数与其反函数的一阶导数互为倒数，所以， 于是 问题:5. 求极限，ai＞0，且ai≠1，i=1，2，…，n，n≥2．答案:解： 因为 问题:6. 设总体X服从参数为N和p的二项分布，X1，X2，Xn为取自X的样本，试求参数N和p的矩估计．答案:解： 解之得N=μ1/p， 即所以N和p的矩估计为 问题:7. 设f(x，y)在点O(0，0)的某邻域U内连续，且常数．试讨论f(0，0)是否为f(x，y)的极值?是极大值还是极小值?答案:解：由 再令于是上式可改写为 由f(x，y)的连续性，有 另一方面，由知，存在点(0，0)的去心邻域当时，有故在内，f(x，y)＞0．所以f(0，0)是f(x，y)的极小值．问题:8. 设收敛，举例说明级数不一定收敛；若是正项收敛级数，证明一定收敛．答案:解：令，由交错级数的Leibniz审敛法，级数收敛， 而发散．设是正项收敛级数，则， 取ε0=1，存在自然数N，当n＞N时，|an-0|＜1，从而0≤an＜1， 当n＞N时，有． 由收敛得收敛，再由比较审敛法得收敛，所以收敛．。