安徽中考数学专题复习七几何图形的证明与计算15张PPT.ppt

专题七　几何图形的证明与计算专题七　几何图形的证明与计算专题解读：几何图形的证明及计算是安徽中考必考压轴题，近专题解读：几何图形的证明及计算是安徽中考必考压轴题，近6年均在最后一道题年均在最后一道题考查，设问为考查，设问为 3问，主要考查利用三角形相似或全等的判定及性质进行相关证明和问，主要考查利用三角形相似或全等的判定及性质进行相关证明和计算，其中，涉及中点问题计算，其中，涉及中点问题5次．次．类型一　与全等三角形有关的证明与计算类型一　与全等三角形有关的证明与计算（（2014、、2011.23））例例1　如图　如图①①，在，在△△ABC中，中，AC＝＝BC，，∠∠ACB＝＝90°，，CD为边为边AB上的中线，上的中线，E是是CA上一点，上一点，F是是CB上一点，且上一点，且AE＝＝CF，连接，连接ED，，FD，，EF.(1)求证：求证：△△DEF是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；(2)如图如图②②，过点，过点D作作DG⊥⊥EF于点于点G，连接，连接CG并延长交并延长交AB于点于点H.①①求证：求证：CG＝＝GD；；②②若若AE＝＝5，，CH＝＝13，求，求CE的长．的长．例1题图①例1题图②【思维教练】【思维教练】(1)要证要证△△DEF是等腰直角三角形，即证是等腰直角三角形，即证DE＝＝DF，，∠∠EDF＝＝90°，，易得易得∠∠ADC＝＝90°，即证，即证∠∠ADE＝＝∠∠CDF，证，证△△AED≌△≌△CFD即可；即可；(2)①①要证要证CG＝＝GD，利用等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即，利用等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得证；可得证；②②要求要求CE的长，已知的长，已知AE的长，即可得的长，即可得CF的长，即需求的长，即需求EF的长，易得的长，易得EF＝＝CH，在，在Rt△△CEF中利用勾股定理即可求解．中利用勾股定理即可求解．(1)证明：证明：∵∵在在△△ABC中，中，AC＝＝BC，，∠∠ACB＝＝90°，，∴∠∴∠A＝＝∠∠B＝＝45°.∵∵CD为边为边AB上的中线，上的中线，∴∴CD⊥⊥AB，，AD＝＝CD＝＝BD.∴∠∴∠DCB＝＝∠∠B＝＝45°.∴∠∴∠A＝＝∠∠DCB，，即即∠∠A＝＝∠∠DCF.在在△△AED与与△△CFD中，中， ,∴△∴△AED≌≌△△CFD(SAS)．．∴∴DE＝＝DF，，∠∠ADE＝＝∠∠CDF.∵∠∵∠ADE＋＋∠∠CDE＝＝90°，，∴∠∴∠CDF＋＋∠∠CDE＝＝90°.∴∠∴∠EDF＝＝90°.∴△∴△DEF是等腰直角三角形；是等腰直角三角形；AD＝＝CD，，∠∠A＝＝∠∠DCFAE＝＝CF∴∴DG＝＝GH.∴∴CG＝＝GH＝＝ CH.∵∠∵∠ECF＝＝90°，，G为为EF中点，中点，∴∴CG＝＝ EF.∴∴EF＝＝CH＝＝13.由由(1)可知，可知，△△AED≌△≌△CFD，，∴∴CF＝＝AE＝＝5.∴∴在在Rt△△CEF中，中，CE＝＝ ＝＝ ＝＝12.(2)①①证明：证明：∵△∵△DEF是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，DG⊥⊥EF，，∴∴G为为EF的中点，的中点，DG＝＝ EF.∴∴在在Rt△△CEF中，中，GC＝＝ EF.∴∴CG＝＝GD；；②②解：由解：由①①可知，可知，DG＝＝CG，，∴∠∴∠CDG＝＝∠∠GCD.又又∵∠∵∠CDG＋＋∠∠GDH＝＝∠∠DCG＋＋∠∠DHG＝＝90°，，∴∠∴∠GDH＝＝∠∠GHD.类型二　与相似三角形有关的证明与计算类型二　与相似三角形有关的证明与计算（（2019、、2010.23，，2012、、2011.22））例例2　在　在△△ABC中，中，∠∠ACB＝＝90°，，∠∠B＝＝30°，，E为为AB上一点，上一点，EF⊥⊥AB交交BC于点于点F，点，点P在直线在直线AC上，点上，点Q在边在边BC上，上，PE⊥⊥QE.(1)如图如图①①，若点，若点P在在AC的延长线上，的延长线上，PE与与BC交于点交于点D.①①求证：求证：∠∠PEA＝＝∠∠FEQ；；②②求证：求证： ；；(2)如图如图②②，若，若E为为AB的中点，点的中点，点P在边在边AC上，上，BC＝＝4 ，，AP＝＝1，求，求△△PCQ的面积．的面积．例2题图①　例2题图②【思维教练】【思维教练】(1)①①要证要证∠∠PEA＝＝∠∠FEQ，已知，已知EF⊥⊥AB，，PE⊥⊥EQ，利用同角的余，利用同角的余角相等即可得证；角相等即可得证；②②要证要证 ，即需寻找三角形相似，结合，即需寻找三角形相似，结合①①中结论和已知中结论和已知即可得证；即可得证；(2)要求要求△△PCQ的面积，由于的面积，由于∠∠ACB＝＝90°，即需求，即需求CP、、CQ的长，可过的长，可过点点E分别向分别向BC、、AC作垂线，垂足为作垂线，垂足为Q、、M，利用中位线定理易得，利用中位线定理易得CM，，CN的长，的长，即需求即需求PM，，QN的长，的长，AP长已知，即可求得长已知，即可求得PM的长，的长，QN的长利用三角形相似列的长利用三角形相似列比例关系即可求解．比例关系即可求解．(1)证明：证明：①∵∠①∵∠PEQ＝＝∠∠FEA＝＝90°，，∴∠∴∠AEP＋＋∠∠PEF＝＝∠∠FEQ＋＋∠∠PEF＝＝90°.∴∠∴∠PEA＝＝∠∠FEQ；；②∵∠②∵∠ACB＝＝∠∠FEB＝＝90°，，∴∠∴∠A＋＋∠∠B＝＝90°，，∠∠EFQ＋＋∠∠B＝＝90°.∴∠∴∠A＝＝∠∠EFQ，，∵∠∵∠AEP＝＝∠∠FEQ，，∴△∴△PAE∽△∽△QFE.∴∴ ；；(2)解：如解图，过点解：如解图，过点E作作EM⊥⊥AC于点于点M，，EN⊥⊥BC于点于点N.在在Rt△△ACB中，中，∵∠∵∠B＝＝30°，，BC＝＝4 ，，∴∴AC＝＝4.∵∠∵∠C＝＝∠∠ENB＝＝90°，，∴∴EN∥∥AC.∵∵E为为AB的中点，的中点，∴∴EN是是△△ABC的中位线，的中位线，∴∴EN＝＝ AC＝＝2.同理可得同理可得AM＝＝CM＝＝ AC＝＝2，，EM＝＝CN＝＝ BC＝＝2 ，，例2题解图∴∴PM＝＝AM－－AP＝＝1.∵∠∵∠PEQ＝＝∠∠MEN＝＝90°，，∴∠∴∠PEM＝＝∠∠QEN.∵∠∵∠EMP＝＝∠∠ENQ，，∴△∴△PEM∽△∽△QEN.∴∴ ∴∴QN＝＝ .∴∴CQ＝＝CN－－QN＝＝ ∴∴S△△PCQ＝＝ CP·CQ＝＝ ×(2＋＋1)× ＝＝ 类型三　与全等和相似三角形有关的证明与计算类型三　与全等和相似三角形有关的证明与计算（（2018、、2017、、2016、、2015、、2013.23））例例3　如图　如图①①，点，点A段段BC上，上，△△ABD和和△△ACE都是等边三角形，都是等边三角形，F为边为边AE上一上一点，连接点，连接DF.(1)连接连接BE、、CD，求证，求证BE＝＝CD；；(2)若若F为为AE的中点，的中点，BA＝＝ AC，求证：，求证：△△ADF是等边三角形；是等边三角形；(3)如图如图②②，延长，延长DF交交CE于点于点P，连接，连接AP，，CF交于点交于点G，若，若DP∥∥BC，，△△BFC∽△∽△FPC，求，求tan∠∠AGF的值．的值．例3题图①例3题图②【思维教练】【思维教练】(1)要证要证BE＝＝CD，可利用，可利用△△ABD和和△△ACE都是等边三角形证得都是等边三角形证得△△BAE≌≌△△DAC，即可得证；，即可得证；(2)要证要证△△ADF是等边三角形，先利用平角的性质得到是等边三角形，先利用平角的性质得到∠∠DAF＝＝60°，再证明，再证明AF＝＝AD即可得证；即可得证；(3)要求要求tan∠∠AGF，结合已知条件即求，结合已知条件即求∠∠AGF的度数，可利用的度数，可利用DP∥∥BC得到得到∠∠ABF的度数，再利用的度数，再利用△△BFC∽△∽△FPC得到得到∠∠FCB的度数，再通过证明的度数，再通过证明△△FAC≌△≌△PCA即即可得解．可得解．(1)证明：证明：∵△∵△ABD和和△△ACE都是等边三角形，都是等边三角形，∴∴AD＝＝AB，，AE＝＝AC，，∠∠BAD＝＝∠∠EAC，，∴∠∴∠BAE＝＝∠∠DAC.∵∵在在△△BAE和和△△DAC中，中，∴△∴△BAE≌≌△△DAC(SAS)．．∴∴BE＝＝CD；；AB＝＝AD，，∠∠BAE＝＝∠∠DAC，，AE＝＝AC(2)证明：证明：∵△∵△ABD和和△△ACE都是等都是等边三角形，边三角形，∴∴AB＝＝AD，，AE＝＝AC，，∠∠DAF＝＝180°－－∠∠DAB－－∠∠FAC＝＝60°.∵∵点点F为为AE的中点，的中点，∴∴AF＝＝ AE＝＝ AC.∵∵BA＝＝ AC.∴∴AF＝＝BA.∴∴AF＝＝AD，，∴△∴△ADF是等边三角形；是等边三角形；(3)解：解：∵∵DP∥∥BC，，∴∠∴∠DAB＝＝∠∠FDA＝＝60°，，∠∠DFA＝＝∠∠FAC＝＝60°.∴△∴△ADF是等边三角形．是等边三角形．∴∴四边形四边形ABDF是菱形．是菱形．∴∠∴∠ABF＝＝ ∠∠ABD＝＝30°.∵△∵△BFC∽△∽△FPC，，∴∠∴∠FBC＝＝∠∠PFC＝＝30°，，∠∠FCB＝＝∠∠PCF.∵∵DP∥∥BC，，△△ACE是等边三角形，是等边三角形，∴∠∴∠PFC＝＝∠∠FCB＝＝∠∠PCF＝＝30°，，AF＝＝CP，，∠∠FAC＝＝∠∠PCA＝＝60°.∴△∴△FAC≌≌△△PCA(SAS)．．∴∠∴∠GCA＝＝∠∠GAC＝＝30°.∴∠∴∠AGF＝＝∠∠ACG＋＋∠∠GAC＝＝60°.∴∴tan∠∠AGF＝＝tan60°＝＝ .。