复变函数06课件.ppt

1,2,第三节 洛朗级数,由上节学习的泰勒级数，我们知道若函 数f(z)在点z0解析，则函数f(z)能在以z0为 中心的某个圆域内唯一地展开成(z−z0)的 幂级数. 若函数f(z)在点z0不解析，它是否能展开 成(z−z0)的级数？若能展开，展开式的形 式是怎样的？展开式成立的范围是什么？ 这就是本节主要研究的问题.,3,洛朗级数及其收敛圆环 洛朗级数,作为幂级数的推广，我们把形如,的级数称为洛朗级数. 其中z0及cn (n = 0,±1,…) 是复常数.,4,,当c-n = 0 (n =1,2,…)时，上式就是幂级数.,洛朗级数的收敛圆环,为了讨论洛朗级数的收敛域, 现在我们把 洛朗级数分成两部分,称为洛朗级数的解析部分和主要部分.,,5,若洛朗级数的两个部分在点 z =  都收敛, 则称洛朗级数在点 z =  收敛.,洛朗级数的解析部分是幂级数 设其收敛半径为R2 , 则洛朗级数的解析 部分在圆| z−z0|=R2 内收敛；在圆外发 散6,对于洛朗级数的主要部分, 令 = (z−z0)−1, 则此级数为 的一个幂级数,设此级数的收敛半径为R, 则当| | R时, 级数发散；,因此对于洛朗级数的主要部分,7,令R1=1/R , 由前面的讨论可知, 若R1R2 , 则当R1| z − z0|R2时, 级数两个部分都收 敛, 从而洛朗级数收敛;,当| z−z0|R2时, 洛朗级数发散.,如果R1R2,洛朗级数的两个部分没有同时 收敛的区域, 洛朗级数处处发散. 就是说, 如果洛朗级数存在收敛域, 则其收敛域必 是一个圆环域: R1|z − z0|R2.,8,洛朗级数收敛圆环图示,9,洛朗级数也有与幂级数类似的分析性质. 定理 洛朗级数在其收敛圆环内其和函数 解析, 而且可以逐项求导和逐项积分. 因此, 洛朗级数求和, 求收敛圆环问题就 化成了两个幂级数:洛朗级数的解析部分 与主要部分(变形)的求和,求收敛圆的问题.,10,洛朗展开定理 洛朗级数的收敛域是个圆环域, 而且其和 函数在该圆环域内解析. 下面我们讨论在一个圆环域内解析的函数 展开成洛朗级数的问题。

洛朗定理 设f(z)在圆环域R1 | z z0| R2内解析, 则 f(z)一定能在此圆环域内展开为,11,洛朗定理,这里C为此圆环域内围绕z0的任一条正向 简单闭曲线.,一个在圆环域R1|z－z0|R2内解析的函数 f(z)的洛朗展开式是唯一的 与泰勒展开法一样, 在圆环内解析的函数 f(z)的洛朗展开同样有直接法与间接法12,例 分别用直接法与间接法把 在 以z = 0为中心的圆环域0 |z| +∞内展开 成洛朗级数.,解 间接法:由于在整个复平面内, 有,于是在0|z|+∞内, 有,13,直接法:由洛朗定理系数公式,其中C为围绕z=0的一条正向简单闭曲线.,当n+3  0 , 即n －3时, 由于ez z-n-3在复平 面处处解析, 故在C上及其内部解析, 由柯西定理知cn= 0 (n －3).,当n+31,即n-2时, 由高阶导数公式知,14,将所求系数代入洛朗级数中, 即得与间接 法相同的展式.,注意在z = z0为心的圆环内展开f(z), 就是 要把f(z)展成的 形式, 因此如果f (z)是(z-z0)kg(z)的形式, 利用间 接法展开时,不管整数k是正是负,只对g(z) 本身进行展开就可以了.,15,例 将 分别在下列圆 环域展开为洛朗级数.,(1) 0|z|1; (2)1|z|2; (3) 2|z|+∞；(4) 0|z−1|1,解(1) 由于f(z)在|z|1内解析，所以其洛朗 展式就是泰勒级数(不含负幂项) , 把f(z)分 解成部分分式,16,17,解(2) 由于需要套用已知展式,上式必须|w| 1才能展开,而1|z|2, 所以,18,解(3) 同(2)中的说明，在2|z|+∞内,19,解(4) 在0|z1|1内,20,例 将 在0|z|+∞内展开成洛 朗级数 .,解 ez在复平面内的展开式是,在0|z|+∞内，有,21,例,解 被积函数在圆环域0|z|+∞内解析, 在 洛朗展式的系数计算公式中,取n=－1得,22,其中C为解析圆环内围绕圆心z0的任一条正 向简单闭曲线. (常用公式),本题中, 被积函数在圆环0|z|+∞内解析,,因为正向圆周|z|=1为该圆环域内 围绕原点正向简单闭曲线，所以,23,例,解 被积函数有两个奇点z1=0, z2=1,故f(z)以 z=0为心的解析圆环有两个： 0|z|1 和 1|z|+∞ 而积分曲线C:|z|=2在圆环1|z|+∞内, 故 将f(z)在该圆环内展开成洛朗级数,24,从而c－1= −2 (只须求出系数c－1 ，不必写 出展式), 故,25,第五章 留数,留数理论是积分与级数理论相结合的产 物. 本章首先以洛朗级数为工具, 先对解 析函数的孤立奇点进行分类, 再讨论各类 孤立奇点的有效判别方法. 而后引进留数 的概念, 介绍留数的计算方法以及留数定 理. 利用留数定理可以把计算沿闭路的积 分转化为计算在孤立奇点处的留数.,26, 本章主要内容 孤立奇点； 留数； 留数在定积分计算中的应用.,第一节 孤立奇点,孤立奇点的类型,孤立奇点 如果函数f(z)在z0不解析, 但在 z0的某个去心邻域 0|z−z0| 内解析, 则 称z0为f(z)的孤立奇点.,27,例如函数 都以z = 0为孤立奇点.,并不是所有的奇点都是孤立的,例如 , z = 0是它的一个奇点， 除此而外, 都是它 的奇点. 即在z = 0的任何去心邻域内都有 f(z)的奇点. 因此, z = 0不是此函数的孤立 奇点. 在以后我们主要研究孤立奇点.,28,若z0点为f(z)的孤立奇点，则f(z)可以展开 为洛朗级数.,孤立奇点的分类 根据函数展开成罗朗级 数的不同情况, 将孤立奇点作如下分类：,可去奇点 若函数f(z)在孤立奇点z0的去心 邻域内的洛朗展开式中不含负幂项, 即对 一切n0有cn=0, 则称z0是f(z)的可去奇点.,29,例如 在孤立奇点z=0的洛朗展 开式为,上式右端的级数中无负幂项, 故z = 0是f(z) 的可去奇点.如果定义f(z)在z=0处的值为1, 则f(z)在 z = 0 就成了解析的了.,30,可去奇点的判定,定理 设f(z)在00)内解析, 则z0是f(z)的可去奇点的充要条件是: 存在极限 其中c0是一复常数.,可去奇点的判定定理与微积分中,可去间 断点的判定类似。

如果我们补充定义f(z)在z0的值为f(z0)=c0, 则f(z)在z0解析. 正是由于这个原因, 所以 把z0称为可去奇点.,31,极点 若f(z)在孤立奇点z0的去心邻域内的 洛朗展式中只有有限多个负幂项, 即有正 整数m , c-m≠0, 而当n-m 时c-m=0. 则称z0 是f(z)的m级极点.,由极点定义可知, 若z0是f(z)的m级(m≥1) 极点, 则在z0的某去心邻域内 f(z)有展式,32,其中(z)是z0邻域内解析的函数, (z0)≠0.,反之, 如果f(z)在z0的某去心邻域内可以表 示成上式的形式，则z0是f(z)的m级极点. 从上面的讨论, 我们得到如下定理：,33,定理 设f(z)在孤立奇点z0的去心 邻域内 解析, 则z0是f(z)的m级极点的充要条件是: f(z)可表为 的形式, 其中(z)在z0解析, 同时(z0)≠0.,推论 在上面定理的假设下, z0是f(z)的m级 极点的充要条件是,34,例如 函数,显然z=0和z=2是f(z)的两个孤立奇点, 并且,在z=0的邻域内, (z)解析且 (0)≠0. 因此 z=0是f(z)的三级极点; 在z=2的邻域内, g(z)解析且 g(2)≠0. 因此 z=2是f(z)的一级极点.,35,本性奇点 若f(z)在孤立奇点z0的去心邻域 内的洛朗展式中有无穷多个负幂项, 即有 无穷多个n0, 使c-n≠0, 则称z0为f(z)的本 性奇点.,若z0是f(z)孤立奇点 可去奇点的充要条件： 极点的充要条件： 于是对本性奇点, 可以得到如下结论: 本性奇点的充要条件是: 不存在 有限或无穷的极限.,36,例如 函数,z=0是f(z)的唯一的孤立奇点, 将函数f(z)在 0|z|+∞内展成洛朗级数,此展式中含有无限多个负幂项, 故 z = 0是 f(z)的本性奇点.,37,函数的零点与极点的关系,零点 若不恒等于零的解析函数f(z)在z0的 邻域内可以表成,其中g(z)在z0解析且g(z0)≠0, m为一正整数. 则称z0为f(z)的m级零点.,例如 由定义易知z = 0与z = 1分别是 f(z) = z(z1)3的一级与三级零点.,38,定理 若f(z)在z0解析, 则z0为f(z)的m级零点 的充要条件是,证明 必要性: 设z0为f(z)的m级零点, 则 设g(z)在z0的泰勒展式为,39,其中a0= g(z0)≠0, 所以,上式说明f(z)在z0的泰勒级数的前m项系数 都是零，由泰勒级数的系数公式,40,充分性证明略。

例如 已知z=1是f(z) = z3 - 1的零点, 由于 f '(1) = 3z2|z=1= 3≠0 故z = 1是 f(z)的一级零点.,41,函数的零点与极点有下面的关系,定理 如果z0是f(z)的m级极点, 则z0是 的m级零点. 反之亦然.(证明从略),定理 设函数 (z)与(z)分别以z0为m级零 点和n级零点,则有 (1)当mn时, z0是f(z)的m-n级零点; (2)当mn时, z0是f(z)的n-m级极点; (3)当m=n时, z0是f(z)的可去奇点.,42,例 函数 有些什么奇点? 如果 是极点, 指出它的级.,解 f(z)的奇点显然是使sin z = 0 的点. 这些奇点是 z = k (kZ) 且为孤立奇点. 由于,所以z = k 都是sin z的一级零点, 也就是 f(z)的一级极点.,43,例 z=0是 的几级极点?,解 虽然 (z) = ez1在z = 0解析, 但由于  (0)=0, 因此不能断定z = 0是f(z)的二级 极点. 须用洛朗展开来讨论. 在0|z|+∞内, 有,故 z = 0是一级极点.,44,,例 函数 有什么类型 的奇点? 如果是极点, 指出它的级.,解 f(z)的奇点是使sin z = 0的点, 故f(z)的 奇点是z = 0, ±1, ±2,…,而且为孤立奇点. (sin z ) =  cos  z 在 z = 0,±1,±2,…处均不为零, 因此这些 点都是sin z的一级零点, 从而是(sin  z)3的 三级零点.,45,又z =±1是分子的一级零点; z = 2是分子的三级零点. 于是由零点与极点的关系定理知： z =±1 是f(z)的二级极点; z = 2是f(z)的可去奇点; z=0,2, ±3, ±4,…是f(z)的三级极点.,46,。