三棱锥的几个重要性质!.docx
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直角三棱锥的几个性质有一类特殊的三棱锥，它的经过同一顶点的三条棱两两垂直，我们不妨把这种三棱锥称 作直角三棱锥，从结构上看，它是平面的直角三角形在空间的扩展循着直角三角形的一些 重要性质对直角三棱锥进行探究，我们能得到直角三棱锥的有趣的相应性质我们已经学习过的直角三角形的性质有：性质1： RtA的垂心就是直角顶点性质2： RtA的两个锐角互余性质3： RtA两直角边的平方和等于斜边的平方性质4： RtA中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项；每条直角边是它 在斜边上的射影和斜边的比例中项；由此，RtA两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射 影比性质5： RtA两直角边的乘积，等于斜边与斜边上高的乘积性质6： RtA斜边上的中线等于斜边的一半所以RtA的外接圆半径R= 2 c= 2 v；a2 + b2 )ab 1性质7： RtA的内切圆半径r= = — (a+b — c)a + b + ^a 2 + b 2 2现在我们来探究一下直角三棱锥的性质如图所示，在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA、 PB、PC 两两垂直，设 PA=a，PB=b，PC = cTPA、PB、PC两两垂直， .'.PA丄面PBC，PB丄 面PCA，PC丄面PAB， ・•.面PAB、面PBC、面PCA两两垂直。
作PH丄面ABC于H,连CH并延长并交AB于 D,连PD,贝PH丄AB，PH丄CD,面PCD丄面ABC；而 PC丄面PAB = PC丄AB，所以AB丄面PCD，.AB丄PD, AB丄 CH同理，AH丄 BC, BH丄 CA由AB丄面PCD知CD丄AB，而PD丄AB且ZAPB = 90°,・ZABC、ZCAB为锐角同理，ZBCA也是锐 角，从而有：性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形由AB丄CH, AH丄BC, BH丄CA易知，H是AABC的垂心，由此可得： 性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心ab在 Rt APAB 中，PD・ AB = PA ・PB = PD= ；在 Rt APCD 中，CD 2 =PD 2 +PC 2a 2 + b 2在 Rt APCD 中，PH丄CD,・•・PD・PC_ab(-\：a 2 + b 2CD ・ PH = PH 2PD 2 - PC2cd2ab( )-c2fa2 +b2 _ a2 b2 c2a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 21PH^a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 111_ + 1 。
因此有:a2b2c2 a2 b2 c2性质2：②直角三棱锥顶点到底面的距离为h满足关系式一=—+ — + —h 2 a 2 b 2 c 2因PH丄面ABC,・•・侧棱PC与底面ABC所成角为ZPCH=a,则有sin2 ZPCH=sin2 aabe )2PD2 _ yja2 + b2 _ a2b2CD 2 a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2同理，侧棱PB与底面ABC所成角为ZPBH_B ,sin2 ZPBH_sin2 B，侧棱PA与底面ABC所成角为a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2c2a2ZPAH_Y，sin2 ZPBH_sin2 Y_ ,所以 sin2 a+sin2 B+sin2 Ya 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 21因此，性质3：①直角三棱锥三条侧棱与底面所成角的正弦值的平方和等于1三条侧棱与底 面所成角，和三个侧面与底面所成角互为余角由AB丄PD,AB丄CD,・侧面PAB与底面ABC所成角为ZPDC_9 ,由PC丄PD知9+a_ 90° , Asin 2 a_sin 2 (90°—9 ) _cos 2 9O 类似推理，由 sin 2 a+sin 2 B+sin2 Y_1。
PC c另外，tan(P-AB-C) _tanZPDC_ _ PDv a2 + b2 ■1 1 ：1十 ,tan(P-CA-B) _b 十易得:sin2 9+sin2 6+sin2 申=1■ 1 1十 ，同理，t an(P-BC-A)ab1_c 十 ，冋理，tan(P-BC-A) _a 十 ,tan(P-CA-B) _b 十 所以， a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2性质3：②直角三棱锥三个侧面与底面所成角的余弦值的平方和等于1各角的正切值:tan(P-AB-C) =c、：+ -1 , tan(P-BC-A) =a ,-1 + —a 2 b 2 b 2 c 2,tan(P-CA-B)=bJ — + —c 2 a 2如图，Q为底面A ABC内任一点，作点Q到面PAB的距离为RQ_d ］，到面PBC的距离为RT_d ,到面 PCA 的距离为 RS_d ,容易得到：PQ2 _RQ2 +RP2 _RQ2 +RT2 +RS2 _d 2 2 3 1+d 2+d 223性质4：①底面内任一点到顶点距离的平方，等于它到三个侧面距离的平方和QP与棱PA所成角的余弦值cos 2a，QP与棱PB所成角的余弦值cos 2SP2 RT 2 PQ2 PQ2B_ _ 壽,QP与棱PA所成角的余弦值cos 2 Y_专学,PQ 2 PQ 2 PQ 2在 PQ2 =RQ2 +RT2 +RS2 两边同时除以 PQ2，得 cos2 y+cos2 a+cos2 B=l； 性质4：②直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三条棱分别构成三个角，其余弦 值的平方和为1。
QP与面PAB所成角的余弦值cos 2RS 2 + RT 2PQ 2,QP与面PBC所成角的余弦值cos 2="二RQ , QP与面PCA所成角的余弦值cos 2 9 = R" :RQ ,PQ2 PQ2由 PQ 2 =RQ 2 +RT2 +RS2 得 2XPQ2 =RS2 +RT2 +RS2 +RQ2 +RT2 +RQ2，两边同时除以 PQ2，得 cos2 9 + cos2 6+cos 2 9 =2,.°. 1 — sin2 9+1 — sin2 5+1 — sin2 9 =2,得sin2 9+sin2 6+sin2 9 = 1性质4：③直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三个侧面分别构成三个角，其正 弦值的平方和为11 1 ： :— ，匕 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2底面三角形的面积 S = AB • CD= a2 +b2 • =aabc 2 2 \ a 2 + b 22 va2b2 + b2c2 + c2a2 ,这也可以当成直角三棱锥的一个性质：2_ 1 , 性质5：①直角三棱锥底面三角形的面积S= - \a2b2 + b2c2 + c2a22在Rt APCD中，PD2 =HD・CD,两边同乘以丄AB2得-AB2・PD2 = - AB2・HD・ CD,4 4 4即 S 2 =S ・S ；同理，S 2 =S ・S ； S 2 =S ・s 。
APAB AHAB AABC APBC AHBC AABC APCA AHCA AABC性质5：②直角三棱锥侧面面积是其在底面的射影面积与底面面积的比例中项把S 2 =S ・S ； S 2 =S ・S ； S 2 =S ・s ；这三 APAB AHAB AABC APBC AHBC AABC APCA AHCA AABC个式子相加，得S 2 =S 2 +S 2 +S 2AABC APAB APBC APCA性质5：③直角三棱锥三个侧面面积的平方和，等于底面面积的平方PA PA PA2直角三棱锥P-ABC中，在点A处，cosZPAB ・cosZPAC=乔・-AC =亦CAC 2 + AB 2 — BC 2 AC 2 + AB 2 — (PB 2 + PC 2)cosZBAC= =2 AB - AC2 AB - ACAC2 一 PC2 + AB2 一 PB2 PA2 + PA22AB - AC 2AB - ACPA 2AB - ACcosZPAB • cosZPAC；即 cosZBAC=cosZPAB • cosZPAC；同理，点B 处，cosZABC=cosZPBA • cosZPBC；点 C 处，cosZACB = cosZPCB • cosZPCA。
所以 性质6：直角三棱锥底面端点处，侧棱与底面 两边所成角的余弦积，等于底面角的余弦值将直角三棱锥补成长方体，则直角三棱锥的外 接球也是长方体的外接球，其球心是长方体的中心, 半径为长方体对角线的一半因此有性质7：①直角三棱锥外接球的半径R =设直角三棱锥内切球半径为r,球心为0,连OA,OB,OC,则把直角三棱锥分成四个小三 棱锥，・•・V =V +V +V +V ,P-ABC O-PAB O-PBC O-PCA O-ABC1 ； ； 11 11 11S = a2b2 + b2c2 + c2a2 X -abXc= X -abXr+ X -bcXraabc 2 3 2 3 2 3 22 心a 2 b 2 十b 2 c 2 十c 2 a 2 Xrabcr= 所以,ab + bc + ac + \ a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2性质7：②直角三棱锥内切球的半径r=abcab + bc + ac + a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2现在将以上所探究到的直角三棱锥性质小结如下：性质1：直角三棱锥的底面是锐角三角形性质2：①直角三棱锥顶点在底面的射影是底面三角形的垂心。
②直角三棱锥顶点到底面的距离为h满足关系式一= 1 h2 a 2 b2 c2性质3：①直角三棱锥三条侧棱与底面所成角的正弦值的平方和等于1三条侧棱与底 面所成角，和三个侧面与底面所成角互为余角②直角三棱锥三个侧面与底面所成角的余弦值的平方和等于1各角的正切值：tan(P-BC-A)=atan(P-CA-B) =b +c 2I 1 1t an(P-AB-C)=c + -,a 2 b 2性质4：①底面内任一点到顶点距离的平方，等于它到三个侧面距离的平方和② 直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三条棱分别构成三个角，其余 弦值的平方和为1③ 直角三棱锥底面内任一点与顶点的连线，和三个侧面分别构成三个角，其 正弦值的平方和为1 1 I性质5：①直角三棱锥底面三角形的面积S= v'a2b2 + b2c2 + c2a2② 直角三棱锥侧面面积是其在底面的射影面积与底面面积的比例中项③ 直角三棱锥三个侧面面积的平方和，等于底面面积的平方性质6：直角三棱锥底面端点处，侧棱与底面两边所成角的余弦积，等于底面角的余弦 值1 , 性质7：①直角三棱锥外接球的半径R= -v'a2 + b2 + c2abc②直角三棱锥内切球的半径r=ab + bc + ac + \ a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2。
