2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题.doc

2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）当 时， 与 是等价无穷小，则0x()sinfxax2()ln(1)gbx（A） . （B ） . （C） . （D） .61,ba61,b6, 61,ba（2） （缺图）如图，正方形 被其对角线划分为四个区域 ，,),(yx )4,32(k，则kDxdyIcoskI41ma（A） . （B） . （C） . （D） .1I2I3I4I（3） （缺图）设函数 在区间 上的图形为)(xfy3,1则函数 的图形为dtfxF0)(）（（A） （缺图）（B） （缺图）（C） （缺图）（D） （缺图）（4）设有两个数列 ，若 则{},nablim0na（A）当 收敛时， 收敛 （B）当 发散时， 发散1nb1n1nb1nab（C）当 收敛时， 收敛 （D）当 发散时， 发散1|n21nab1|n21n（5）设 是 3 维向量空间设 的一组基，则由基 到基2,3R23,的过渡矩阵为11（A） （B）0231203（C） （D ）146214612416（6）设 均为 2 阶矩阵， 分别为 的伴随矩阵，若 ， ，则AB、 *,AB、 |2A|3B分块矩阵 的伴随矩阵为OAB(A) (B) *32*23BO(C) (D) *OAB*A（7）设随机变量 的分布函数为 ，其中 为标准正态X1()0.3().7()2xFx）（ x分布的分布函数，则 =()E（A）0. （B）0.3. （C）0.7. （D）1.（8）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 ，Y 的概率分布为）（ 1,0N.记 为随机变量 的分布函数，则函数 的间断1{0}2PY()ZFzZ()ZFz点个数为（A）0. （B）1. （C）2. （ D）3.二、填空题：9~14 小题，每小题 4 分，共 24 分.请将答案写在答题纸指定位置上.（9）设函数 具有二阶连续偏导数， ，则),(vuf ),(xyfzyz2（10）若二阶常系数线性齐次微分方程 的通解为 ，则非齐次方0//bay xeC)(21程 满足条件 的解为xbyay// 0)(,2)0(/y（11）已知曲线 ，则2xL： Lxds（12）设 ，则1,zyzx yz2（13）若 3 维列向量 满足 ，其中 为 的转置，则矩阵 的非零特征、 TTT值为___________（14）设 为来自二项分布总体 的简单随机样本， 和 分别为样本mX321, ）（ pnB, X2S均值和样本方差.若 为 的无偏估计量，则2kSnpk三、解答题：15~23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15） （本题满分 9 分）求二元函数 的极值.yxyf ln)2(),(（16） （本题满分 9 分）设 为曲线 与 所围成区域的面积，记nan),1， ，求 与 的值.1naS12naS1S2（17） （本题满分 11 分）椭球面 是椭圆 绕 轴旋转而成，圆锥面 是由过点11342yxx2S且与椭圆 相切的直线绕 轴旋转而成.0,41342yx（I）求 及 的方程；（II）求 与 之间的立体方程.1S21S2（18） （本题满分 11 分） （I）证明拉格朗日中值定理：若函数 在 上连续，在)(xfba,内可导，则存在 ，使得 .ba, ba, )()(/abfafb（19） （本题满分 10 分）计算曲面积分 ，其中 是曲面322()xdyzzdyIA的外侧，224xyz（20） （本题满分 11 分）设 ，1042A1（I）求满足 的所有向量 ；22131,3,（II）对（I）中的任意向量 ，证明 线性无关.2,12（21） （本题满分 11 分）设二次型 22313123(,)()fxaxxx（I）求二次型 的矩阵的所有特征值；f（II）求二次型 的规范形为 ，求 的值.21y（本题满分 11 分）袋中有 1 个红球、2 个黑球与 3 个白球.现有放回地从袋中取两次，每次取一个球.以 分别表示两次取球所得的红球、黑球、白球的个数.ZYX,（I）求 ；01P（II）求二维随机变量 的概率分布.),(（23）设总体 的概率密度为 ，其中参数 未知，2,0(()xefx是来自总体 的简单随机样本.（I ）求参数 的矩估计量；（II）求参数12,,nX X的似然估计量.。