同济高等数学第一章第七节课件资料.ppt

1 7无穷小的比较 观察与比较 观察两个无穷小比值的极限 两个无穷小比值的极限的各种不同情况 反映了不同的无穷小趋于零的 快慢 程度 在x 0的过程中 x2比3x趋于零的速度快些 反过来3x比x2趋于零的速度慢些 而sinx与x趋于零的速度相仿 上页 下页 铃 结束 返回 首页 无穷小的阶 设a及b为同一个自变量的变化过程中的无穷小 下页 阶的比较举例 所以当x 0时 3x2是比x高阶的无穷小 即3x2 o x x 0 所以当x 3时 x2 9与x 3是同阶无穷小 例2 例3 例1 下页 所以当x 0时 1 cosx是关于x的二阶无穷小 所以当x 0时 sinx与x是等价无穷小 即sinx x x 0 例4 例5 下页 阶的比较举例 例6 阶的比较举例 证明 当 证 定理1 b与a是等价无穷小的充分必要条件为b a o a 下页 关于等价无穷小的定理 必要性 证明 所以b a o a 因为 设a b 只需证b a o a 充分性 设b a o a 则 因此a b 所以当x 0时 有 sinx x o x tanx x o x 例6 下页 定理1 b与a是等价无穷小的充分必要条件为b a o a 关于等价无穷小的定理 下页 定理1 b与a是等价无穷小的充分必要条件为b a o a 关于等价无穷小的定理 定理2 证明 求两个无穷小比值的极限时 分子及分母都可用等价无穷小来代替 因此 如果用来代替的无穷小选取得适当 则可使计算简化 定理2的意义 下页 定理1 b与a是等价无穷小的充分必要条件为b a o a 关于等价无穷小的定理 定理2 解当x 0时 tan2x 2x sin5x 5x 所以 解当x 0时sinx x 无穷小x3 3x与它本身显然是等价的 所以 例7 例8 结束 注意 等价无穷小替换定理应遵从因式代替规则 界 则 例如 例9求 解 原式 常用等价无穷小 推广 作业P555 1 2 4 。