希尔伯特的23个问题.docx

巴黎圣母院的钟声迎来了 20世纪1900年，人们都吧眼光放在未来：无产阶级正在组织沸腾的革命，科学家憧憬着惊人的突破，艺术家在追逐时代的潮流……这一年的8月6 日，第二届国际数学家代表会议在巴黎召开年方38岁的德国数学家大卫•希尔伯特走上 讲台，第一句话就问道：“揭开隐藏在未来之中的面纱，探索未来世纪的发展前景，谁不高 兴呢？ ”接着，他向到会者，也向国际数学界提出了 23个数学问题，这就是著名的希尔伯 特演说这一演说，成为世界数学史的重要里程碑，为20世纪的数学发展揭开了光辉的第 一页！科学发展的每一个时代都有自己的问题希尔伯特站在当时数学研究的最前沿，高瞻远 瞩地用23个数学问题，预示20世纪数学发展的进程现在，时光已过去80多年这23 个问题约有一半已获得解决，有一些取得了很大进展，有些则收效甚微80年来，人们把 解决希尔伯特问题，哪怕是其中一部分，都看成至高无上的荣誉据统计，从1936 1974 年，被育为数学界诺贝尔奖的菲尔兹（Fields）国际数学奖的20名获奖人中，至少有12人 的工作与希尔伯特问题有关1976年，美国数学会组织评论1940年以来的美国十大数学 成就，就有3项是希尔伯特问题的（1）、（5）、（10）等3个问题的解决。

重要的问题 历来是推动科学前进的杠杆之一，但一位科学家如此自觉、如此集中地提出一整批问题，并 且如此持久地影响一门学科的发展，在科学史上确是罕见的希尔伯特，1862年生于德国德哥尼斯堡（现为苏联的加里宁格勒）1884年获哥尼斯 堡大学博士学位1895年担任著名的哥廷根大学教授，直到1943年去世他最初的研究 领域是代数不变量和代数数论1900年前后致力于数学基础——元数学后来又转到分析 方面，在积分方程、变分法、泛函分析、理论物理等许多领域作出了杰出的贡献希尔伯特为发表1900年的重要演说，曾作过仔细的准备1899年，第二届国际数学 家会议的筹备机构邀请希尔伯特在会上作主要发言希尔伯特接受了邀请，并计划在这世纪 交替之际作一个相称的发言当时他有两个想法：或者作一个为纯粹数学辩护的讲演，或者 讨论一下新世纪数学发展的方向为此，他写信与他的好友，杰出的数学家闵可夫斯基进行 商量闵可夫斯基于1900年1月5日回信说：“最有吸引力的题材莫过于展望未来，列出 在新世纪里数学家应当努力解决的问题这样一个题材，将会使你的讲演在今后几十年的时 间里成为人们议论的话题当然，闵可夫斯基也指出了做这类预见性发言会遇到的困难。

经过一番斟酌，希尔伯特决意选择第二个想法，提出一批急需解决的重大数学问题希 尔伯特曾指出，历史上通过提出问题会导致整门新科学的诞生他举了三个典型例子第一， 贝努利（Bernoulli）的最速降落线问题是现代数学分支——变分法的起源第二，费尔马（F ermat）问题，它看上去“非常特殊，似乎不十分重要”，却大大推动了代数数论的进展， 现代代数数论中的核心概念“理想数”正是为了解决费尔马问题而提出的第三，三体问题， 它对现代天体力学起了关键作用这三个问题，既有纯粹从数学本身提出的，也有从基本自 然现象提出的希尔伯特提出的问题后来也确实形成了许多新的数学分支，达到了预期的目 的对希尔伯特来说，在国际数学家会议上报告自己的成果，远比提出新问题要容易得多， 当时，希尔伯特正当科学创造活动的盛年，业已作出了许多世所公认得成绩人们本来以为 他会拿出优异的数学论文来回答国际数学界，却没有想到他竟会选择如此困难的题目来作讲 演希尔伯特接受任务以后，一直作着仔细的准备，直到6月份，他的讲演稿还没有写出来 预定8月在巴黎举行国际数学家会议的日程已发到代表们手中，其中没有列入希尔伯特的讲 演7月中旬，他才给闵可夫斯基寄去第一稿的样本。

闵可夫斯基和希尔伯特的另一位学长 和朋友胡尔维茨（A.Hurwitz）对初稿进行研究，帮助希尔伯特作了修改如果从1899年底 开始考虑选题算起，希尔伯特为了提出这23个题目整整花了 8个月的时间希伯尔特的演说获得了极大的成功各国的数学杂志纷纷转载他的演说稿，大批数学家 投入解决希伯尔特问题的激流中去第3问题当年就被希伯尔特的学生德恩（Dehn,18781952）所解决迄今为止，已完满解决的希尔伯特问题约占一半，有几个问题比较笼统， 难以判定解决与否，大约还有三分之一的问题仍悬而未决，有的有了部分进展，有的则差得 很远1975年，在美国的伊利诺斯大学召开了一次国际数学会议，邀请世界著名数学家参 加，专门研究希尔伯特问题的进展会后出版的论文集详细地介绍了各个问题的进展（见《M athematical Developments Arising from Hilbert Problems》一书）大数学家韦尔（H - Weyl）在希尔伯特去世时的悼词中曾说：“希尔伯特就象穿杂色衣 服的风笛手，他那甜蜜的笛声诱惑了如此众多的老鼠，跟着他跳进了数学的深河对有志 的人们来说，这23个问题正是这样一种甜蜜的笛声，我们至今似乎仍能听到它的召唤。

值 得高兴的是，中国数学家在第8和第16问题上曾经作出一些贡献附录希尔伯特23问题的解决情况（1） 康托的连续统基数问题1874年，康托猜测在可数集基数和实数集基数之间没有别的基数，即著名的连续统假 设1938年，桥居美国的奥地利数学家哥德尔证明连续统假设和ZF集合论公理系统的无矛 盾性1963年，美国数学家科恩（P - Cohen）证明连续统假设和ZF公理是彼此独立的 因此，连续统假设不能用世所公认的ZF公理证明其对错希尔伯特第一问题在这一意义上 已获解决2） 算术公理的无矛盾性欧氏几何的无矛盾性可归结为算术公里的无矛盾性希尔伯特曾提出用形式主义计划的 证明论方法加以证明歌德尔在1931年发表不完备性定理加以否定1936年根茨（G・G entzen,1909 1945）在使用超限归纳法的条件下证明了算术公理的无矛盾性3） 两个等底等高四面体的体积相等问题问题的意思是：存在两个等高等底的四面体，它们不可能分解为有限个小四面体，使这 两组四面体彼此全等德恩证明确实存在着这样的两个四面体（1900 ）4） 两点间以直线为距离最短线问题次问题提得过于一般满足此性质的几何学很多，因而需加以某些限制条件。

1973年 苏联数学家波格列洛夫（Pog lel ov）宣布，在对称距离情况下，问题获得解决5） 一个连续变换群的李氏概念，定义这个群的函数不假定是可微的这个问题简称连续群的解析性，即是否每一个局部欧氏群都一定是李群？中间经过冯•诺伊曼（1933对紧群情形）、邦德里雅金（Pontrja-qin）（交换群情形，1939）、歇 瓦莱（Chevalley） （1941对可解群情形）的努力，于1952年，由格利森（Gleason）、蒙哥 马利（Montgomery）、齐宾（Zippin）共同解决了，得到了完全肯定的结果6） 物理学的公理化希尔伯特建议用数学的公理化方法推演出全部物理，首先是概率论和力学1933年， 苏联数学家柯尔莫哥洛夫（Kolmogoroff）将概率论公理化后来在量子力学、量子场论方 面取得了很大成功但是物理学是否能全盘公理化，很多人表示怀疑7） 某些数的超越性问题要求证明：若是代数数，是无理数的代数数，则一定是超越数或至少是无理数 （例如 和）1934年苏联数学家盖尔封特（A.O.Gelfond）证明这是对的1935年，德 国数学家施奈德（Schneider）也独立地解决了这一问题。

8） 素数问题素数是一个古老的研究领域希尔伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、歌德巴赫（G oldbach）猜想以及挛生素数问题黎曼猜想至今未能解决歌德巴赫猜想亦未最终解决，中国陈景润取得领先地位目前 挛生素数的最佳结果也属于陈景润9） 在任意数域中证明最一般的互反律该问题已由德国数学家阿廷（E・Artin）给予基本解决（1927），但至今仍在继续发展 类域理论10） 丢番图（Diophantus ）方程的可解性求出一个整数系数方程的整数根，称为丢番图（约210 290，古希腊数学家）方程可 解希尔伯特问，是否能用一种有限步构成的一般算法判断一个丢番图方程的可解性？ 195 0年前后，美国数学家戴维斯（Davis）、普特南（Putnam）、罗宾逊（Robinson）等取得 关键性突破，1970年，苏联的马蒂塞维奇（Matijasevic）最终证明：第10问题的答案是否 定的尽管得出了否定的结果，却产生了一系列很有价值的副产品，其中不少和计算机科学 有密切关系11） 任意代数数系数的二次型德国人海塞（Hasse）和西格尔（Siegel）在20年代获重要结果60年代，法国的魏 依（A • Weil）取得了新进展。

12） 将阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意的代数有理域上去这一问题只有一些零星的结果，离彻底解决还相差很远13） 用两变量函数解一般七次方程的不可能性七次方程x7+ax3+bx2+cx+1=0的根依赖于3个参数a、b、c ； x=x（a,b,c），这一 函数能否用两变量函数表示出来？这一问题已接近解决苏联数学家阿诺尔德（V・I・Arnold）解决了连续函数的情形（1 957）1964年维土斯金（Vituskin）又推广到连续可微函数情形如果求解析函数，则问题 尚未解决14）某些完备函数系的有限性的证明这和代数不变量问题有关日本数学家永田雅宜给出了漂亮的反例（1959 ）15） 舒伯特（Schubert）计数演算的严格基础一个典型问题是：在三维空间中有四条直线，问有几条直线能和这四条直线都相交？舒 伯特给出了一个直观解法希尔伯特要求将问题一般化，并给以严格基础现在已有了一些 可计算的方法，它和代数几何学有密切联系但严格的基础迄今仍未确立16） 代数曲线和代数曲面的拓扑问题这个问题分为两部分前半部涉及代数曲线含有闭的分枝曲线的最大数目后半部分要 求讨论的极限环的最大个数和相对位置，其中X、Y是x、y的n次多项式。

苏联的彼德罗 夫斯基（Petrovsk）院士曾证时极限环的个数不超过31979年，中国的史松龄以及王明 淑分别举出有四个极限环的反例17） 半正定形式的平方和表示一个实系数n元多项式对一切数组（Xp…必n）都恒大于或等于0，是否都能写成平方和 的形式？ 1927年，阿廷证明这是对的18） 用全等多面体构造空间德国数学家比勃巴赫（Bieberbach）（1910）、莱因哈特（Reinhardt）（1928）作出 部分解决19） 正则变分问题的解是否一定解析这一问题的研究很少伯恩斯坦（S・Bernstein）和彼德罗夫斯基等得出了一些结果20） 一般边值问题这一问题得进展十分迅速，已成为一个很大的数学分支目前还在继续研究21） 具有指定单值群的线性微分方程解的存在性证明已由希尔伯特本人（1905）和勒尔（H-Rohrl）（1957）、德利涅（P・DQligne）（1 970）等人所解决22） 由自守函数构成的解析函数的单值化它涉及艰深的黎曼曲面论，1907年克伯（P・Koebe）获重要突破，其他方面尚未解决23） 变分法的进一步发展这不是一个明确的数学问题，只是谈了对变分法的一般看法20世纪变分法有了长足 发展。

从上面的简单介绍不难看出，希尔伯特提出的问题是相当艰深的，不少一般人简直连题 目也看不懂正因为艰深，才吸引有志之士去作巨大的努力但它又不是不可接近的，因而 提供了使人们终有所获的科学猎场80年来，人们始终注视着希而伯特问题的研究，绝不 是偶然的当然，预测不可能。