
人教A版高中数学(选择性必修一)同步讲义第30讲 3.3.1抛物线及其标准方程(教师版).doc
30页第05讲 3.3.1抛物线及其标准方程课程标准学习目标①掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单性质②了解抛物线在实际问题中的初步应用通过本节课的学习,要求掌握抛物线的定义,标准方程及相关的条件,并能应用抛物线的定义解决实际问题知识点01:抛物线的定义1、抛物线的定义:平面内与一个定点和一条定直线(其中定点不在定直线上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点叫做抛物线的焦点,定直线叫做抛物线的准线.2、抛物线的数学表达式:(为点到准线的距离).【即学即练1】(2023春·四川凉山·高二宁南中学校联考期末)已知抛物线上一点P到y轴的距离为2,焦点为F,则( )A.2 B.3 C. D.【答案】B【详解】由题得抛物线的准线方程为,所以点P到准线的距离为,由抛物线的定义得3.故选:B 知识点02:抛物线的标准方程 设,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:方程()()()()图形焦点准线【即学即练2】(2023秋·高二课时练习)已知抛物线的标准方程如下,分别求其焦点和准线方程:(1);(2).【答案】(1)焦点为,准线方程为;(2)焦点为,准线方程为.【详解】(1)由抛物线方程为,可得,且焦点在轴正半轴上,所以可得其焦点为,准线方程为;(2)将化成标准方程为,可得,且焦点在轴负半轴上,所以焦点为,准线方程为.特别说明:1、要注意弄清抛物线四种形式的标准方程的特征及其对应抛物线的形状(焦点位置、开口方向等).抛物线的标准方程中,有一个一次项和一个二次项,二次项的系数为1,一次项的系数为;若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左);若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下).2、焦点的非零坐标是标准方程下一次项系数的 .3、准线与坐标轴的交点和抛物线的焦点关于原点对称.4、(1)通径:过焦点且垂直于对称轴的弦长等于,通径是过焦点最短的弦.(2)抛物线()上一点到焦点的距离,也称为抛物线的焦半径.题型01抛物线定义的理解 【典例1】(2023秋·陕西西安·高二统考期末)若抛物线上一点到轴的距离为,则点到抛物线的焦点的距离为 .【答案】4【详解】由题意可得,,P纵坐标为,由其解析式可得P横坐标为,由抛物线定义知.故答案为:4【典例2】(2023·四川成都·四川省成都列五中学校考三模)若抛物线上的点P到焦点的距离为8,到轴的距离为6,则抛物线的标准方程是( )A. B. C. D.【答案】C【详解】由抛物线定义可得:,解得,所以抛物线的标准方程为.故选:C 【变式1】(2023春·陕西榆林·高二统考期末)已知抛物线的焦点为,点在上,若到直线的距离为7,则 .【答案】【详解】由抛物线的焦点为,准线方程为,因为点在上,且到直线的距离为,可得到直线的距离为,即点到准线的距离为,根据抛物线的定义,可得点到焦点的距离等于点到准线的距离,所以.故答案为:.【变式2】(2023春·江西宜春·高三江西省宜春中学校考阶段练习)若抛物线上一点到焦点的距离是该点到轴距离的3倍,则 .【答案】/3.5【详解】由题知:,故由焦半径公式得:.故答案为:.题型02利用抛物线定义求方程 【典例1】(2023春·江西·高三校联考阶段练习)设圆与y轴交于A,B两点(A在B的上方),过B作圆O的切线l,若动点P到A的距离等于P到l的距离,则动点P的轨迹方程为( )A. B. C. D.【答案】A【详解】因为圆与轴交于,两点(在的上方),所以,,又因为过作圆的切线,所以切线的方程为,因为动点到的距离等于到的距离,所以动点的轨迹为抛物线,且其焦点为,准线为,所以的轨迹方程为.故选:A.【典例2】(2023·全国·高三专题练习)已知动点的坐标满足,则动点的轨迹方程为 .【答案】【详解】设直线,则动点到点的距离为,动点到直线的距离为,又因为,所以动点M的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,其轨迹方程为.故答案为:【变式1】(2023·全国·高三专题练习)已知点,过点且与y轴垂直的直线为,轴,交于点N,直线l垂直平分FN,交于点M. 求点M的轨迹方程;【答案】【详解】由题意得,即动点M到点的距离和到直线的距离相等,所以点M的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为;【变式2】(2023·全国·高三专题练习)动点到y轴的距离比它到定点的距离小2,求动点的轨迹方程.【答案】或.【详解】解:∵动点M到y轴的距离比它到定点的距离小2,∴动点M到定点的距离与它到定直线的距离相等.∴动点M到轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,且.∴抛物线的方程为,又∵x轴上点左侧的点到y轴的距离比它到点的距离小2,∴M点的轨迹方程为②.综上,得动点M的轨迹方程为或.题型03抛物线上点到定点距离及最值 【典例1】(2023春·河南焦作·高二统考开学考试)已知点A是抛物线上的点,点,则的最小值为( )A. B.2 C. D.【答案】A【详解】设,则,则,所以当时,取得最小值.故选:A【典例2】(2023春·云南昭通·高三校考阶段练习)抛物线上任意一点P到点的距离最小值为 .【答案】【详解】设,则,因为,所以,当时取得最小值4,故答案为:4【变式1】(2023·全国·高三专题练习)动点在抛物线上,则点到点的距离的最小值为( )A. B. C. D.12【答案】B【详解】设,则,当时,取得最小值,最小值为故选:B【变式2】(2023·全国·高三专题练习)已知点在抛物线上,点在圆上,则长度的最小值为 .【答案】3【详解】因为抛物线和圆都关于横轴对称,所以不妨设,设圆的圆心坐标为:,半径为1,因此,当时,,所以长度的最小值为,故答案为:题型04抛物线上点到定点与焦点距离的和(差)最值 【典例1】(2023秋·陕西·高二校联考期末)已知抛物线:的焦点为,抛物线上有一动点,且,则的最小值为( )A.8 B.16 C.11 D.26【答案】C【详解】因为抛物线:,所以抛物线的准线为,记抛物线的准线为,作于,如图所示:因为,,所以当,,共线时,有最小值,最小值为.故选:C.【典例2】(2023春·甘肃武威·高二武威第六中学校考期中)是抛物线的焦点,点,为抛物线上一点,到直线的距离为,则的最小值是( )A. B. C.3 D.【答案】C【详解】由题设,抛物线焦点,准线为,故,如上图:,仅当共线且在两点之间时等号成立.故选:C【典例3】(2023·全国·高三专题练习)已知点 是坐标平面内一定点, 若抛物线的焦点为, 点是抛物线上的一动点, 则的最小值是 .【答案】/【详解】抛物线的准线方程为,过点作垂直准线于点,显然,当平行于轴时,取得最小值,此时,此时 故答案为:.【变式1】(2023秋·内蒙古巴彦淖尔·高二校考期末)点是抛物线的焦点,直线为抛物线的准线,点为直线上一动点,点在以为圆心,为半径的圆上,点在抛物线上,则的最大值为( )A. B. C. D.【答案】B【详解】如图,过点P作于点N,根据抛物线的定义可得:,所以,而所以.当且仅当点Q、点N、点M在同一条直线上时等号成立,所以有最大值1.故选:B【变式2】(2023秋·高二单元测试)已知抛物线的焦点为F,点M(3,6),点Q在抛物线上,则的最小值为 .【答案】【详解】抛物线的准线方程为,过作准线的垂线,垂足为,则,所以.当且仅当与准线垂直时,取等号.所以的最小值为. 故答案为:.题型05根据抛物线方程求焦点和准线 【典例1】2.(2023春·四川·高二统考期末)抛物线的焦点坐标是( )A. B.C. D.【答案】B【详解】由得,故焦点为,故选:B【典例2】(2023春·上海浦东新·高二统考期末)抛物线的准线方程是 .【答案】【详解】因为抛物线的方程为,所以抛物线的准线方程是.故答案为:.【变式1】(2023·青海西宁·统考二模)已知函数(且)的图像过定点A,若抛物线也过点A,则抛物线的准线方程为 .【答案】x=-1【详解】因为函数 经过定点 ,所以函数 经过定点,将它代入抛物线方程得 ,解得,所以其准线方程为;故答案为: .题型06抛物线的焦半径公式 【典例1】(2023春·广东广州·高二统考期末)已知抛物线上的点到其焦点的距离为,则点的横坐标是( )A. B. C. D.【答案】C【详解】设点的横坐标为,抛物线的标准方程为,该抛物线的准线方程为,因为抛物线上的点到其焦点的距离为,则,解得.故选:C.【典例2】(多选)(2023秋·广西河池·高二统考期末)已知抛物线的焦点为,点在抛物线上,若为坐标原点,则( )A.点的坐标为 B.C. D.【答案】BD【详解】由题可知,因为点在抛物线上,且,所以,解得,所以,故选:BD.【变式1】(2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模)已知为抛物线上一点,点到的焦点的距离为,则的焦点坐标为( )A. B. C. D.【答案】C【详解】由题意可知,,所以又知抛物线的准线方程为,根据抛物线的定义可知,,整理得,解得,所以的焦点坐标为,故选:C.【变式2】(2023春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末)抛物线上的点到焦点的距离为,则点的纵坐标为 .【答案】1【详解】抛物线,,设点,依题意可知,,得,故答案为:题型07求抛物线方程 【典例1】(2023春·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期中)准线方程为的抛物线的标准方程是( )A. B.C. D.【答案】D【详解】根据题意,抛物线的准线方程为,即其焦点在轴负半轴上,且,得,故其标准方程为:.故选:D.【典例2】(2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习)经过点的抛物线的标准方程是( )A.或 B.或C.或 D.或【答案】C【详解】设抛物线的方程为或,将点代入,可得或,解得或,故抛物线的标准方程为或,故选:C【典例3】(2023·全国·高三专题练习)已知抛物线同时满足以下三个条件①的顶点在坐标原点;②的对称轴为坐标轴;③的焦点在圆上.则的方程为 .(写出一个满足题意的即可),【答案】(答案不唯一,只需填写或或或中的任意一个)【详解】由已知得:抛物线的焦点在坐标轴上;若抛物线的焦点在轴上,将代入可得:,抛物线的焦点为,;当抛物线的焦点为时,抛物线的方程为;当抛物线的焦点为时,抛物线的方程为;若抛物线的焦点在轴上,将代入可得:或,抛物线的焦点为,;当。
