2022年浙教版九级上册数学基础知识归纳.docx

浙教版九年级上册数学基础学问归纳第一章 反比例函数-可编辑修改 -一、基础学问1. 定义：一般地,形如 yk （ k 为常数, kxo ）的函数称为反比例函数； yk 仍可以写成 y xkx 12. 反比例函数解析式的特点：⑴等号左边是函数 y ,等号右边是一个分式； 分子是不为零的常数 k（也叫做比例系数 k ）,分母中含有自变量 x ,且指数为 1.⑵比例系数 k 0⑶自变量 x 的取值为一切非零实数；⑷函数 y 的取值是一切非零实数；3. 反比例函数的图像⑴图像的画法：描点法① 列表（应以 O 为中心,沿 O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）② 描点（有小到大的次序）③ 连线（从左到右光滑的曲线）⑵反比例函数的图像是双曲线, yk （ k 为常数, kx0 ）中自变量x 0 ,函数值 y 0 ,所以双曲线是不经过原点,断开的两个分支,延长部分逐步靠近坐标轴,但是永久不与坐标轴相交；⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是y x 或 yx ）；⑷反比例函数 yk （ kx0 ）中比例系数 k 的几何意义是：过双曲线ky （ kx0 ）上任意引 x 轴 y 轴的垂线,所得矩形面积为 k ；4. 反比例函数性质如下表：k 的取值 图像 所在 象 函数的增减性限k o一、三象限 在每个象限内, y 值随 x 的增大而减小k o二、四象限 在每个象限内, y 值随 x 的增大而增大5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出 k ）6. “反比例关系”与“反比例函：数成”反比例的关系式不肯定是反比例函数,但是反比例函数 y7. 反比例函数的应用k 中的两个变量必成反比例关系；x8、比较正比例函数和反比例函数的性质正比例函数反比例函数解析式ykx 〔 k0〕ykx〔 k0〕图像直线双曲线k＞0,一、三象限；k＞ 0,一、三象限位置k＜0,二、四象限k＜ 0,二、四象限k＞0,y 随 x 的增大而k＞0,在每个象限 y增大随 x 的增大而减小增减性k＜0,y 随 x 的增大而k＜0,在每个象限 y减小随 x 的增大而增大其次章、二次函数1.定义：一般地,假如x 的二次函数 .y ax2bx c〔a,b,c 是常数, a 0〕 ,那么 y 叫做2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点① a的符号打算抛物线的开口方向：当a.0 时,开口向上；当a0时,开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、外形相同 . 开口越小,肯定值越大；②平行于 y 轴（或重合） 的直线记作 x h .特殊地, y 轴记作直线 x 0 .几种特殊的二次函数的图像特点如下：函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标y ax 2y ax2 k当a 0 时x 0 （ y 轴） （ 0,0）x 0 （ y 轴） 〔0, k 〕2y a x h开口向上 x h〔 h ,0〕2y a x h k当a 0 时 x h〔 h , k 〕y ax 2bx c开口向下 x bb 4ac b22 a 〔, 〕2a 4a3.求抛物线的顶点、对称轴的方法2（ 1 ） 公 式 法 ： y axbx c2a x b 2a4ac b24a, ∴ 顶 点 是b 4ac b 2（ ,22a 4a）,对称轴是直线 x b .2 a（2） ）配方法：运用配方的方法, 将抛物线的解析式化为ya x h k的形式,得到顶点为 〔 h , k 〕,对称轴是直线 x h .（3） ）运用抛物线的对称性： 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,对称轴与抛物线的交点是顶点；如已知抛物线上两点〔x1, y〕、〔 x2, y〕 （及 y 值相同）,就对称轴方程可以表示为： xx1 x2 24. 抛物线 yax 2bx c 中, a,b, c 的作用（1） ） a 打算开口方向及开口大小,这与 y ax 2 中的a 完全一样 .（2） ） b 和a 共同打算抛物线对称轴的位置 .由于抛物线 y的对称轴是直线ax 2bx cx b ,故：① b 2ab0 时,对称轴为 y 轴；②a0（即 a、b 同号）时,对称轴在 y 轴左侧； ③ ba0（即 a 、b 异号） 时,对称轴在 y轴右侧. b 符号“左同有异 ”：图像在 Y 轴的左边, 与a 的符号相同；（3） ） c 的大小打算抛物线yax 2bx c 与 y 轴交点的位置 .当x 0 时, yc ,∴抛物线 yax 2bx c 与 y 轴有且只有一个交点（ 0, c ）：① c 0 ,抛物线经过原点 ; ② c 0 ,与 y 轴交于正半轴； ③ c 0 ,与 y 轴交于负半轴 .以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立 .如抛物线的对称轴在 y 轴右侧,就 b 0a5、用待定系数法求二次函数的解析式2（1） ）一般式： yax 2bx c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值,通常挑选一般式 .（2） ）顶点式： y顶点式.a x hk .已知图像的顶点或对称轴,通常挑选（3） ）交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x1 、x2 ,通常选用交点式：y a xx1 xx2 .6、直线与抛物线的交点（ 1） y 轴与抛物线 yax 2bx c 得交点为 〔0, c 〕.（2） ）抛物线与 x 轴的交点二次函数 yax 2bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标x1、x2 ,是对应一元二次方程ax 2bx c0 的两个实数根 .抛物线与 x 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点 〔 0 〕 抛物线与 x 轴相交；②有一个交点（顶点在 x 轴上） 〔 0 〕 抛物线与 x 轴相切；③没有交点 〔 0 〕 抛物线与 x 轴相离.（3） ）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点同（ 2）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点.当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,就横坐标是ax 2bx ck 的两个实数根 .（4） ）一次函数ykx n k0 的图像 l 与二次函数 yax2bx c a 0的图像 G 的交点,由方程组y kxn2 的解的数目来确y ax bx c定： ① 方程组有两组不同的解时 l 与G 有两个交点 ;② 方程组只有一组解时 l 与G 只有一个交点；③ 方程组无解时 l 与G 没有交点 .（5） ）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：如抛物线y ax2bx c 与x 轴两交点为A x1,0 , Bx2,0, 由于x1、x2 是方程ax 2bx c0 的两个根,故 x1 x2b,x x c12a a222 2AB x1 x2x1 x2x1 x24x1 x2b 4ca ab 4aca a7 、 二 次 函 数 的 一 般 式 yax2bx c 〔 a0 〕 化 成 顶 点 式y a〔 xb 〕 22a4ac b 24 a,假如自变量的取值范畴是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值（或最小值） ．b4ac b2即当a0 时,函数有最小值,并且当 x, y最小值 ；2a 4ab 4ac b2当a 0 时,函数有最大值,并且当 x, y最大值 ．2a 4a假如自变量的取值范畴是 x1 x x2 ,假如顶点在自变量的取值范b 4ac b2围x1x x2 内,就当 x,y最值 ,假如顶点不在此范畴内,2a 4a就需考虑函数在自变量的取值范畴内的增减性；假如在此范畴内 y 随21x 的增大而增大,就当 x x2 时,y最大ax 2bx2c ,当 xx1 时,y最小ax2bx1 c ；如 果 在 此 范 围 内 y 随 x 的 增 大 而 减 小 , 就 当 x x1 时 ,y最大ax 2bx1c ,当 xx2 时,y最小ax2bx2 c ．128、关于几个等价的命题：（ 1）二次函数的值恒大于零 抛物线在 x 轴上方 a>0 ,b 2 4ac <02）二次函数的值恒小于零 抛物线在 x 轴下方 a<0 ,b 2 4ac <09、二次函数的性质二次函数的性质函数 y ax 2二次函数bx c〔a, b, c是常数, a 0〕a>0 a<0yy图像（ 1）抛物线开口向上,并向上无限 （1）抛物线开口向下, 并向下无限延长；（ 2）对称轴是 x=b ,顶点坐标是2a延长；（2）对称轴是 x=b ,顶点坐标2a（ b ,2 a24ac b ）；4a是（ b ,2 a24ac b ）；4a（ 3）在对称轴的左侧,即当 x< b性 2a（3）在对称轴的左侧, 即当 x< b2a时, y 随 x 的增大而减小；在对 时, y 随 x 的增大而增大；在质称轴的右侧,即当 x>b 时, y2 a对称轴的右侧,即当 x>b 时,2 a随 x 的增大而增大, 简记左减右 y 随 x 的增大而减小,简记左增；（ 4）抛物线有最低点, 当 x=4acb 时,2ab 2。