[工学]考研数学二2000-2006年真题完美打印版.doc

2000 年全国硕士研究生入学统一考试一、 填空题1．2．3.4.5.二、选择题6. 7. 8.9.10. 三、解答题11. 12. 13.14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 2001 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分)1、 =（ 　　　　　） ．213limxx2、曲线 在点（0，1）处 的切线方程为 ：（　　　　　　） ．)cos(2eyey3、 =（　　　　　） ．xdx23in(24、微分方程 满足 =0 的特解为：（　　　　　　　） ．1arcsin2xyy)(21y5、方程组 有无穷多解，则 =（　　　　　） ．21321xaa二、单项选择题(本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分．)1、 则 =0)xf )]}([{f（ A ） 0；（B）1；（C） ； （D） ．10x10x2、 时， 是比 高阶的无穷小，而 是比x)ln()cos(2xnsi nsi高阶的无穷小，则正整数 等于1e（ A ）1；（B）2；（C） 3；（D）4．3、曲线 的拐点的个数为2)(xy（ A ）０；（B）１；（C）２；（D）３．4、函数 在区间（1-δ， 1+δ）内二阶可导， 严格单调减小，且)(f )(xf= =1，则1（A）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有 ；)(xf（B）在（1-δ，1）和（1，1+δ）内均有 ；（C）在（1-δ，1）内有 ，在（1，1+δ）内有 ； )(xf)(xf（D）在（1-δ，1）内有 ，在（1，1+δ）内有 ．5、设函数 在定义域内可导， 的图形如右图所示：)(xf )(xfy则 的图形为 ( ) y三、 （本题满分 6 分）求 ．221)(xd四、 （本题满分 7 分）求函数 = 的表达式，并指出函数 的间断fsinlim()xttx)(xf点及其类型．五、 （本题满分 7 分）设 是抛物线 上任意一点 M（ ） （ ）处的)(yy,1曲率半径， 是该抛物线上介于点 A（1，1）与 M 之间的弧长，计算)(xs的值（曲率 K＝ ） ．223d23)(y六、 （本题满分 7 分） 在[0，+ ）可导， =0，且其反函数为 ．)(xf)0(f )(xg若 ，求 ．xf etg2)(0)(xf七、 （本题满分 7 分）设函数 ， 满足 = ， =2 －g)(fxg)(xe)(f且 =0， =2，求 )(f()gdx02])1([八、 （本题满分 9 分）设 L 为一平面曲线，其上任意点 P（ ） （ ）到原点的距离，yx,0恒等于该点处 的切线在 轴上的截距，且 L 过点（0.5，0） ．y1、 求 L 的方程2、 求 L 的位于第一象限部分的一条切线，使该切线与 L 以及两坐标轴所围成的图形的面积最小．九、 （本题满分 7 分）一个半球型的雪堆，其体积的融化的速率与半球面积 S 成正比比例系数 K>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球形状，已知半径为 r0 的雪堆　在开始融化的 3 小时内，融化了其体积的 7/8，问雪堆全部融化需要多少时间？十、 （本题满分 8 分） 在[-a，a]上具有二阶连续导数，且 =0)(xf )0(f1、 写出 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；)(xf2、 证明在[-a，a]上至少存在一点 ，使adxffa)(3)(3十一、 （本题满分 6 分）已知 且满足01,10BAAXA+BXB=AXB+BXA+E，求 X．十二、 （本题满分 6 分）设 为线性方程组 AX=O 的一个基础解系，4321,,，其中 为实常数144321 ,tttt  t试问 满足什么条件时 也为 AX=O 的一个基础解系．421,,2002 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分)1．设函数 在 处连续，则 （ ） ．0)(2arcsin1txexfxa2．位于曲线 （ ）下方， 轴上方的无界图形的面积为（　　　　　xyx） ．3． 满足初始条件 的特解是（ 　　　　　 　 0221)0(,)(y） ．4． =（ 　　　　　　　　　 12lim[cos1cscos]n nnnL） ．5．矩阵 的非零特征值是（ 　　　　　 ） ．20二、单项选择题(本题共 5 小题 ,每小题 3 分,满分 15 分．)１．函数 可导， 当自变量 在 处取得增量 时，相应的)(uf)(2xfyx11.0x函数增量 的线性主部为０．１，则 ＝)(f（Ａ）－１；　（Ｂ）０．１；（Ｃ）１；　　（Ｄ）０．５．２．函数 连续，则下列函数中，必为偶函数的是)(xf(A) ； 　 　　　　 (B) ；dt02 xdtf02)((C) ； 　 (D) ．xtf)]([ tf)][３．设 是二阶常系数微分方程 满足初始条件)fy xeqyp3的0()特解，则极限 )(1lnim20xyx(A)不存在； 　（Ｂ）等于１； (C)等于２； 　 (D) 等于３．４．设函数 在 上有界且可导，则)(fR(A)当 时，必有 ； 0lixx 0)(lixfx（Ｂ）当 存在时，必有 ；)(mfm(C) 当 时，必有 ； li0x )(li0fx(D) 当 存在时，必有 ．)(f5．设向量组 线性无关，向量 可由 线性表示，而向量 不能由321,132,2线性表示，则对于任意常数 必有321,k（Ａ） 线性无关；(B) 线性相关；21,k 21321,,k（Ｃ） 线性无关；321,(D) 线性相关．21k三、 （本题满分 6 分）已知曲线的极坐标方程为 ，求该曲线对应于 处的cos1r 6切线与法线的直角坐标方程．四、 （本题满分７分）设函数 ，102)(2)1(3xxxfyxe求函数 的表达式．xdtfF1)()(五、 （本题满分７分）已知函数 在 上可导， ， ，且满足)(xfR0)(xf 1)(limxfx，求 ．xhefxh1)(lim0f六、 （本题满分７分）求微分方程 的一个解 ，使得由曲线0)2(dxy)(xy与直线 以及 轴所围成的平面图形绕 轴旋转一周的旋转体的体积最)(xy2,1x小．七、 （本题满分 7 分）某闸门的形状与大小如图所示，其中直线 l为对称轴，闸门的上部为矩形ＡＢＣＤ，下部由二次曲线与线段ＡＢ所围成．当水面与闸门的上断相平时，欲使闸门矩形部分与承受的水压与闸门下部承受的水压之比为５：４，闸门矩形部分的高 应为多少？h八、 （本题满分８分）设 ， （ ＝１，２，３，…） ．30nx)3(1nnx证明：数列｛ ｝的极限存在，并求此极限．九、 （本题满分８分）设 ，证明不等式 ．0ab abba1ln2十、 （本题满分 8 分）设函数 在 ＝０的某邻域具有二阶连续导数，且　　)(xf．证明：存在惟一的一组实数 ，使得当 时， 0)()0(ff c,0h．)(322hofhcfbha十一、 （本题满分６分）已知Ａ，Ｂ为三阶方阵，且满足 ．EBA41⑴证明：矩阵 可逆；EA⑵若 ，求矩阵Ａ．201B十二、 （本题满分６分）已知四阶方阵 ， 均为四维列向),,(4321A4321,,量，其中 线性无关， ．若 ，求线性方程组432,21的通解．Ax2003 年考研数学（二）真题一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上）（1） 若 时， 与 是等价无穷小，则 a= .0x1)(2axxsin（2） 设函数 y=f(x)由方程 所确定，则曲线 y=f(x)在点(1,1) 处的切线4ly方程是 .（3） 的麦克劳林公式中 项的系数是__________.xynx（4） 设曲线的极坐标方程为 ，则该曲线上相应于 从 0 变到 的)0(ae2一段弧与极轴所围成的图形的面积为__________.（5） 设 为 3 维列向量， 是 的转置. 若 ，则T1T= .T（6） 设三阶方阵 A,B 满足 ，其中 E 为三阶单位矩阵，若BA2，则 ________.102AB二、选择题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设 均为非负数列，且 , , ,则必}{,nncba 0limna1linbnclim有(A) 对任意 n 成立. (B) 对任意 n 成立.nnc(C) 极限 不存在. (D) 极限 不存在. [ ]calimbli（2）设 , 则极限 等于dxxnn1230 nalim(A) . (B) .)1(e 1)(23e(C) . (D) . [ ]23（3）已知 是微分方程 的解，则 的表达式为xyln)(yx )(yx（A） (B) .2.2x(C) (D) [ ].2yx.2y（4）设函数 f(x)在 内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有),((A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D) 三个极小值点和一个极大值点. [ ]yO x（5）设 , , 则401tandxI dI402tan(A) (B) .21.12I(C) (D) [ ]I 1（6）设向量组 I： 可由向量组 II： 线性表示，则r,,21Ls,,21L (A) 当 时，向量组 II 必线性相关. (B) 当 时，向量组 II 必线性相关.srsr(C) 当 时，向量组 I 必线性相关. (D) 当 时，向量组 I 必线性相关.[ ]三 、 （本题满分 10 分）设函数 ,0,4sin1,6arci)ln()(23xxef问 a 为何值时，f(x)在 x=0 处连续； a 为何值时，x=0 是 f(x)的可去间断点？四 、 （本题满分 9 分）设函数 y=y(x)由参数方程 所确定，求)1(,21lntdueyxt .92xdy五 、 （本题满分 9 分）计算不定积分 .)1(23arctndxe六 、 （本题满分 12 分）设函数 y=y(x)在 内具有二阶导数，且 是 y=y。