第六章代数结构概念及性质.ppt
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第六章第六章 代数结构概念及性质代数结构概念及性质6.1 代数结构的定义与例代数结构的定义与例6.2 代数结构的基本性质代数结构的基本性质6.3 同态与同构同态与同构6.4 同余关系同余关系6.5 商代数商代数6.6 积代数积代数退出退出 6.1 代数结构的定义与例代数结构的定义与例在在在在正正正正式式式式给给给给出出出出代代代代数数数数结结结结构构构构的的的的定定定定义义义义之之之之前前前前，，，，先先先先来来来来说说说说明明明明什什什什么么么么是是是是在在在在一一一一个个个个集集集集合合合合上上上上的的的的运运运运算算算算，，，，因因因因为为为为运运运运算算算算这这这这个个个个概念是代数结构中不可缺少的基本概念概念是代数结构中不可缺少的基本概念概念是代数结构中不可缺少的基本概念概念是代数结构中不可缺少的基本概念定定定定义义义义6.1.16.1.1 设设设设S S是是是是个个个个非非非非空空空空集集集集合合合合且且且且函函函函数数数数 或或或或f f: :S Sn n →→S S，，，，则则则则称称称称f f为为为为一一一一个个个个n n元元元元运运运运算算算算。
其其其其中中中中n n是是是是自自自自然然然然数数数数，，，，称称称称为为为为运运运运算算算算的的的的元元元元数数数数或或或或阶阶阶阶当当当当n n=1=1时时时时，，，，称称称称f f为为为为一一一一元元元元运运运运算算算算，，，，当当当当n n=2=2时时时时，，，，称称称称f f为为为为二二二二元元元元运运运运算算算算，，，，等等等等等 注意，注意，注意，注意，n n元运算是个闭运算，因为经运算后元运算是个闭运算，因为经运算后元运算是个闭运算，因为经运算后元运算是个闭运算，因为经运算后产生的象仍在同一个集合中封闭性表明了产生的象仍在同一个集合中封闭性表明了产生的象仍在同一个集合中封闭性表明了产生的象仍在同一个集合中封闭性表明了n n元元元元运算与一般函数的区别之处此外，有些运算运算与一般函数的区别之处此外，有些运算运算与一般函数的区别之处此外，有些运算运算与一般函数的区别之处此外，有些运算存在幺元或零元，它在运算中起着特殊的作用，存在幺元或零元，它在运算中起着特殊的作用，存在幺元或零元，它在运算中起着特殊的作用，存在幺元或零元，它在运算中起着特殊的作用，称它为称它为称它为称它为S S中的特异元或常数。
中的特异元或常数中的特异元或常数中的特异元或常数 运算的例子很多，例如，在数理逻辑中，运算的例子很多，例如，在数理逻辑中，运算的例子很多，例如，在数理逻辑中，运算的例子很多，例如，在数理逻辑中，否定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是否定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是否定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是否定是谓词集合上的一元运算，合取和析取是谓词集合上的二元运算；在集合论中，并与交谓词集合上的二元运算；在集合论中，并与交谓词集合上的二元运算；在集合论中，并与交谓词集合上的二元运算；在集合论中，并与交是集合上的二元运算；在整数算术中，加、减、是集合上的二元运算；在整数算术中，加、减、是集合上的二元运算；在整数算术中，加、减、是集合上的二元运算；在整数算术中，加、减、乘运算是二元运算，而除运算便不是二元运算，乘运算是二元运算，而除运算便不是二元运算，乘运算是二元运算，而除运算便不是二元运算，乘运算是二元运算，而除运算便不是二元运算，因为它不满足封闭性因为它不满足封闭性因为它不满足封闭性因为它不满足封闭性 在下面讲座的代数结构中，主要限于一元在下面讲座的代数结构中，主要限于一元在下面讲座的代数结构中，主要限于一元在下面讲座的代数结构中，主要限于一元和二元运算，将用和二元运算，将用和二元运算，将用和二元运算，将用’ ’、、、、 或或或或ˉ ˉ等符号表示一元运算等符号表示一元运算等符号表示一元运算等符号表示一元运算符；用符；用符；用符；用 、、、、 、、、、⊙ ⊙ ⊙ ⊙、、、、○ ○、、、、 、、、、 、、、、∩ ∩、、、、∪∪∪∪等表示二元等表示二元等表示二元等表示二元运算符，一元运算符常常习惯于前置、顶置或运算符，一元运算符常常习惯于前置、顶置或运算符，一元运算符常常习惯于前置、顶置或运算符，一元运算符常常习惯于前置、顶置或肩置，如肩置，如肩置，如肩置，如 x x、、、、、、、、x x’ ’；；；；而二元运算符习惯于前置、而二元运算符习惯于前置、而二元运算符习惯于前置、而二元运算符习惯于前置、中置或后置，如：中置或后置，如：中置或后置，如：中置或后置，如：+ +xyxy，，，，x x+ +y y，，，，xyxy+ +。
有了集合上运算的概念后，便可定义代数有了集合上运算的概念后，便可定义代数有了集合上运算的概念后，便可定义代数有了集合上运算的概念后，便可定义代数结构了 定义定义定义定义6.1.26.1.2 设设设设S S是个非空集合且是个非空集合且是个非空集合且是个非空集合且f fi i是是是是S S上的上的上的上的n ni i元运算，其中元运算，其中元运算，其中元运算，其中i i=1=1，，，，2 2，，，，……，，，，mm由由由由S S及及及及f f1 1，，，，f f2 2，，，，……，，，，f fmm组成的结构，称为代数结构，记作组成的结构，称为代数结构，记作组成的结构，称为代数结构，记作组成的结构，称为代数结构，记作< >此外，集合此外，集合此外，集合此外，集合S S的基数即的基数即的基数即的基数即| |S S| |定义代数结构的基定义代数结构的基定义代数结构的基定义代数结构的基数如果S S是有限集合，则说代数结构是有限代是有限集合，则说代数结构是有限代是有限集合，则说代数结构是有限代是有限集合，则说代数结构是有限代数结构；否则便说是无穷代数结构。
数结构；否则便说是无穷代数结构数结构；否则便说是无穷代数结构数结构；否则便说是无穷代数结构有时，要考察两个或多个代数结构，这里有时，要考察两个或多个代数结构，这里有时，要考察两个或多个代数结构，这里有时，要考察两个或多个代数结构，这里就有个是否同类型之说，请看下面定义：就有个是否同类型之说，请看下面定义：就有个是否同类型之说，请看下面定义：就有个是否同类型之说，请看下面定义： 定义定义定义定义6.1.36.1.3 设两个代数结构设两个代数结构设两个代数结构设两个代数结构< >和和和和<
要是对其运算进行考察要是对其运算进行考察要是对其运算进行考察此外，有时还需要在代数结构中集合的某此外，有时还需要在代数结构中集合的某此外，有时还需要在代数结构中集合的某此外，有时还需要在代数结构中集合的某个子集上讨论其性质，这就引出子代数结构的个子集上讨论其性质，这就引出子代数结构的个子集上讨论其性质，这就引出子代数结构的个子集上讨论其性质，这就引出子代数结构的概念 定义定义定义定义6.1.46.1.4 设设设设< >是一代数是一代数是一代数是一代数结构且非空集结构且非空集结构且非空集结构且非空集T T S S在运算在运算在运算在运算f f1 1，，，，f f2 2，，，，……，，，，f fmm作用下作用下作用下作用下是封闭的，且是封闭的，且是封闭的，且是封闭的，且T T含有与含有与含有与含有与S S中相同的特异元，则称中相同的特异元，则称中相同的特异元，则称中相同的特异元，则称< >的子代数。
记为的子代数记为的子代数记为的子代数记为< …>在结束本节时，声明记号在结束本节时，声明记号在结束本节时，声明记号在结束本节时，声明记号< >即为一代数结构，除特别即为一代数结构，除特别即为一代数结构，除特别即为一代数结构，除特别指明外，运算符指明外，运算符指明外，运算符指明外，运算符f f1 1, ,f f2 2,···,,···,f fmm均为二元运算均为二元运算均为二元运算均为二元运算根据需要对根据需要对根据需要对根据需要对S S及及及及f f1 1, ,f f2 2,···,,···,f fmm可置不同的集合可置不同的集合可置不同的集合可置不同的集合符和运算符符和运算符符和运算符符和运算符 6.2 代数结构的基本性质代数结构的基本性质所所所所谓谓谓谓代代代代数数数数结结结结构构构构的的的的性性性性质质质质即即即即是是是是结结结结构构构构中中中中任任任任何何何何运运运运算算算算所具有的性质所具有的性质。
所具有的性质所具有的性质1.结合律结合律给给给给定定定定< >，，，，则则则则运运运运算算算算“ “⊙ ⊙ ⊙ ⊙” ”满满满满足足足足结结结结合合合合律律律律或或或或“ “⊙ ⊙ ⊙ ⊙” ”是是是是可可可可结结结结合合合合的的的的，，，，即即即即( ( x x)( )( y y)( )( z z)( )(x x，，，，y y，，，，z z∈∈∈∈S S→(→(x x⊙ ⊙ ⊙ ⊙y y) )⊙ ⊙ ⊙ ⊙z z= =x x⊙ ⊙ ⊙ ⊙( (y y⊙ ⊙ ⊙ ⊙z z)) )) 2.交换律交换律给给给给定定定定< >，，，，则则则则运运运运算算算算“ “⊙ ⊙ ⊙ ⊙” ”满满满满足足足足交交交交换换换换律律律律或或或或“ “⊙ ⊙ ⊙ ⊙” ”是是是是 可可可可 交交交交 换换换换 的的的的 ，，，， 即即即即 ( ( x x)( )( y y)( )(x x，，，，y y∈∈∈∈S S→→x x⊙ ⊙ ⊙ ⊙y y= =y y⊙ ⊙ ⊙ ⊙x x) )。
可可可可见见见见，，，，如如如如果果果果一一一一代代代代数数数数结结结结构构构构中中中中的的的的运运运运算算算算⊙ ⊙ ⊙ ⊙是是是是可可可可结结结结合合合合和和和和可可可可交交交交换换换换的的的的，，，，那那那那么么么么，，，，在在在在计计计计算算算算a a1 1⊙ ⊙ ⊙ ⊙a a2 2⊙ ⊙ ⊙ ⊙······⊙ ⊙ ⊙ ⊙a a0 0= =a amm称称称称a amm为为为为a a的的的的mm次次次次幂幂幂幂，，，，mm称称称称a a的的的的指指指指数数数数下下下下面面面面给给给给出出出出a amm的的的的归归归归纳定义：纳定义：纳定义：纳定义： 设有设有设有设有< >且且且且a a S S，，，，对于对于对于对于mm I I+ +，，，，其中其中其中其中I I+ +表表表表示正整数集合，可有：示正整数集合，可有：示正整数集合，可有：示正整数集合，可有：(1) (1) a a1 1= =a a(2)(2)a amm+1+1= =a amm⊙ ⊙ ⊙ ⊙a a由此利用归纳法不难证明指数定律：由此利用归纳法不难证明指数定律：由此利用归纳法不难证明指数定律：由此利用归纳法不难证明指数定律：(1)(1)a amm⊙ ⊙ ⊙ ⊙a an n= =a amm+ +n n(2)((2)(a amm) )n n= =a amnmn这里，这里，这里，这里，mm, ,n n I I+ +。
类似地定义某代数结构中的负幂和给出负类似地定义某代数结构中的负幂和给出负类似地定义某代数结构中的负幂和给出负类似地定义某代数结构中的负幂和给出负指数定律指数定律指数定律指数定律 3.分配律分配律一一一一个个个个代代代代数数数数结结结结构构构构若若若若具具具具有有有有两两两两个个个个运运运运算算算算时时时时，，，，则则则则分分分分配配配配律可建立这两个运算之间的某种联系律可建立这两个运算之间的某种联系律可建立这两个运算之间的某种联系律可建立这两个运算之间的某种联系给给给给定定定定< ○>，，，，则则则则运运运运算算算算⊙ ⊙ ⊙ ⊙对对对对于于于于○ ○满满满满足足足足左左左左分分分分配配配配律律律律，，，，或或或或者者者者⊙ ⊙ ⊙ ⊙对对对对于于于于○ ○是是是是可可可可左左左左分分分分配配配配的的的的，，，，即即即即( ( x x)( )( y y)( )( z z) )( (x x，，，，y y，，，，z z∈∈∈∈S S→→x x⊙ ⊙ ⊙ ⊙( (y y○ ○z z))=())=(y y⊙ ⊙ ⊙ ⊙x x)○()○(x x⊙ ⊙ ⊙ ⊙z z)) ))。
运算运算运算运算⊙ ⊙ ⊙ ⊙对于对于对于对于○ ○满足右分配律或满足右分配律或满足右分配律或满足右分配律或⊙ ⊙ ⊙ ⊙对于对于对于对于○ ○是可右是可右是可右是可右分配的，即分配的，即分配的，即分配的，即( ( x x)( )( y y)( )( z z)( )(x x，，，，y y，，，，z z∈∈∈∈S S→(→(y y○ ○z z) )⊙ ⊙ ⊙ ⊙x x=(=(y y⊙ ⊙ ⊙ ⊙x x)○()○(z z⊙ ⊙ ⊙ ⊙x x)) ))类似地可定义类似地可定义类似地可定义类似地可定义○ ○对于对于对于对于⊙ ⊙ ⊙ ⊙是满足左或右分配律是满足左或右分配律是满足左或右分配律是满足左或右分配律若若若若⊙ ⊙ ⊙ ⊙对于对于对于对于○ ○既满足左分配律又满足右分配律，既满足左分配律又满足右分配律，既满足左分配律又满足右分配律，既满足左分配律又满足右分配律，则称则称则称则称⊙ ⊙ ⊙ ⊙对于对于对于对于○ ○满足分配律或是可分配的同样可满足分配律或是可分配的同样可满足分配律或是可分配的同样可满足分配律或是可分配的同样可定义定义定义定义○ ○对于对于对于对于⊙ ⊙ ⊙ ⊙满足分配律。
满足分配律满足分配律满足分配律 由定义不难证明下面定理：由定义不难证明下面定理：由定义不难证明下面定理：由定义不难证明下面定理：定理定理定理定理6.2.16.2.1 给定给定给定给定< ○>且且且且⊙ ⊙ ⊙ ⊙是可交换的是可交换的是可交换的是可交换的如果如果如果如果⊙ ⊙ ⊙ ⊙对于对于对于对于○ ○满足左或右分配律，则满足左或右分配律，则满足左或右分配律，则满足左或右分配律，则⊙ ⊙ ⊙ ⊙对于对于对于对于○ ○满足满足满足满足分配律 例例例例6.2.3 6.2.3 给定给定给定给定< ,○>，，，，其中其中其中其中B B={0,1}={0,1}表表表表6.2.16.2.1分别定义了运算分别定义了运算分别定义了运算分别定义了运算⊙ ⊙ ⊙ ⊙和和和和○ ○，问运算，问运算，问运算，问运算⊙ ⊙ ⊙ ⊙对于对于对于对于○ ○是可是可是可是可分配的吗？分配的吗？分配的吗？分配的吗？○ ○对于对于对于对于⊙ ⊙ ⊙ ⊙呢？呢？呢？呢？ 形形形形如如如如表表表表6.2.16.2.1的的的的表表表表常常常常常常常常被被被被称称称称为为为为运运运运算算算算表表表表或或或或复复复复合合合合表表表表，，，，它它它它由由由由运运运运算算算算符符符符、、、、行行行行表表表表头头头头元元元元素素素素、、、、列列列列表表表表头头头头元元元元素素素素及及及及复复复复合合合合元元元元素素素素四四四四部部部部分分分分组组组组成成成成。
当当当当集集集集合合合合S S的的的的基基基基数数数数很很很很小小小小，，，，特特特特别别别别限限限限于于于于几几几几个个个个时时时时，，，，代代代代数数数数结结结结构构构构中中中中运运运运算算算算常常常常常常常常用用用用这这这这种种种种表表表表给出其优点简明直观，一目了然其优点简明直观，一目了然其优点简明直观，一目了然其优点简明直观，一目了然解解解解 可可可可以以以以验验验验证证证证⊙ ⊙ ⊙ ⊙对对对对于于于于○ ○是是是是可可可可分分分分配配配配的的的的，，，，但但但但○ ○对对对对于于于于⊙ ⊙ ⊙ ⊙并非如此因为并非如此因为并非如此因为并非如此因为1○(01○(0⊙ ⊙ ⊙ ⊙1)1) (1○0)(1○0)⊙ ⊙ ⊙ ⊙(1○1)(1○1) 4.吸收律吸收律给定给定给定给定< ○>，，，，则则则则⊙ ⊙ ⊙ ⊙对于对于对于对于○ ○满足左吸收律满足左吸收律满足左吸收律满足左吸收律:=(:=( x x)( )( y y)( )(x x，，，，y y∈∈∈∈S S→→x x⊙ ⊙ ⊙ ⊙( (x x○ ○y y)=)=x x) )⊙ ⊙ ⊙ ⊙对于对于对于对于○ ○满足右吸收律满足右吸收律满足右吸收律满足右吸收律:=(:=( x x)( )( y y)( )(x x，，，，y y∈∈∈∈S S→(→(x x○ ○y y) )⊙ ⊙ ⊙ ⊙x x= =x x) ) 若若若若⊙ ⊙ ⊙ ⊙对于对于对于对于c c既满足左吸收律又满足右吸收律，既满足左吸收律又满足右吸收律，既满足左吸收律又满足右吸收律，既满足左吸收律又满足右吸收律，则称则称则称则称⊙ ⊙ ⊙ ⊙对于对于对于对于○ ○满足吸收律或可吸收的。
满足吸收律或可吸收的满足吸收律或可吸收的满足吸收律或可吸收的○ ○对于对于对于对于⊙ ⊙ ⊙ ⊙满足左、右吸收律和吸收律类似地满足左、右吸收律和吸收律类似地满足左、右吸收律和吸收律类似地满足左、右吸收律和吸收律类似地定义若若若若⊙ ⊙ ⊙ ⊙对于对于对于对于○ ○是可吸收的且是可吸收的且是可吸收的且是可吸收的且○ ○对于对于对于对于⊙ ⊙ ⊙ ⊙也是可吸收也是可吸收也是可吸收也是可吸收的，则的，则的，则的，则⊙ ⊙ ⊙ ⊙和和和和○ ○是互为吸收的或是互为吸收的或是互为吸收的或是互为吸收的或⊙ ⊙ ⊙ ⊙和和和和○ ○同时满足吸收同时满足吸收同时满足吸收同时满足吸收律 5.等幂律与等幂元等幂律与等幂元给定给定给定给定< >，，，，则则则则“ “⊙ ⊙ ⊙ ⊙” ”是是是是等等等等幂幂幂幂的的的的或或或或“ “⊙ ⊙ ⊙ ⊙” ”满满满满足足足足等等等等幂幂幂幂律律律律:=( :=( x x)( )(x x∈∈∈∈S S→→x x⊙ ⊙ ⊙ ⊙x x= =x x) )给定给定给定给定< >且且且且x x∈∈∈∈S S，，，，则则则则x x是关于是关于是关于是关于“ “⊙ ⊙ ⊙ ⊙” ”的等幂元的等幂元的等幂元的等幂元:=:=x x⊙ ⊙ ⊙ ⊙x x= =x x于是，不难证明下面定理：于是，不难证明下面定理：于是，不难证明下面定理：于是，不难证明下面定理：定定定定理理理理6.2.26.2.2 若若若若x x是是是是< >中中中中关关关关于于于于⊙ ⊙ ⊙ ⊙的的的的等等等等幂幂幂幂元元元元，，，，对于任意正整数对于任意正整数对于任意正整数对于任意正整数n n，，，，则则则则x xn n= =x x。
6. 幺元或单位元幺元或单位元给定给定给定给定< >且且且且e el l，，，，e er r，，，，e e∈∈∈∈S S，，，，则则则则e el l为关于为关于为关于为关于⊙ ⊙ ⊙ ⊙的左幺元的左幺元的左幺元的左幺元:=( :=( x x)( )(x x∈∈∈∈S S→→e el l⊙ ⊙ ⊙ ⊙x x= =x x) )e er r为关于为关于为关于为关于⊙ ⊙ ⊙ ⊙的右幺元的右幺元的右幺元的右幺元:=( :=( x x)( )(x x∈∈∈∈S S→→x x⊙ ⊙ ⊙ ⊙e er r= =x x) )若若若若e e既既既既为为为为⊙ ⊙ ⊙ ⊙的的的的左左左左幺幺幺幺元元元元又又又又为为为为⊙ ⊙ ⊙ ⊙的的的的右右右右幺幺幺幺元元元元，，，，称称称称e e为为为为关于关于关于关于⊙ ⊙ ⊙ ⊙的幺元亦可定义如下：的幺元亦可定义如下：的幺元亦可定义如下：的幺元亦可定义如下：e e为为为为关关关关于于于于⊙ ⊙ ⊙ ⊙的的的的幺幺幺幺元元元元:=( :=( x x)( )(x x∈∈∈∈S S→→e e⊙ ⊙ ⊙ ⊙x x= =x x⊙ ⊙ ⊙ ⊙e e= =x x) )。
定定理理6.2.3 给给定定○>及及及及θ θl l，，，，θ θr r，，，，θ θ∈∈∈∈S S，，，，则则则则θ θl l为关于为关于为关于为关于○ ○的左零元的左零元的左零元的左零元: :=( =( x x)( )(x x∈∈∈∈S S→→θ θl l○ ○x x= =θ θl l) )θ θr r为关于为关于为关于为关于○ ○的右零元的右零元的右零元的右零元: :=( =( x x)( )(x x∈∈∈∈S S→→x x○ ○θ θr r= =θ θr r) )θ θ为关于为关于为关于为关于○ ○的零元的零元的零元的零元: :=( =( x x)( )(x x∈∈∈∈S S→→θ θ○ ○x x= =x x○ ○θ θ= =θ θ) ) 定定定定理理理理6.2.46.2.4 给给给给定定定定< >且且且且θ θl l和和和和θ θr r分分分分别别别别为为为为关关关关于于于于⊙ ⊙ ⊙ ⊙的的的的左左左左零零零零元元元元和和和和右右右右零零零零元元元元，，，，则则则则θ θl l= =θ θr r= =θ θ且且且且零零零零元元元元θ θ是是是是唯唯唯唯一一一一的。
的定定定定理理理理6.2.56.2.5 给给给给定定定定< >且且且且| |S S| |＞＞＞＞1 1如如如如果果果果θ θ，，，，e e∈∈∈∈S S，，，，其其其其中中中中θ θ和和和和e e分分分分别别别别为为为为关关关关于于于于⊙ ⊙ ⊙ ⊙的的的的零零零零元元元元和和和和幺幺幺幺元元元元，，，，则则则则θ θ≠ ≠e e 8．逆元．逆元给定给定给定给定< >且幺元且幺元且幺元且幺元e e，，，，x x∈∈∈∈S S，，，，则则则则x x为关于为关于为关于为关于⊙ ⊙ ⊙ ⊙的左逆元的左逆元的左逆元的左逆元:=(:=( y y)( )(y y∈∈∈∈S S∧∧∧∧x x⊙ ⊙ ⊙ ⊙y y= =e e) )x x为关于为关于为关于为关于⊙ ⊙ ⊙ ⊙的右逆元的右逆元的右逆元的右逆元:=(:=( y y)( )(y y∈∈∈∈S S∧∧∧∧y y⊙ ⊙ ⊙ ⊙x x= =e e) )x x为为为为关关关关于于于于⊙ ⊙ ⊙ ⊙可可可可逆逆逆逆的的的的:=(:=( y y)( )(y y∈∈∈∈S S∧∧∧∧y y⊙ ⊙ ⊙ ⊙x x= =x x⊙ ⊙ ⊙ ⊙y y= =e e) ) 给定给定
通常互为逆元通常互为逆元通常互为逆元通常x x的逆元表为的逆元表为的逆元表为的逆元表为x x-1-1一般地说来，一个元素的左逆元不一定等一般地说来，一个元素的左逆元不一定等一般地说来，一个元素的左逆元不一定等一般地说来，一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆元而且，一个元素可以有左于该元素的右逆元而且，一个元素可以有左于该元素的右逆元而且，一个元素可以有左于该元素的右逆元而且，一个元素可以有左逆元而没有右逆元，反之亦然甚至一个元素逆元而没有右逆元，反之亦然甚至一个元素逆元而没有右逆元，反之亦然甚至一个元素逆元而没有右逆元，反之亦然甚至一个元素的左或右逆元还可以不是唯一的的左或右逆元还可以不是唯一的的左或右逆元还可以不是唯一的的左或右逆元还可以不是唯一的 定定定定理理理理6.2.66.2.6 给给给给定定定定< >及及及及幺幺幺幺元元元元e e∈∈∈∈S S如如如如果果果果⊙ ⊙ ⊙ ⊙是是是是可可可可结结结结合合合合的的的的并并并并且且且且一一一一个个个个元元元元素素素素x x的的的的左左左左逆逆逆逆元元元元x xl l-1-1和和和和右右右右逆逆逆逆元元元元x xr r-1-1存在，则存在，则存在，则存在，则x xl l-1-1= =x xr r-1-1。
定定定定理理理理6.2.76.2.7 给给给给定定定定< >及及及及幺幺幺幺元元元元e e∈∈∈∈S S如如如如果果果果⊙ ⊙ ⊙ ⊙是可结合的并且是可结合的并且是可结合的并且是可结合的并且x x的逆元的逆元的逆元的逆元x x-1-1存在，则存在，则存在，则存在，则x x-1-1是唯一的是唯一的是唯一的是唯一的 9.可约律与可约元可约律与可约元给定给定给定给定< >且零元且零元且零元且零元θ θ∈∈∈∈S S，，，，则则则则⊙ ⊙ ⊙ ⊙满满满满足足足足左左左左可可可可约约约约律律律律或或或或是是是是左左左左可可可可约约约约的的的的:=( :=( x x)( )( y y)( )( z z) )(( ((x x，，，，y y，，，，z z∈∈∈∈S S∧∧∧∧x x≠ ≠θ θ∧∧∧∧x x⊙ ⊙ ⊙ ⊙y y= =x x⊙ ⊙ ⊙ ⊙z z)→)→y y= =z z) )，，，，并并并并称称称称x x是是是是关于关于关于关于⊙ ⊙ ⊙ ⊙的左可约元的左可约元的左可约元的左可约元。
⊙ ⊙ ⊙ ⊙满满满满足足足足右右右右可可可可约约约约律律律律或或或或是是是是右右右右可可可可约约约约的的的的:=( :=( x x)( )( y y)( )( z z) )(( ((x x，，，，y y，，，，z z∈∈∈∈S S∧∧∧∧x x≠ ≠θ θ∧∧∧∧y y⊙ ⊙ ⊙ ⊙x x= =z z⊙ ⊙ ⊙ ⊙x x)→)→y y= =z z) )，，，，并并并并称称称称x x是是是是关于关于关于关于⊙ ⊙ ⊙ ⊙的右可约元的右可约元的右可约元的右可约元 若若若若⊙ ⊙ ⊙ ⊙既满足左可约律又满足右可约律或既满足左可约律又满足右可约律或既满足左可约律又满足右可约律或既满足左可约律又满足右可约律或⊙ ⊙ ⊙ ⊙既既既既是左可约又是右可约的，则称是左可约又是右可约的，则称是左可约又是右可约的，则称是左可约又是右可约的，则称⊙ ⊙ ⊙ ⊙满足可约律或满足可约律或满足可约律或满足可约律或⊙ ⊙ ⊙ ⊙是可约的是可约的是可约的是可约的若若若若x x既是关于既是关于既是关于既是关于⊙ ⊙ ⊙ ⊙的左可约元又是关于的左可约元又是关于的左可约元又是关于的左可约元又是关于⊙ ⊙ ⊙ ⊙的右可的右可的右可的右可约元，则称约元，则称约元，则称约元，则称x x是关于是关于是关于是关于⊙ ⊙ ⊙ ⊙的可约元。
可约律与可约的可约元可约律与可约的可约元可约律与可约的可约元可约律与可约元也可形式地定义如下：元也可形式地定义如下：元也可形式地定义如下：元也可形式地定义如下： ⊙ ⊙ ⊙ ⊙满足可约律满足可约律满足可约律满足可约律: :=( =( x x)( )( y y)( )( z z)( )(x x，，，，y y，，，，z z∈∈∈∈S S∧∧∧∧x x≠ ≠θ θ∧∧∧∧(( ((x x⊙ ⊙ ⊙ ⊙y y= =x x⊙ ⊙ ⊙ ⊙z z∧∧∧∧y y⊙ ⊙ ⊙ ⊙x x= =z z⊙ ⊙ ⊙ ⊙x x)→)→y y= =z z)) ))给定给定给定给定< >且零元且零元且零元且零元θ θ，，，，x x∈∈∈∈S Sx x是关于是关于是关于是关于⊙ ⊙ ⊙ ⊙的可约元的可约元的可约元的可约元: :=( =( y y)( )( z z)( )(y y，，，，z z∈∈∈∈S S∧∧∧∧x x≠ ≠θ θ∧∧∧∧(( ((x x⊙ ⊙ ⊙ ⊙y y) )= =x x⊙ ⊙ ⊙ ⊙z z∧∧∧∧y y⊙ ⊙ ⊙ ⊙x x= =z z⊙ ⊙ ⊙ ⊙x x)→)→y y= =z z)) ))。
定定定定理理理理6.2.86.2.8 给给给给定定定定< ○>且且且且○ ○是是是是可可可可结结结结合合合合的的的的，，，，如如如如果果果果x x是是是是关关关关于于于于○ ○可可可可逆逆逆逆的的的的且且且且x x≠ ≠θ θ，，，，则则则则x x也也也也是是是是关关关关于于于于○ ○的的的的可可可可约约约约元证证证证明明明明 设设设设任任任任意意意意y y, ,z z S S且且且且有有有有x x○ ○y y= =x x○ ○z z或或或或y y○ ○x x= =z z○ ○x x因为因为因为因为○ ○是可结合的及是可结合的及是可结合的及是可结合的及x x是关于是关于是关于是关于○ ○可逆的，则有可逆的，则有可逆的，则有可逆的，则有x x-1-1○(○(x x○ ○y y)=()=(x x-1-1○ ○x x)○)○y y= =e e○ ○y y= =y y= =x x-1-1○(○(x x○ ○z z)=()=(x x-1-1○ ○x x)○)○z z= =e e○ ○z z= =z z 故得故得故得故得x x○ ○y y= =x x○ ○z zy y= =z z，，，，同样可证得同样可证得同样可证得同样可证得y y○ ○x x= =z z○ ○x xy y= =z z，，，，故故故故x x是关于是关于是关于是关于○ ○的可约元。
的可约元的可约元的可约元最后，作一补充说明，用运算表定义一代最后，作一补充说明，用运算表定义一代最后，作一补充说明，用运算表定义一代最后，作一补充说明，用运算表定义一代数结构的运算，从表上很能反映出关于运算的数结构的运算，从表上很能反映出关于运算的数结构的运算，从表上很能反映出关于运算的数结构的运算，从表上很能反映出关于运算的各种性质为确定起见，假定各种性质为确定起见，假定各种性质为确定起见，假定各种性质为确定起见，假定< ○>及及及及x x，，，，y y，，，，θ θ，，，，e e∈∈∈∈S S (1)(1)运算运算运算运算○ ○具有封闭性，当且仅当表中的每具有封闭性，当且仅当表中的每具有封闭性，当且仅当表中的每具有封闭性，当且仅当表中的每个元素都属于个元素都属于个元素都属于个元素都属于S S2)(2)运算运算运算运算○ ○满足交换律，当且仅当表关于主满足交换律，当且仅当表关于主满足交换律，当且仅当表关于主满足交换律，当且仅当表关于主对角线是对称的对角线是对称的对角线是对称的对角线是对称的3)(3)运算运算运算运算○ ○是等幂的，当且仅当表的主对角是等幂的，当且仅当表的主对角是等幂的，当且仅当表的主对角是等幂的，当且仅当表的主对角线上的每个元素与所在行或列表头元素相同。
线上的每个元素与所在行或列表头元素相同线上的每个元素与所在行或列表头元素相同线上的每个元素与所在行或列表头元素相同 (4)(4)元素元素元素元素x x是关于是关于是关于是关于○ ○的左零元，当且仅当的左零元，当且仅当的左零元，当且仅当的左零元，当且仅当x x所所所所对应的行中的每个元素都与对应的行中的每个元素都与对应的行中的每个元素都与对应的行中的每个元素都与x x相同；元素相同；元素相同；元素相同；元素y y是关是关是关是关于于于于○ ○的右零元，当且仅当的右零元，当且仅当的右零元，当且仅当的右零元，当且仅当y y所对应的列中的每个所对应的列中的每个所对应的列中的每个所对应的列中的每个元素都与元素都与元素都与元素都与y y相同；元素相同；元素相同；元素相同；元素θ θ是关于是关于是关于是关于○ ○的零元，当且仅的零元，当且仅的零元，当且仅的零元，当且仅当当当当θ θ所对应的行和列中的每个元素都与所对应的行和列中的每个元素都与所对应的行和列中的每个元素都与所对应的行和列中的每个元素都与θ θ相同 (5)(5)元素元素元素元素x x为关于为关于为关于为关于○ ○的左幺元，当且仅当的左幺元，当且仅当的左幺元，当且仅当的左幺元，当且仅当x x所所所所对应的行中元素依次与行表头元素相同；元素对应的行中元素依次与行表头元素相同；元素对应的行中元素依次与行表头元素相同；元素对应的行中元素依次与行表头元素相同；元素y y为关于为关于为关于为关于○ ○的右幺元，当且仅当的右幺元，当且仅当的右幺元，当且仅当的右幺元，当且仅当y y所对应的列中元所对应的列中元所对应的列中元所对应的列中元素依次与列表头元素相同；元素素依次与列表头元素相同；元素素依次与列表头元素相同；元素素依次与列表头元素相同；元素e e是关于是关于是关于是关于○ ○的幺的幺的幺的幺元，当且仅当元，当且仅当元，当且仅当元，当且仅当e e所对应的行和列中元素分别依次所对应的行和列中元素分别依次所对应的行和列中元素分别依次所对应的行和列中元素分别依次地行表头元素和列表头元素相同。
地行表头元素和列表头元素相同地行表头元素和列表头元素相同地行表头元素和列表头元素相同 (6)(6)x x为关于为关于为关于为关于○ ○的左逆元，当且仅当位于的左逆元，当且仅当位于的左逆元，当且仅当位于的左逆元，当且仅当位于x x所所所所在行的元素中至少存在一个幺元，在行的元素中至少存在一个幺元，在行的元素中至少存在一个幺元，在行的元素中至少存在一个幺元，y y为关于为关于为关于为关于○ ○的的的的右逆元，当且仅当位于右逆元，当且仅当位于右逆元，当且仅当位于右逆元，当且仅当位于y y所在列的元素中至少存所在列的元素中至少存所在列的元素中至少存所在列的元素中至少存在一个幺元；在一个幺元；在一个幺元；在一个幺元；x x与与与与y y互为逆元，当且仅当位于互为逆元，当且仅当位于互为逆元，当且仅当位于互为逆元，当且仅当位于x x所所所所在行和在行和在行和在行和y y所在列的元素以及所在列的元素以及所在列的元素以及所在列的元素以及y y所在行和所在行和所在行和所在行和x x所在列的所在列的所在列的所在列的元素都是幺元元素都是幺元元素都是幺元元素都是幺元 6.3 同态与同构同态与同构本本本本节节节节将将将将阐阐阐阐明明明明两两两两个个个个重重重重要要要要概概概概念念念念————同同同同态态态态与与与与同同同同构构构构。
在以后各节中，它们会经常被使用到在以后各节中，它们会经常被使用到在以后各节中，它们会经常被使用到在以后各节中，它们会经常被使用到 定义定义定义定义6.3.16.3.1 设设设设<
射可以看出，同态映射可以看出，同态映射可以看出，同态映射可以看出，同态映射f f不必是唯一的不必是唯一的不必是唯一的不必是唯一的 两两两两个个个个同同同同类类类类型型型型的的的的代代代代数数数数结结结结构构构构间间间间的的的的同同同同态态态态定定定定义义义义不不不不仅仅仅仅适适适适用用用用于于于于具具具具有有有有一一一一个个个个二二二二元元元元运运运运算算算算的的的的代代代代数数数数结结结结构构构构，，，，也也也也可可可可以以以以推推推推广广广广到到到到具具具具有有有有多多多多个个个个二二二二元元元元运运运运算算算算的的的的任任任任何何何何两两两两个个个个同同同同类类类类型型型型代代代代数数数数结结结结构构构构例例例例如如如如，，，，对对对对于于于于具具具具有有有有两两两两个个个个二二二二元元元元运运运运算算算算的的的的两两两两个个个个同同同同类类类类型型型型代代代代数数数数结结结结构构构构<
由由由由于于于于函函函函数数数数f f Y YX X的的的的不不不不同同同同性性性性质质质质，，，，将将将将给给给给出出出出不不不不同同同同种种种种类的同态定义类的同态定义类的同态定义类的同态定义 定义定义定义定义6.3.26.3.2 设设设设<
记为的同构映射记为的同构映射记为的同构映射记为<
当当当当k k=-1=-1或或或或k k=1=1时时时时，，，，f f为为为为从从从从< ,+>到到到到< ,+>的的的的同同同同构映射综综综综上上上上可可可可以以以以看看看看出出出出，，，，同同同同态态态态映映映映射射射射具具具具有有有有一一一一个个个个特特特特性性性性，，，，即即即即“ “保保保保持持持持运运运运算算算算” ”对对对对于于于于满满满满同同同同态态态态映映映映射射射射来来来来说说说说，，，，它它它它能能能能够保持运算的更多性质，为此，给出如下定理：够保持运算的更多性质，为此，给出如下定理：够保持运算的更多性质，为此，给出如下定理：够保持运算的更多性质，为此，给出如下定理： 定理定理定理定理6.3.26.3.2 给定给定给定给定<
结合律 (b b) )如果如果如果如果⊙ ⊙ ⊙ ⊙和和和和○ ○满足交换律，则满足交换律，则满足交换律，则满足交换律，则 和和和和 也满足也满足也满足也满足交换律 ( (c c) )如果如果如果如果⊙ ⊙ ⊙ ⊙对于对于对于对于○ ○或或或或○ ○对于对于对于对于⊙ ⊙ ⊙ ⊙满足分配律，则满足分配律，则满足分配律，则满足分配律，则 对于对于对于对于 或或或或 对于对于对于对于 也相应满足分配律也相应满足分配律也相应满足分配律也相应满足分配律 (d d) )如果如果如果如果⊙ ⊙ ⊙ ⊙对于对于对于对于○ ○或或或或○ ○对于对于对于对于⊙ ⊙ ⊙ ⊙满足吸收律，则满足吸收律，则满足吸收律，则满足吸收律，则 对于对于对于对于 或或或或 对于对于对于对于 也满足吸收律也满足吸收律也满足吸收律也满足吸收律 (e e) )如果如果如果如果⊙ ⊙ ⊙ ⊙和和和和○ ○满足等幂律，则满足等幂律，则满足等幂律，则满足等幂律，则 和和和和 也满足也满足也满足也满足等幂律 (f f) )如果如果如果如果e e1 1和和和和e e2 2分别是关于分别是关于分别是关于分别是关于⊙ ⊙ ⊙ ⊙和和和和○ ○的幺元，则的幺元，则的幺元，则的幺元，则f f( (e e1 1) )和和和和f f( (e e2 2) )分别为关于分别为关于分别为关于分别为关于 和和和和 的幺元。
的幺元 ( (g g) )如果如果如果如果θ θ1 1和和和和θ θ2 2分别是关于分别是关于分别是关于分别是关于⊙ ⊙ ⊙ ⊙和和和和○ ○的零元，则的零元，则的零元，则的零元，则f f( (θ θ1 1) )和和和和f f( (θ θ2 2) )分别为关于分别为关于分别为关于分别为关于 和和和和 的零元 (h h) )如果对每个如果对每个如果对每个如果对每个x x∈∈∈∈X X均存在关于均存在关于均存在关于均存在关于⊙ ⊙ ⊙ ⊙的逆元的逆元的逆元的逆元x x-1-1，，，，则对每个则对每个则对每个则对每个f f( (x x) )∈∈∈∈Y Y也均存在关于也均存在关于也均存在关于也均存在关于 的逆元的逆元的逆元的逆元f f( (x x-1-1) )；；；；如果对每个如果对每个如果对每个如果对每个z z∈∈∈∈X X均存在关于均存在关于均存在关于均存在关于○ ○的逆元的逆元的逆元的逆元z z-1-1，，，，则对则对则对则对每个每个每个每个f f( (z z) )∈∈∈∈Y Y也均存在关于也均存在关于也均存在关于也均存在关于 的逆元的逆元的逆元的逆元f f( (z z-1-1) )。
定定定定理理理理6.3.26.3.2告告告告诉诉诉诉我我我我们们们们，，，，对对对对于于于于满满满满同同同同态态态态映映映映射射射射来来来来说说说说，，，，代代代代数数数数系系系系统统统统的的的的许许许许多多多多性性性性质质质质都都都都能能能能保保保保持持持持，，，，如如如如结结结结合合合合律律律律、、、、交交交交换换换换律律律律、、、、分分分分配配配配律律律律、、、、等等等等幂幂幂幂律律律律、、、、幺幺幺幺元元元元、、、、零零零零元元元元、、、、逆逆逆逆元元元元等等等等，，，，但但但但这这这这种种种种保保保保持持持持性性性性质质质质是是是是单单单单向向向向的的的的，，，，即即即即如如如如果果果果<
不不不不尽尽尽尽要要要要问问问问，，，，在在在在怎怎怎怎样样样样条条条条件件件件下下下下，，，，<
而而而而同同同同态态态态映映映映射射射射不不不不一一一一定定定定要要要要求求求求是是是是双双双双射射射射正正正正因因因因为为为为如如如如此此此此，，，，同同同同构构构构不不不不再再再再仅仅仅仅仅仅仅仅象象象象满满满满同同同同态态态态那那那那样样样样对对对对保保保保持持持持运运运运算算算算是是是是单单单单向向向向的的的的了了了了，，，，而而而而对对对对保保保保持持持持运运运运算算算算成成成成为为为为双双双双向向向向的的的的两两两两个个个个同同同同构构构构的的的的代代代代数数数数，，，，表表表表面面面面上上上上似似似似乎乎乎乎很很很很不不不不相相相相同同同同，，，，但但但但在在在在结结结结构构构构上上上上实实实实际际际际是是是是没没没没有有有有什什什什么么么么差差差差别别别别，，，，只只只只不不不不过过过过是是是是集集集集合合合合中中中中的的的的元元元元素素素素名名名名称称称称和和和和运运运运算算算算的的的的标标标标识不同而已，而它们的所有发生识不同而已，而它们的所有发生识不同而已，而它们的所有发生识不同而已，而它们的所有发生“ “彼此相通彼此相通彼此相通彼此相通” ” 这样，当探索新的代数结构的性质时，如这样，当探索新的代数结构的性质时，如这样，当探索新的代数结构的性质时，如这样，当探索新的代数结构的性质时，如果发现或者能够证明该结构同构于另外一个性果发现或者能够证明该结构同构于另外一个性果发现或者能够证明该结构同构于另外一个性果发现或者能够证明该结构同构于另外一个性质已知的代数结构，便能直接地知道新的代数质已知的代数结构，便能直接地知道新的代数质已知的代数结构，便能直接地知道新的代数质已知的代数结构，便能直接地知道新的代数结构的各种性质了。
对于同构的两个代数系统结构的各种性质了对于同构的两个代数系统结构的各种性质了对于同构的两个代数系统结构的各种性质了对于同构的两个代数系统来说，在它们的运算表中除了元素和运算的标来说，在它们的运算表中除了元素和运算的标来说，在它们的运算表中除了元素和运算的标来说，在它们的运算表中除了元素和运算的标记不同外，其它一切都是相同的因此，可以记不同外，其它一切都是相同的因此，可以记不同外，其它一切都是相同的因此，可以记不同外，其它一切都是相同的因此，可以根据这些特征来识别同构的代数系统根据这些特征来识别同构的代数系统根据这些特征来识别同构的代数系统根据这些特征来识别同构的代数系统 同同同同构构构构是是是是一一一一个个个个关关关关系系系系，，，，而而而而且且且且可可可可以以以以证证证证明明明明它它它它是是是是个个个个等等等等价关系，对此有如下定理：价关系，对此有如下定理：价关系，对此有如下定理：价关系，对此有如下定理：定定定定理理理理6.3.36.3.3 代代代代数数数数系系系系统统统统间间间间的的的的同同同同构构构构关关关关系系系系是是是是等等等等价价价价关关关关系 证证明明证证明明 显显然然显显然然<
因为同构的代数系统具因为同构的代数系统具因为同构的代数系统具因为同构的代数系统具有相同的性质，故实际上代数系统所需要研究有相同的性质，故实际上代数系统所需要研究有相同的性质，故实际上代数系统所需要研究有相同的性质，故实际上代数系统所需要研究的总体并不是的总体并不是的总体并不是的总体并不是S S而是而是而是而是S S/ / 在同态与同构中有一个特例，即具有相同在同态与同构中有一个特例，即具有相同在同态与同构中有一个特例，即具有相同在同态与同构中有一个特例，即具有相同集合的任两个代数系统的同态与同构，这便是集合的任两个代数系统的同态与同构，这便是集合的任两个代数系统的同态与同构，这便是集合的任两个代数系统的同态与同构，这便是自同态与自同构自同态与自同构自同态与自同构自同态与自同构 定义定义定义定义6.3.46.3.4 给定给定给定给定< >及及及及f f∈∈∈∈S SS Sf f为自同态映射为自同态映射为自同态映射为自同态映射:=:=f f为从为从为从为从< >到到到到< >的的的的同态映射。
同态映射同态映射同态映射f f为自同构映射为自同构映射为自同构映射为自同构映射:=:=f f为从为从为从为从< >到到到到< >的的的的同构映射同构映射同构映射同构映射 6.4 同余关系同余关系本节主要阐明同态与同余关系之间的联系本节主要阐明同态与同余关系之间的联系本节主要阐明同态与同余关系之间的联系本节主要阐明同态与同余关系之间的联系主要内容如下：主要内容如下：主要内容如下：主要内容如下：定义定义定义定义6.4.16.4.1 给定给定给定给定< >且且且且E E为为为为S S中的等价关系中的等价关系中的等价关系中的等价关系E E有代换性质有代换性质有代换性质有代换性质:=(:=( x x1 1)( )( x x2 2)( )( y y1 1)( )( y y2 2) )(( ((x x1 1，，，，x x2 2，，，，y y1 1，，，，y y2 2∈∈∈∈S S∧∧∧∧xExxEx2 2∧∧∧∧y y1 1EyEy2 2)→()→(x x1 1⊙ ⊙ ⊙ ⊙y y1 1) )E E( (x x2 2⊙ ⊙ ⊙ ⊙y y2 2)) ))。
E E为为为为< >中的同余关系中的同余关系中的同余关系中的同余关系:=:=E E有代换性质有代换性质有代换性质有代换性质 与此同时，称同余关系与此同时，称同余关系与此同时，称同余关系与此同时，称同余关系E E的等价类为同余类的等价类为同余类的等价类为同余类的等价类为同余类由定义可知，同余关系是代数结构的集合由定义可知，同余关系是代数结构的集合由定义可知，同余关系是代数结构的集合由定义可知，同余关系是代数结构的集合中的等价关系，并且在运算的作用下，能够保中的等价关系，并且在运算的作用下，能够保中的等价关系，并且在运算的作用下，能够保中的等价关系，并且在运算的作用下，能够保持关系的等价类即在持关系的等价类即在持关系的等价类即在持关系的等价类即在x x1 1⊙ ⊙ ⊙ ⊙y y1 1中，如果用集合中，如果用集合中，如果用集合中，如果用集合S S中中中中的与的与的与的与x x1 1等价的任何其它元素等价的任何其它元素等价的任何其它元素等价的任何其它元素x x2 2代换代换代换代换x x1 1，，，，并且用与并且用与并且用与并且用与y y1 1等价的任何其它元素等价的任何其它元素等价的任何其它元素等价的任何其它元素y y2 2代换代换代换代换y y1 1，，，，则所求的结果则所求的结果则所求的结果则所求的结果x x2 2⊙ ⊙ ⊙ ⊙y y2 2与与与与x x1 1⊙ ⊙ ⊙ ⊙y y1 1位于同一等价类之中。
位于同一等价类之中位于同一等价类之中位于同一等价类之中 亦即若〔亦即若〔亦即若〔亦即若〔x x1 1〕〕〕〕E E= =〔〔〔〔x x2 2〕〕〕〕E E并且〔并且〔并且〔并且〔y y1 1〕〕〕〕E E= =〔〔〔〔y y2 2〕〕〕〕E E，，，，则〔则〔则〔则〔x x1 1⊙ ⊙ ⊙ ⊙y y1 1〕〕〕〕E E= =〔〔〔〔x x2 2⊙ ⊙ ⊙ ⊙y y2 2〕〕〕〕E E此外，同余关此外，同余关此外，同余关此外，同余关系与运算密切相关如果一个代数结构中有多系与运算密切相关如果一个代数结构中有多系与运算密切相关如果一个代数结构中有多系与运算密切相关如果一个代数结构中有多个运算，则需要考察等价关系对于所有这些运个运算，则需要考察等价关系对于所有这些运个运算，则需要考察等价关系对于所有这些运个运算，则需要考察等价关系对于所有这些运算是否都有代换性质如果有，则说该代数结算是否都有代换性质如果有，则说该代数结算是否都有代换性质如果有，则说该代数结算是否都有代换性质如果有，则说该代数结构存在同余关系；否则，同余关系不存在构存在同余关系；否则，同余关系不存在构存在同余关系；否则，同余关系不存在。
构存在同余关系；否则，同余关系不存在 例例例例6.4.16.4.1 给给给给定定定定< >，，，，其其其其中中中中I I是是是是整整整整数数数数集集集集合合合合，，，，+ +和和和和 是是是是一一一一般般般般加加加加、、、、乘乘乘乘法法法法假假假假设设设设I I中中中中的的的的关关关关系系系系R R定定定定义义义义如如如如下：下：下：下：i i1 1RiRi2 2:=|:=|i i1 1|=||=|i i2 2| |，，，，其中其中其中其中i i1 1、、、、i i2 2 I I试问，试问，试问，试问，R R为该结构的同余关系吗？为该结构的同余关系吗？为该结构的同余关系吗？为该结构的同余关系吗？ 解解解解 显然，显然，显然，显然，R R为为为为I I中的等价关系接着先考察中的等价关系接着先考察中的等价关系接着先考察中的等价关系接着先考察R R对于对于对于对于+ +运算的代换性质：运算的代换性质：运算的代换性质：运算的代换性质：若取若取若取若取i i1 1,- ,-i i1 1, ,i i2 2 I I，，，，则有则有则有则有| |i i1 1|=|-|=|-i i1 1| |和和和和| |i i2 2|=||=|i i2 2| |，，，，于于于于是，下式是，下式是，下式是，下式( (i i1 1R R(- (-i i1 1)) )) ( (i i1 1RiRi2 2) )( (i i1 1+ +i i2 2) )R R(- (-i i1 1+ +i i2 2) )不真。
这是因为前件为真，后件为假这是因为前件为真，后件为假这是因为前件为真，后件为假这是因为前件为真，后件为假故R R对于对于对于对于+ +运算不具有代换性质运算不具有代换性质运算不具有代换性质运算不具有代换性质 至此可以说，至此可以说，至此可以说，至此可以说，R R不是该结构的同余关系但不是该结构的同余关系但不是该结构的同余关系但不是该结构的同余关系但为了熟悉验证一个关系是否为同余关系，还是为了熟悉验证一个关系是否为同余关系，还是为了熟悉验证一个关系是否为同余关系，还是为了熟悉验证一个关系是否为同余关系，还是来考察来考察来考察来考察R R对于对于对于对于 的代换性质的代换性质的代换性质的代换性质令令令令i i1 1, ,i i2 2, ,j j1 1, ,j j2 2 I I且且且且i i1 1RiRi2 2和和和和j j1 1RjRj2 2于是，对任于是，对任于是，对任于是，对任意意意意i i1 1, ,i i2 2, ,j j1 1, ,j j2 2都有：都有：都有：都有：( (i i1 1RiRi2 2) )和和和和( (j j1 1RjRj2 2) )( (i i1 1 j j1 1) )R R( (i i2 2 j j2 2) )因此，因此，因此，因此，E E对于对于对于对于 具有代换性质。
具有代换性质具有代换性质具有代换性质 可可可可见见见见，，，，考考考考察察察察一一一一个个个个等等等等价价价价关关关关系系系系E E对对对对于于于于有有有有多多多多个个个个运运运运算算算算的的的的代代代代数数数数结结结结构构构构是是是是否否否否为为为为同同同同余余余余关关关关系系系系，，，，这这这这里里里里有有有有个个个个次次次次序序序序先先先先后后后后问问问问题题题题，，，，选选选选择择择择得得得得好好好好，，，，马马马马上上上上就就就就考考考考察察察察到到到到了了了了E E对对对对某某某某个个个个运运运运算算算算是是是是不不不不具具具具有有有有代代代代换换换换性性性性质质质质，，，，那那那那么么么么便便便便可可可可立立立立刻刻刻刻断断断断定定定定E E不不不不是是是是该该该该结结结结构构构构的的的的同同同同余余余余关关关关系系系系，，，，否否否否则则则则验验验验证证证证应应应应继继继继续续续续下下下下去去去去，，，，直直直直至至至至遇遇遇遇到到到到不不不不具具具具有有有有代代代代换换换换性性性性质质质质的的的的运运运运算算算算为为为为止止止止如如如如果果果果对对对对于于于于所所所所有有有有运运运运算算算算都都都都有有有有代代代代换换换换性性性性质质质质，，，，则则则则E E为为为为该该该该结结结结构构构构的的的的同同同同余余余余关关关关系。
系 在例在例在例在例6.4.16.4.1中，首先发现中，首先发现中，首先发现中，首先发现R R对于对于对于对于+ +不具有代换不具有代换不具有代换不具有代换性质，那么可断定性质，那么可断定性质，那么可断定性质，那么可断定R R不是该结构的同余关系如不是该结构的同余关系如不是该结构的同余关系如不是该结构的同余关系如果你首先验证是果你首先验证是果你首先验证是果你首先验证是R R对于对于对于对于 的代换性质，结果的代换性质，结果的代换性质，结果的代换性质，结果R R对对对对于于于于 有代换性质，至此你只是有希望有代换性质，至此你只是有希望有代换性质，至此你只是有希望有代换性质，至此你只是有希望E E是同余关是同余关是同余关是同余关系，但还得继续工作，考察系，但还得继续工作，考察系，但还得继续工作，考察系，但还得继续工作，考察R R对于对于对于对于+ +的代换性质，的代换性质，的代换性质，的代换性质，由此结果才能判定由此结果才能判定由此结果才能判定由此结果才能判定R R是否为该结构的同余关系是否为该结构的同余关系是否为该结构的同余关系是否为该结构的同余关系 有了同余关系的概念后，现在可以给出它有了同余关系的概念后，现在可以给出它有了同余关系的概念后，现在可以给出它有了同余关系的概念后，现在可以给出它与同态映射的关系了，请看下面定理：与同态映射的关系了，请看下面定理：与同态映射的关系了，请看下面定理：与同态映射的关系了，请看下面定理：定理定理定理定理6.4.16.4.1 设设设设< >与与与与<
对应于为其同态映射对应于为其同态映射对应于为其同态映射对应于f f，，，，定义关系定义关系定义关系定义关系E Ef f如下：如下：如下：如下：xExEf fy y:=:=f f( (x x)=)=f f( (y y) )，，，， 其中其中其中其中x x，，，，y y∈∈∈∈S S则则则则E Ef f是是是是< >中的同余关系，并且称中的同余关系，并且称中的同余关系，并且称中的同余关系，并且称E Ef f为为为为由同态映射由同态映射由同态映射由同态映射f f所诱导的同余关系所诱导的同余关系所诱导的同余关系所诱导的同余关系1 1由由由由于于于于同同同同态态态态映映映映射射射射不不不不唯唯唯唯一一一一，，，，根根根根据据据据定定定定理理理理6.4.16.4.1，，，，可可可可以推知同余关系也是不唯一以推知同余关系也是不唯一以推知同余关系也是不唯一以推知同余关系也是不唯一 6.5 商代数商代数定定定定义义义义6.5.16.5.1 给给给给定定定定< >及及及及其其其其上上上上的的的的同同同同余余余余关关关关系系系系E E，，，，且且且且由由由由E E对对对对S S所所所所产产产产生生生生同同同同余余余余类类类类构构构构成成成成一一一一个个个个商商商商集集集集S S/ /E E。
若若若若在在在在S S/ /E E中定义运算中定义运算中定义运算中定义运算 如下：如下：如下：如下： [ [x x] ]E E○[○[y y] ]E E=[=[x x⊙ ⊙ ⊙ ⊙y y] ]E E 其中其中其中其中[ [x x] ]E E，，，，[ [y y] ]E E∈∈∈∈S S/ /E E于于于于是是是是< ○>构构构构成成成成了了了了一一一一个个个个代代代代数数数数结结结结构构构构，，，，则则则则称称称称< >的商代数的商代数的商代数的商代数 可以看出，给定一个代数结构，利用可以看出，给定一个代数结构，利用结构中的同余关系可以构造一个新的代数结构中的同余关系可以构造一个新的代数结构即商代数，两者有何联系，下面定理结构即商代数，两者有何联系，下面定理指明这一点指明这一点 定理定理定理定理6.5.16.5.1 给定给定给定给定< >及其上的商代数及其上的商代数及其上的商代数及其上的商代数< ○>，，，，则则则则< > < ○>。
通通通通常常常常，，，，称称称称g gE E为为为为从从从从S S到到到到S S/ /E E上上上上的的的的正正正正则则则则映映映映射射射射，，，，并并并并且且且且称称称称g gE E为为为为从从从从< >到到到到< ○>的的的的与与与与E E相相相相关关关关的的的的自自自自然同态映射，简称自然同态然同态映射，简称自然同态然同态映射，简称自然同态然同态映射，简称自然同态此此此此外外外外，，，，容容容容易易易易看看看看出出出出自自自自然然然然同同同同态态态态g gE E是是是是满满满满同同同同态态态态映映映映射射射射，，，，根根根根据据据据定定定定理理理理6.3.26.3.2可可可可知知知知，，，，代代代代数数数数结结结结构构构构< >的的的的各各各各种种种种性性性性质在其商代数质在其商代数质在其商代数质在其商代数< ○>中都被保持了下来中都被保持了下来中都被保持了下来中都被保持了下来 现现现现在在在在，，，，可可可可以以以以利利利利用用用用自自自自然然然然同同同同态态态态及及及及E Ef f给给给给出出出出一一一一个个个个有有有有关同构的重要定理。
关同构的重要定理关同构的重要定理关同构的重要定理定定定定理理理理6.5.26.5.2 设设设设< > < >到到到到< >的的的的与与与与E Ef f相相相相关关关关的的的的自自自自然然然然同同同同态态态态，，，，则则则则< > < >与与与与< >成成成成为为为为新新新新的的的的代代代代数数数数结结结结构构构构，，，，其其其其中中中中S S× ×T T是是是是集集集集合合合合S S和集合和集合和集合和集合T T的笛卡儿积，且的笛卡儿积，且的笛卡儿积，且的笛卡儿积，且 定义如下：定义如下：定义如下：定义如下： < > < =<>= >，，，，其其其其中中中中s s1 1，，，，s s2 2∈∈∈∈S S，，，，t t1 1，，，，t t2 2∈∈∈∈T T。
则则则则称称称称< >为为为为代代代代数数数数结结结结构构构构< >和和和和< >和和和和< ○>的因子代数的因子代数的因子代数的因子代数 类似地可把积代数的定义推广到任何两个类似地可把积代数的定义推广到任何两个类似地可把积代数的定义推广到任何两个类似地可把积代数的定义推广到任何两个同类型的代数结构另外，重复地使用定义中同类型的代数结构另外，重复地使用定义中同类型的代数结构另外，重复地使用定义中同类型的代数结构另外，重复地使用定义中的方法，也可以定义任何有限数目的同类型代的方法，也可以定义任何有限数目的同类型代的方法，也可以定义任何有限数目的同类型代的方法，也可以定义任何有限数目的同类型代数结构的积代数数结构的积代数数结构的积代数数结构的积代数可以看出，两个代数结构的积代数，与两可以看出，两个代数结构的积代数，与两可以看出，两个代数结构的积代数，与两可以看出，两个代数结构的积代数，与两个因子代数是同一类型的。
而且还要注意到，个因子代数是同一类型的而且还要注意到，个因子代数是同一类型的而且还要注意到，个因子代数是同一类型的而且还要注意到，在积代数的定义中，是用因子代数中的相应运在积代数的定义中，是用因子代数中的相应运在积代数的定义中，是用因子代数中的相应运在积代数的定义中，是用因子代数中的相应运算定义了积代数中的运算算定义了积代数中的运算算定义了积代数中的运算算定义了积代数中的运算。
