中考数学复习指导：精彩的分式中考开放题.doc

精彩的分式中考开放题开放题，即指答案不唯一的问题，开放题分为条件开放，结论开放，条件与结论都开放 等.近年來这类题一直是各地中考命题的热点，它给不同知识水平的同学都提供了展示能力 的平台，对培养发散思维能力与创新思维能力也十分有益.现以各地分式中考题为例予以说 明.例1请写出一个对任惡实数 的分式.你所写的分式是 ・解析：本题要求“写出一个对任意实数都有意义的分式”，即写出的分式中的字母取任意"实数，分母的值都不为如召，或-命或丄等•说明:不论X取什么实数，两个分母的值都是止数，分式的值前者恒为正，后者恒为负.分式一-—的分母的值恒为负，分式值的符号不确定，当x>-x2-lY x Y0时，分式一1 的值为负数;当x=0时，分式一V— 的值为0；当x<0时，分式一— -X2 -X2 -X1的值为正数.例2 请从下列三个代数式中任选两个(一个作为分子，一个作为分母)构造一个分 式，并化简该分式.a2 -1 a2 -a a2 -2a+ \然后请你自选一个合理的数代入求值.解析：本题可构造六个不同的分式，约分后求值吋，自选的-个数不应使构造的原分式 ,,.< m 小,6Z~ - 2a +1 (d — 1)~ ci — 1 ” * 卜—1 — 1的分母为 0.女廿 =—3 r = , 选 a二——1, 原式= =2.a -a a\a-\) a -1说明：以上构造的分式，在求值时a取除0与1之外的实数都行.本题的其余情况请同 学们完成.例3已知"=、N='+>；,用“ + ”或“一”连结M、N,有三种不同的 形式，M+N、M—N、N-M,请你任取其中一种进行计算，并化简求值，其中x ： y=5 ： 2.解析：本题有三种选择，只写一种即可.如 M + TV =2xy x2 + y2(x+y)2 二 x+y(x+y)(x—y) x-y原式二5_y+y25 d2说明：以上根据已知条件，利用dy表示x,从而消去x （这就是常说的“消元法”）;22也可以由〉，=一兀，消去y,使问题获解.本题的另外两种情况，请同学们完成.例4 先化简，再选择一个合适的x值代入求值:XE)"解析：原式二生乜子上牛兀 + 1 1~ X1 2x + l (x + l)(x-l) 1 1x — I x +1 (2兀 +1)(2兀—1) x — 1 2兀一1取x = 0,则原式=—1 •说明：以上化简分式的结果是唯一的，但化简后，选取作为兀的值代入求值时，一定要 使原分式有意义，即分式的各分母的值都不能为0,并且作为分式中除式的分子的值也不能 为0•由于x可取除±1, 土丄外的任意实数，所以本题得到的值是不唯一的.2显然，例1〜例4属于条件与结论都开放的问题.20082009卄 2007右a = 2008（1）试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小.• •（2）观察本题中数a、b的特征，以及你比较大小的过程，直接写出你发现的一个一般结论.卄 /、•• 2007x2009 (2008-1)x(2008 + 1) 20082 -12: ( 1 ) • CI— — —b_ 20082~ 2008x20092008 x 2009 2008 x 2009 2008 x 2009又 V 20082-l2<20082, A art,则—< 2LLL . m m +1Y） 刃 + 1若加、斤是任意正实数，且m>n,则一V •m m +1若 w /•是任意正整数，H m>n；或加、〃是任意正整数，厂是任意正实数，且加>/?,若〃?、料是任意止实数，厂是任意正整数，JI m>n；或〃?、刃、厂是任意1E实数，JI mn+rm + rYl>72,则上Vm说明：第（1）题也可用“求差法”，利用通分，得a—bvo获解.第（2）题是一道结 论开放题，只要求写出一个一-般结论.由于考生可能写出不同程度的一般的结论，所以原试 卷评分标准按一般化程度不同得不同分（以上四个结论分别可得4分、5分、6分和7分）.例6 某学生食堂存煤45吨，用了 5天后，由于改进设备，平均每天耗煤量降低为原 來的一半，结果多烧了 10天.（1） 求改进设备后平均每天耗煤多少吨？（2） 试将该题内容改编为与我们日常生活、学习有关的问题，使所列的方程相同或相 似（不必求解）.45 45-10%解析：（1）设改进设备后平均每天耗煤x吨，根据题意，得— + 10^ +5.2x x解得x二1.5.经检验，x二1.5符合题意且使分式方程有意义.答：改进设备后平均每天耗煤1.5吨.（2）答案不唯一，只要所编应用题的方程与原题的方程相同或相似均可.要力求所编的 应用题与实际生活、生产的情景相吻合.（请同学们完成）例说分式运算在生活中的应用分式是刻画数量关系的一种重要的数学模型，与我们口常生活有着密切的联系，其应用 十分广泛，举例说明如下.例1、甲、乙两地间铁路氏2400千米，经技术改造后，列车实现了提速.提速后比提速前速度增加20千米/时，设提速后列车速度为x千米/时，则列车从甲地到乙地行驶时间减少多少小时？解析：提速后列车速度为兀千米/时，贝IJ提速前列车从甲地到乙地行驶时间为丄型■千x-20米，提速后列车从甲地到乙地行驶时间为兰四千米。

48000"x（x - 20）X沁-叫400[ x-20 x x（x 一 20） x（x 一 20）所以提速后列车从甲地到乙地行驶时间减少启时例2、某商场销售某种商品，第一个月将此商品的进价提高25%作为销售价，共获利6000元.第二个月商场搞促销活动，将商品的进价提高10%作为销售价，设此商品进价为 x元，若要商场笫二个月比笫一个月多获利400元，则第二个月的销售量必须比第一个月多多少件.解析：设此商品进价为5,根据题意，得第二个月的销售量誥件，第-个月的销售量誥严又徽6000 二400000.25%x x所以第二个月的销售量必须比第一个月多型四件.例3、某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书.工程领导小组根据 甲、乙两队的投标书测算，有如下方案:（1） 甲队单独完成这项工程要比规定口期少用1天；（2） 乙队单独完成这项工程要比规定日期多用1天；（3） 若甲先做1天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成.试问：在不耽误工期的 前提下，设规定日期为x天，若采用第三种施工方案时，求甲队1天完成的工作量与乙队（rl） 天完成的工作量的积？解析：分别用分式表示出甲队1天完成的工作量，乙队&・1）天完成的工作量，再求 出它们的积。

由题意义可知，甲队的工作效率为丄，甲队的工作效率为丄，则甲队1X — 1 兀 + 11 Y — 1天完成的工作量为——,队（x・l）天完成的工作量 一，x-l X+1x-1 x+1 X+1所以甲队1天完成的工作量与乙队（》1）天完成的工作量的积为丄X+ 1例4、为了支援灾区，某中学师生自愿捐款，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000 元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，设第一天捐款兀人，则第二天人均捐款是 第一天人均捐款多少倍？解析：因为第一天捐款x人，则第二天捐款（x+50）人，则第一天人均捐款兰四元， 兀 第二天人均捐款巴元，兀+ 506000 . 4800 6000 兀 x兀+ 50 x 兀+ 50 4800 x + 50所以则第二天人均捐款是第一天人均捐款倍x + 50从上面的例子可以看115,解决问题的关键有两点：（1）挖掘题意中的相等关系，并根据 相等关系列出分式；（2）根据题意确定运算的类型，最后根据法则进行计算即可。