力学中一个趣味问题的讨论.pdf

2 0 1 5年 第 8期 物 理 通报 竞赛 与物 理专题 研修 力学 中一个趣 味 问题 的讨 论 杨星 宇 ( 北京师 范大学物理学系 北 京 1 0 0 8 7 5 ) ( 收稿 日期 ： 2 0 1 5— 0 2 —2 5 ) 摘要 ： 在 3 维空 间和 ” 维 空间中 ， 当一个 质点受到某一确定质量 和密度 物体 的最大引力时 ， 对 该连续分布物体 的形状进行物理分析和数学运算可发现， 当物体对质点有最大引力时， 物体表面任意质量元对质点的引力在引力合 力方 向上的分量都相等 ， 而且在 3维空间 中物体 的形状并非球形． 关 键 词 ： 万 有 引力 定 律 维 空 间 最 值 问题 物 体 形 状 对于 3维空间中一个连续分布的物体 ， 在质量 和 密 度都保 持 不变 的情 况 下 ， 它 具有 什 么样 的形 状 时才 会对 一 个 质 点 产 生 最 大 的 引 力 呢? 会 是 球 形 吗 ?对 于 维 空间 中 的物体 情况 又 如何 呢 ?下面 分 别 进 行讨 论 ． 1 对 3维 空间 中物体 形状 的讨论 1 ． 1 质 点 受力最 大 时 对物 体形 状定 性讨 论 若 以质 点 所 在 位 置 为 原点 ， 质 点所 受 引力 合 力 的方 向为极 轴 方 向 ( 即极 角 一0 ) ， 建 立球 坐标 系 ( r ， ， ) ， 其中 r∈ [ O ， +o o ) ， ∈ E 0 ， 丁 c ] ， ∈ E 0 ， 2 7 c ) ， 则 物体 上 的任 意 一 点 可 由坐 标 ( r ， 口 ， )确 定 ， 物 体 表面可由函数 r —R( ， ) 描述． 要使质点的受力最大 ， 物体 的形状应具有以下 特 性 ： ( 1 ) 物 体 上 任 意 -- A 0 ／ 1． ， 则 此 点 引力对 合 力 的贡献 为负 ； 若 某 点 0 一- “4 - ， 则 此点 引力 对合 力 的贡献 为零． ( 2 )物体形状具有旋转对 称性 ， 绕极轴旋转 任 意角 度对 称 ， 故 物体 表面 函数 简化 为 r —R( ) “ 对 称 性 原 理 ” l_ 1 ] ： 原 因 中的对 称 性 必 反 映 在结 果 中 ， 即结 果 中的对 称 性 至 少 有 原 因 中 的对 称 性 那 样多． 由牛顿第三定律可知 ， 物体对质点有最大引力 时 ， 质点对物体也有最大引力． 现在考虑质点对物体 的引力 ， 由万 有 引力定 律 可知 ， 质点 产生 的 引力场 以 质点为球心成球对称分布． 不妨设物体为流体， 物体 受 质点 引力 场作 用 ， 考虑 到特 性 1的要 求 ， 当其 受力 最大时， 可知物体形 状具有绕合力 方 向( 即极轴方 向)的旋 转对 称性 ． 1 ． 2 质 点 受力最 大 时 对 物体 形 状定 量计算 设该连续分布的物体质量为 M， 密度为 ID 且都 保持不变 ， 质点 的质量为 m． 在球坐标 系中， 物体体积和质点所受引力合力 的大小分别为 Ⅱ 2 Ⅱ 2 R ( 口 ) V 一 一 i n 0 dr F 一 d d j’ d r c 。

s 令 R1 ( C O S )一 R( )t — C O S 可得 V 一 P 一 舢t 3 J F = 2 兀 P 』 ) 由变分 法嘲 ， 解 得 R1 ( 一5 7— 2 0 1 5年第 8期 物理通报 竞赛与物理专题研修 即 r √ 画出函数图像如图 1所示 ， 该曲线不是半 圆． 图 1 幽 2 故物体形状为图 I中曲线绕极轴旋转一周所包 围的部分 ， 如图 2所示 ， 该几何体不是球体． 可知质 点位于几何体的轴线 与表面的一个交点上 ( 原点) ， 到 另 一 个 交 点 ( 顶 点 ) 的 距 离 为 r m ax √ ，此 时 ， 物体对质点有最大引力 ， 其值为 F ⋯ 一 √ 由对 称性 可知 ， 引力 合力 方 向沿极 轴 正方 向． 2 对 维 空间 中物体 形状 的讨论 2 ． 1 质 点受 力最 大时 对 物体 形状 定性讨 论 以质点所在位 置为原点， 质点所受引力合力的 方向为 0 一0所在轴( 可称其为主轴)的正方向， 建 一5 8一 立 维超 球坐 标 系 ( r ， 0 ， 0 ， ⋯ ， 0 ， ) ， 其 中 r∈ [ o ， +。

) ， 0 E E o ， 7 r ] ， E E o ， 2 7 c ) ， 故物体上任意 一点可 由 ”维坐标 ( r ， ， ， ⋯， 0 ， ) 确定 ， 物体 表面由函数 r —R( ， 0 ， ⋯～ 0一 ， ) 描述． 与前文分析论述同理可得 ， 要使质点的受力最 大 ， 物 体 的形状 应具 有 以下特 性 ： ( 1 ) 物 体 上 任 意 一 点 < 号 ， 故 0 E { 0 ， 号 ) ． ( 2 )物体形状具有旋 转对称性 ， 绕主轴旋转任 意角度对称， 故物体表面函数简化为 r —R( O ) ． 2 ． 2 质点受力最大时 对物体形状定量计算 将万 有 引力公 式推 广 到 7／维空 问 F = = = G 设该 连续 分 布 的物体质 量 为 M ， 密度 为 P ， 且 都 保持不变， 质点的质量为 m． 在 维超球坐标 系中， 物体体积和质点所受引 力合 力 的大 小分 别 为 R ( O 1 )号 z v 一 一 ＼＼ ＼＼ d R “ V 一 0 1= 0 2= 0 n 一2 0 O R ( O 1 )号 2 Ⅱ F 一 』』 『 ． ．． 』j' G丁 m p d R ,,V C O S r： o l— O 2= o 一 2= u — o 其中 d n V为 维超球坐标系中的体积元 d R V = r 一’s i n 一 ( 1 )s i n 一 。

( 2 ) ⋯ s i n( O 一 2 ) d r d O l dO 2 ⋯ d 一 2 d 令 R1 ( C O S 口 1 ) 一R( O 1 )t — C O S 0 1 c 一 『 ．．． j’ -『 s in · 2 O 2一 O ； 0 s i n( O 一 2 ) dO 2 ⋯ d 2 d 可 得 v 一 一 一C f R T ( ) ( 1 一￡ z ) 字出 P J F — G lD c l R 1 ( ￡ ) ( 1 一 ￡ ) 字蹦 ￡ 咕 由变分 法 ， 解 得 一僻 2 0 1 5年第 8期 物理通报 竞赛与物理专题研修 即 其 中 ) 一 僻 ”衙 一j '￡ 字 ( 1 一 ￡ ) 丽 1 d 此时， 物体对质点有最大的引力． 3 结论 3 ． 1 在 3维 空 间 中的结 论 在 3维空间中， 物体对质点有最大引力时 ， 物体 表 面在 球坐 标 系 中的 函数表 达式 满 足如 下关 系 一c os 02一f 1 i 一 ∞ 常量)1 r 一＼5 M ／ 一⋯“ 巾里 E l l c o s e为常量 ，可知 当物体对质 点有 最大引力时 ， 物 体 的形 状并 不是 球形 ． 而且 F 一 F， c o s 0一 a——m— A—mc os 0 r 为常量 ， 这表明 ， 当物体对质点有最大引力时 ， 物体 表 面 任 意质量 元 A m 对 质点 的 引力 F 在 引力 合 力方向上的分量 F 都相等． 3 ． 2 在 维 空 间中 的结论 在 维空间中， 物体对质点有最大引力时， 物体 表面在 维超球坐标系中的函数表达式满足如下关 系 1一f 1 一 ∞ ￡ ( 常 量 )2 r ＼ n M／ ⋯ ⋯ 由上式 可 发现 ， 当物体 对质 点有 最大 引力 时 ， 物 体 表 面任 意质 量元 对 质点 的引 力在 引力合 力 方 向上 的分量都相等． 3 ． 3 在 2维 空间 中的 结论 如果从 n维空间退化到 2维空间， 那 么当物体 对质 点有 最 大引 力时 ， 物 体“ 表 面”在 平 面极 坐 标 系 中的表达式满足如下关系 —cos —0一C O n s ￡ ( 常量 ) — — S 吊耳 容 易发 现 ， 上式 就是 极坐 标 系 中圆的表 达式 ． 故若物体是 2维物体 ， 物体对质点有最大 引力 时 ， 物体 的形 状 是“ 球 形” ， 不 过此球 形 是 2 维 空 间 的 球 形 ， 即 圆． 参 考 文 献 1 赵凯华． 定性 与半定 量物 理学． 北 京 ： 高等教 育 出版社 ， 19 91 ．3 3 2 欧斐君． 变分法及 其应 用 ： 物 理 、 力 学 、 工程 中 的经典 建 模． 北 京 ： 高等教育 出版社 ， 2 0 1 3 ． 4 7～ 6 5 3 S t e w a r t J ．C a l c u l u S ：C o n c e p t s a n d C o n t e x t s [ M] ． 3 r d e d ． BR OOKS COLE Publ i s hi ng Com pa ny， 2 00 6： 88 1 Di s c u s s i o n o n a n I n t e r e s t i n g M e c h a n i c a l Qu e s t i o n Ya ng Xi ng y u ( De p a r t me n t o f P h y s i c s ， B e i j i ng No r ma l Uni v e r s i t y ， B e i j i ng 1 0 0 8 7 5 ) Ab s t r a c t ： Th r o u g h p h y s i c a l a n a l y s i s a n d ma t h e ma t i c a l O p e r a t i o ns o n t h e s h a p e o f a c o n t i nu o u s d i s t r i bu t i o n o b j e c t wi t h c o ns t a nt m a s s and d e ns i t y i n t hr e e—di m e ns i o na l s p a c e a nd n—di m e ns i o na l s pa c e r e s p e c t i v e l y，f i nd a c onc l us i o n：whe n t he r e s u l t a n t g r a v i t y o f t h e o b j e c t o n a g i v e n p a r t i c l e i s ma x i ma l ，t h e c o mp o n e n t o f g r a v i t y o n t h e g i v e n p a r t i c l e o f a n y p a r t i c l e wi t h e u q a l ma s s i n t h e o b j e c t s s u r f a c e i n t h e d i r e c t i o n o f t h e r e s u l t a nt g r a v i t y i s e q u a l ，a n d t h e s h a p e o f t h e。