23 内积空间与希尔伯特空间.docx

2.3 内积空间与希尔伯特空间通过前面的学习，知道n维欧氏空间就是n维线性赋范空间的“模型”范数相当于向量的模，表明了线性赋范空间的代数结构．对于三维向量空间，我们知道向量不仅有模，而且两个向量有夹角，例如6为向量a和卩的夹角时有：cos0二儒或者a-3=ailPIcosO，其中a-p表示两个向量的数量积(或点积或内积)，|a|表示向量的模.于是便有了直交性、直交投影以及 向量的分解等概念，这些均反映了空间的“几何结构”．通过性空间上定义内积，可得到 内积空间，由内积可导出范数，若完备则为 Hilbert 空间.2.3.1 内积空间定义1・1设U是数域K上的线性空间，若存在映射(-,-):U xU T K，使得Vx, y, z e U，a e K ，(1)它满足以下内积公理：(x, x) > 0 ; (x, x) = 0 0 x = 0 ;正定性(或非负性)(2)(x, y) = (y, x);共轭对称性(3)(ax + 卩z,y) =a(x,y) + 卩(z,y)，线性性则称在U上定义了内积(-,-)，称(x, y)为x与y的内积，U为K上的内积空间(Inner product spaces).当K = R时，称U为实内积空间；当K = C时，称U为复内积空间.称有限维的实内 积空间为欧几里德(Euclid spaces)空间，即为欧氏空间；称有限维的复内积空间为酉(Unitary spaces)空间.注 1:关于复数：设z = a + bi e C，那么 |zl = \a2 + b2 = |ozl; z = r(cos0 + isin0)其中 0 为辐 射角、r = kl; z-z = |z|2; z = z ;对于z ,z eC，有z -z = z -z •1 2 12 12 注2：在实内积空间中，第二条内积公理共轭对称性变为对称性．注3：在复内积空间中，第三条内积公理为第一变元是线性的，第二变元是共轭线性的．因为(x,ay) = (ay,x) = a(y,x) =a -(y,x) =a(x,y),所以有(x,ay + pz) =a(x,y) + p(x,z)，即对于第二变元是共轭线性的．在实内积空间中，第三条内积公理为第一变元、第二变元均为 线性的.在 n 维欧氏空间 Rn中，Va, p e Rn，有a-p =& P IccO ，即 |a-p |=* P I ccO fex|p|| 丨.下面的引理说明这样的性质在内积空间上同样成立.如果在内积空间上定义范数IX =(x,x)2,其 中XeU，通过Schwarz不等式可证明U为线性赋范空间，即需验证||•卜(•，•)；满足范数公理引理 1.1 Schwarz 不等式设 U 为内积空间，Vx, y e U 有 |(x, y)| < ||x|| J|y||.证明 当x = 0或者y = 0时，显然结论成立•假设x丰0及y工0，那么VX e C有(x + X y, x + X y) > 0即0 < (x + X y, x + X y) = (x, x) + X (x, y) + X( y, x) + XX ( y, y)=(x, x) + X [(x, y) + X (y, y)] + X (y, x)令x=-g，贝有o < (x, x)-也止，即(y, y) (y, y)1(x, y)l2 < (x, x)(y, y) = ||x||2 ・||y||2，因此 |(x, y)| < ||x|| ・||y|| .口讨论什么条件下？ Schwarz不等式中的|(x,y)<|x||• ||y||成立.验证IH= (• , .)2满足范数公理.(1)正定性和⑵齐次性容验证；(3)三角不等式：Vx, y e U有llx + y| |2 = (x + y, x + y )1 = |( x, x + y) + (y, x + y)l< 1( x, x + y)| +1( y, x + y)l<|x||J|x + y|| +||y| • ||x + y||=(如 +| y|HI x + y||故 llx + y| <||x|| +||y||因此任何内积空间都可看成由内积导出的线性赋范空间，由范数11x11 = (x,x)；导出的距离为d(x, y) =llx - y1例1・1在点列依范数收敛时，内积(x,y)是x,y的连续映射.即内积空间U中的点列｛x ｝，n{y }依范数收敛x T x， y T y，那么有(x , y ) T (x , y ).n n 0 n 0 n n 0 0证明 因为当n u 时y t y，所以｛y ｝有界，即存在正实数M > 0，使得||y ||< M，那 n 0 n n1( x , y ) - (x , y )1 = 1( x , y ) - (x , y ) + (x , y ) - (x , y )1n n 0 0 n n 0 n 0 n 0 0< 1(x ,y )-(x ,y )| +1(x ,y )-(x ,y )|n n 0 n 0 n 0 0=1(x -x ,y )|+ (x ,y -y )|n 0 n 0 n 0n0<| x - x y +||x y - y ||n 0 n 0< I x - x ||m + ||x yn 0 0 j因此二兀函数F(x,y) = (x,y)是连续函数.口2.3.2 希尔伯特空间定义1.2设U是数域K上的内积空间，如果U按内积导出的范数||x|| = (x,x)2成为Banach空间，就称U为Hilbert空间，简记为H空间.注4:因为内积(x, y)可导出范数||x|| = (x, x)2，范数||x|可导出距离d (x, y) = ||x - y||，所以有内积空间T线性赋范空间T度量空间.其中称完备的线性赋范空间为Banach空间，完备的内积空间为Hilbert空间.F面给出一些Hilbert空间的例子.1、实内积空间Rn是Hilbert空间.对于x = (x ,x，—,x ), y = (y , y，—, y ) e Rn， n维欧式空间Rn上的标准内积定义为1 2 n 1 2 n(x, y) = x y F x y F— F x y1 1 2 2 n n导出的范数为||x|| =(工x2)2，距离为d(x, y)=(工lx - y 2)2 .口 i=i i i=i ''2、复内积空间Cn是Hilbert空间.对于x = (x ,x，—,x ), y = (y , y，—,y ) eCn， n维酉空间Cn上的内积定义为1 2 n 1 2 n(x, y) = x y + x y + —F x y1 1 2 2 n nii=13、复内积空间12是Hilbert空间.导出的范数为||x|| = (X |x I2)2，距离为d(x,y)= (Mix - y 2)2 .口 iii=112 = {x | x = (x , x ,•••), 区 |x I 在复内积空间中(x,y)=丄(卜 + y||2-||x-y||2 + i||x + iy|2 -i||x-iy|2) •4证明(1)由于在实内积空间中范数||x|| = (x,x)2，所以|x + yll2 -||x-y||2 = (x + y,x + y)-(x-y,x-y)=[(x,x)+(x, y)+(y,x)+(y, y)]-[(x,x)-(x, y)-(y,x)+(y, y)]= 2(x, y) + 2(y,x) = 4( x, y) ．同理可证(2)复内积空间中的极化恒等式成立.口注5：从上证明过程可知，对于任何内积空间有llx + y|2 -||x-y|I2 = 4Re(x,y); < +8,x e C} , Vx, y e 12，定义内积为1 2 i ii=18 _(x, y) = x y + x y + …=厶 x y1 1 2 2 i ii=1由 Cauchy 不等式知 1( x, y)=艺 x y < (艺 |x. 2)2(艺 \y l2)2