勾股定理9种证明(有图)（2022年整理）.pdf

1 PHGFEDCBAabcabcabcabc勾股定理的勾股定理的 9 9 种种证明证明（有图）（有图） 【证法【证法 1 1】 （邹元治证明）】 （邹元治证明） 以以 a a、b b 为直角边，以为直角边，以 c c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于等于ab21. . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A A、E E、B B 三点在一条直线上，三点在一条直线上，B B、F F、C C 三点在一条直线上，三点在一条直线上，C C、G G、D D 三点在一条直线上三点在一条直线上. . RtRtHAE HAE RtRtEBF,EBF, AHE = AHE = BEFBEF. . AEH + AEH + AHE = 90AHE = 90 , , AEH + AEH + BEF = 90BEF = 90 . . HEF = 180HEF = 1809090 = 90= 90 . . 四边形四边形 EFGHEFGH 是一个边长为是一个边长为 c c 的的 正方形正方形. . 它的面积等于它的面积等于 c c2 2. . RtRtGDH GDH RtRtHAE,HAE, HGD = HGD = EHAEHA. . HGD + HGD + GHD = 90GHD = 90 , , EHA + EHA + GHD = 90GHD = 90 . . 又又 GHE = 90GHE = 90 , , DHA = 90DHA = 90 + 90+ 90 = 180= 180 . . ABCDABCD 是一个边长为是一个边长为 a + ba + b 的正方形，它的面积等于的正方形，它的面积等于()2ba +. . ()22214cabba+=+. . 222cba=+. . 【证法【证法 2 2】 （梅文鼎证明）】 （梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a a、b b ，斜边长为，斜边长为 c c. . 把它把它们拼成如图那样的一个多边形，使们拼成如图那样的一个多边形，使 D D、E E、F F 在一条直线上在一条直线上. . 过过 C C 作作 ACAC 的延长线交的延长线交 DFDF 于于点点 P P. . D D、E E、F F 在一条直线上在一条直线上, , 且且 RtRtGEF GEF RtRtEBD,EBD, EGF = EGF = BEDBED， EGF + EGF + GEF = 90GEF = 90， BED + BED + GEF = 90GEF = 90， BEG =180BEG =1809090 = 90= 90 . . 又又 AB = BE = EG = GA = cAB = BE = EG = GA = c， ABEGABEG 是一个边长为是一个边长为 c c 的正方形的正方形. . ABC + ABC + CBE = 90CBE = 90 . . RtRtABC ABC RtRtEBD,EBD, ABC = ABC = EBDEBD. . EBD + EBD + CBE = 90CBE = 90 . . 即即 CBD= 90CBD= 90 . . 又又 BDE = 90BDE = 90，BCP = 90BCP = 90， DGCFAHEBabcabcabcabcbacGDACBFEH 2 cccbacbaABCEFPQMNBC = BD = aBC = BD = a. . BDPCBDPC 是一个边长为是一个边长为 a a 的正方形的正方形. . 同理，同理，HPFGHPFG 是一个边长为是一个边长为 b b 的正方形的正方形. . 设多边形设多边形 GHCBEGHCBE 的面积为的面积为 S S，则，则 ,21222abSba+=+ abSc2122+=, , 222cba=+. . 【证法【证法 3 3】 （项明达证明）】 （项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a a、b b（baba） ，斜边长为，斜边长为c c. . 再做一个边长为再做一个边长为 c c 的正方形的正方形. . 把它们拼成如图所示的多边形，使把它们拼成如图所示的多边形，使 E E、A A、C C 三点在一条三点在一条直线上直线上. . 过点过点 Q Q 作作 QPQPBCBC，交，交 ACAC 于点于点 P P. . 过点过点 B B 作作 BMBMPQPQ，垂足为，垂足为 M M；再过点再过点 F F 作作 FNFNPQPQ，垂足为，垂足为 N N. . BCA = 90BCA = 90，QPQPBCBC， MPC = 90MPC = 90， BMBMPQPQ， BMP = 90BMP = 90， BCPMBCPM 是一个矩形，即是一个矩形，即MBC = 90MBC = 90 . . QBM + QBM + MBA = MBA = QBA = 90QBA = 90， ABC + ABC + MBA = MBA = MBC = 90MBC = 90， QBM = QBM = ABCABC， 又又 BMP = 90BMP = 90，BCA = 90BCA = 90，BQ = BA = cBQ = BA = c， RtRtBMQ BMQ RtRtBCABCA. . 同理可证同理可证 RtRtQNF QNF RtRtAEFAEF. . 从而将问题转化为从而将问题转化为【证法【证法 4 4】 （梅文鼎证明）】 （梅文鼎证明）. . 【证法【证法 4 4】 （欧几里得证明）】 （欧几里得证明） 做三个边长分别为做三个边长分别为 a a、b b、c c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H H、C C、B B 三点三点在一条直线上，连结在一条直线上，连结 BFBF、CDCD. . 过过 C C 作作 CLCLDEDE， 交交 ABAB 于点于点 M M，交，交 DEDE 于点于点 L L. . AF = ACAF = AC，AB = ADAB = AD， FAB = FAB = GADGAD， FAB FAB GADGAD， FABFAB 的面积等于的面积等于221a， cbacbaABCDEFGHMLK 3 GADGAD 的面积等于矩形的面积等于矩形 ADLMADLM 的面积的一半，的面积的一半， 矩形矩形 ADLMADLM 的面积的面积 = =2a. . 同理可证，矩形同理可证，矩形 MLEBMLEB 的面积的面积 = =2b. . 正方形正方形 ADEBADEB 的面积的面积 = = 矩形矩形 ADLMADLM 的面积的面积 + + 矩形矩形 MLEBMLEB 的面积的面积 222bac+= ，即，即 222cba=+. . 【证法【证法 5 5】 （杨作玫证明）】 （杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a a、b b（baba） ，斜边长为） ，斜边长为 c c. . 再做一个边长为再做一个边长为 c c 的正方形的正方形. . 把它们拼成如图所示的多边形把它们拼成如图所示的多边形. . 过过 A A 作作 AFAFACAC，AFAF 交交 GTGT于于 F F，AFAF 交交 DTDT 于于 R R. . 过过 B B 作作 BPBPAFAF，垂足为，垂足为 P P. . 过过 D D 作作 DEDE 与与 CBCB 的延长线垂直，垂足为的延长线垂直，垂足为E E，DEDE 交交 AFAF 于于 H H. . BAD = 90BAD = 90，PAC = 90PAC = 90， DAH = DAH = BACBAC. . 又又 DHA = 90DHA = 90，BCA = 90BCA = 90， AD = AB = cAD = AB = c， RtRtDHA DHA RtRtBCABCA. . DH = BC = aDH = BC = a，AH = AC = bAH = AC = b. . 由作法可知，由作法可知， PBCA PBCA 是一个矩形，是一个矩形， 所以所以 RtRtAPB APB RtRtBCABCA. . 即即 PB =PB = CA = bCA = b，AP= aAP= a，从而，从而 PH = bPH = ba a. . RtRtDGT DGT RtRtBCA ,BCA , RtRtDHA DHA RtRtBCABCA. . RtRtDGT DGT RtRtDHA DHA . . DH = DG = aDH = DG = a，GDT = GDT = HDA HDA . . 又又 DGT = 90DGT = 90，DHF = 90DHF = 90， GDH = GDH = GDT + GDT + TDH = TDH = HDAHDA+ + TDH = 90TDH = 90， DGFHDGFH 是一个边长为是一个边长为 a a 的正方形的正方形. . GF = FH = a GF = FH = a . . TFTFAFAF，TF = GTTF = GTGF = bGF = ba a . . TFPBTFPB 是一个直角梯形，上底是一个直角梯形，上底 TF=bTF=ba a，下底，下底 BP= bBP= b，高，高 FP=a +FP=a +（b ba a）. . 用数字表示面积的编号（如图） ，则以用数字表示面积的编号（如图） ，则以 c c 为边长的正方形的面积为为边长的正方形的面积为 543212SSSSSc+= ()()abaabbSSS+=+21438 = = abb212， 985SSS+=， 824321SabbSS=+= = 812SSb . . 把代入，得把代入，得 98812212SSSSbSSc+= 987654321PQRTHGFEDCBAabcabccc 4 = = 922SSb+ = = 22ab +. . 222cba=+. . 【证法【证法 6 6】 （李锐证明）】 （李锐证明） 设直角三角形两直角边的长分别为设直角三角形两直角边的长分别为 a a、 b b （baba） ， 斜边的长为） ， 斜边的长为 c c. . 做三个边长分别为做三个边长分别为 a a、b b、c c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A A、E E、G G 三点在一条直线上三点在一条直线上. . 用数字表示用数字表示面积的编号（如图）面积的编号（如图）. . TBE = TBE = ABH = 90ABH = 90， TBH = TBH = ABEABE. . 又又 BTH = BTH = BEA = 90BEA = 90， BT = BE = bBT = BE = b， RtRtHBT HBT RtRtABEABE. . HT = AE = aHT = AE = a. . GH = GTGH = GTHT = bHT = ba a. . 又又 GHF + GHF + BHT = 90BHT = 90， DBC + DBC + BHT = BHT = TBH + TBH + BHT = 90BHT = 90 ， GHF = GHF = DBCDBC. . DB = EBDB = EBED = bED = ba a， HGF = HGF = BDC = 90BDC = 90， RtRtHGF HGF RtRtBDCBDC. . 即即 27SS =. . 过过 Q Q 作作 QMQMAGAG，垂足是，垂足是 M M. . 由由BAQ = BAQ = BEA = 90BEA = 90，可知，可知 ABEABE = = QAMQAM，而，而 AB = AQ = cAB = AQ = c。