在极坐标系下计算二重积分ppt课件.ppt

二重积分二重积分二重积分在二重积分在极坐标系极坐标系下的计算下的计算第二节第二节 二重积分的计算（二重积分的计算（2））4. 4. 将直角坐标化为极坐标将直角坐标化为极坐标1、、积分区域积分区域 (极点为外点极点为外点)2、、积分区域积分区域 （（极点为边界点极点为边界点））3、、积分区域积分区域 （（极点为内点极点为内点））二重积分二重积分三、利用极坐标计算二重积分三、利用极坐标计算二重积分故在故在极坐标系极坐标系下下, 用用同心圆同心圆 r =常数常数及及射线射线   =常数常数, 分划区域分划区域D 为为则面积元素为则面积元素为二重积分二重积分即二重积分在极坐标下的公式：即二重积分在极坐标下的公式：由直角坐标和极坐标之间的关系：由直角坐标和极坐标之间的关系：二重积分二重积分二重积分在极坐标下的公式：二重积分在极坐标下的公式：问题问题1：怎样的二重积分需要在极坐标下计算？：怎样的二重积分需要在极坐标下计算？积分区域积分区域D为圆形、扇形、环形，环扇形等为圆形、扇形、环形，环扇形等被积函数形式被积函数形式问题问题2：如何在极坐标下计算二重积分？：如何在极坐标下计算二重积分？二重积分二重积分在极坐标下计算二重积分在极坐标下计算二重积分1、、积分区域积分区域 (极点为外点极点为外点)D:二重积分二重积分二重积分二重积分例例2. 计算计算其中其中D 为由圆为由圆所围成的所围成的及直线及直线解：解：平面闭区域平面闭区域.二重积分二重积分2、、积分区域如图：积分区域如图：D:（（极点为边界点极点为边界点））二重积分二重积分二重积分二重积分例例4. 计算计算其中其中D是是解解:D是关于是关于x轴对称称，，是关于是关于Y的奇函数的奇函数，，二重积分二重积分3、、积分区域如图：积分区域如图：D:（（极点为内点极点为内点））二重积分二重积分例例5. 计算计算其中其中解解: 在极坐标系下在极坐标系下原式原式的原函数不是初等函数的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角故本题无法用直角由于由于故故坐标计算坐标计算.二重积分二重积分注注:利用例利用例5可得到一个在概率论与数理统计及工程上可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的反常积分公式非常有用的反常积分公式事实上事实上, 当当D 为为 R2 时时,利用例利用例4的结果的结果, 得得①①故故①①式成立式成立 .二重积分二重积分例例6. 求球体求球体被圆柱面被圆柱面所截得的所截得的(含在柱面内的含在柱面内的)立体的体积立体的体积. 解解: 设设由对称性可知由对称性可知z = 0axyzo维望尼曲线维望尼曲线维望尼曲线维望尼曲线D二重积分二重积分内容小结内容小结二重积分化为累次积分的方法二重积分化为累次积分的方法1、直角坐标系情形、直角坐标系情形 :• 若积分区域为若积分区域为则则• 若积分区域为若积分区域为则则二重积分二重积分则2、极坐标系情形、极坐标系情形: 若积分区域为3. 改变积分次序的题型改变积分次序的题型4. 直角坐标化为极坐标的题型直角坐标化为极坐标的题型二重积分二重积分计算步骤及注意事项计算步骤及注意事项• 画出积分域画出积分域• 选择坐标系选择坐标系• 确定积分序确定积分序• 写出积分限写出积分限• 计算要简便计算要简便域边界应尽量多为坐标线域边界应尽量多为坐标线被积函数关于坐标变量易分离被积函数关于坐标变量易分离积分域分块要少积分域分块要少累次积好算为妙累次积好算为妙图示法图示法不等式不等式( 先积一条线先积一条线, 后扫积分域后扫积分域 )充分利用对称性充分利用对称性应用换元公式应用换元公式二重积分二重积分练习练习10.2：：2. 已知已知3. 计算计算4. 计算计算其中其中D是由是由所所围成的在第一象限内的成的在第一象限内的闭区域。

区域 求求1. 计算计算D 是圆域是圆域二重积分二重积分1. 计算计算D 是圆域是圆域解解 ：：即求积分区域的面积即求积分区域的面积利用线性性质：线性性质：和的积分等于积分之和和的积分等于积分之和在利用积分区域对称、被积函数奇偶性积分区域对称、被积函数奇偶性相关结论相关结论二重积分二重积分2. 已知已知求求解：利用对称性及二重积分的性质可知解：利用对称性及二重积分的性质可知二重积分二重积分3 3、计算、计算0xy1解：解：将积分区域将积分区域D化为极坐标化为极坐标二重积分二重积分4. 计算计算其中其中D是由是由所所围成的在第一象限内的成的在第一象限内的闭区域 二重积分二重积分综合题：综合题： 计算计算其中其中:(1) D为圆域为圆域(2) D由直线由直线解解: (1) 利用对称区间奇偶性，得利用对称区间奇偶性，得围成围成 .二重积分二重积分综合题：综合题： 计算计算其中其中:(1) D为圆域为圆域(2) D由直线由直线围成围成 .将将D 分为分为添加辅助线添加辅助线利用对称性利用对称性 , 得得二重积分二重积分谢￿ ￿谢！！放映结束放映结束 感谢各位批评指导！感谢各位批评指导！让我们共同进步让我们共同进步。