第二定义与焦点三角形.doc

椭圆的第二定义教学目标知识目标：椭圆第二定义、准线方程；能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景；2 了解离心率的几何意义；3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义；4使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用；5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待 问题，体现数学的美学价值.教学重点：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；教学难点：椭圆的第二定义的运用；教学方法：创设问题、启发引导、探究活动、归纳总结.教学过程复习回顾标准方程，+…邪>图形yB]广 范围|x|W a,|y|W b|x|W bj)|W a顶点坐标(a,0)> (・a,0)、(0,b)、(0,-b)(b,0)、(・b,0)、(0,a)、(0,-a)焦点坐标(c,0)、(・c,0)(0,c)、(0, -c)对称性关于湖1、*轴成轴对称；关于原点成中心对称半轴长长半轴长为8,短半轴长为a>b离心率e = c / aa、b、c的关系a2=b2+c21 .椭圆的长短轴之和为18,焦距为6,则椭圆的标准方程为（ ）2、 下列方程所表示的曲线中，关于x轴和y轴都对称的是（ ）A、X2=4Y B、X2+2XY+Y=0C、X2-4Y2=X D、9X2+Y2=43、 若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为。

4、 若椭圆的的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为 o5、 若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率e= 探究:思考上面探究问题，并回答下列问题：(1)用坐标法如何求出其轨迹方程，并说出轨迹椭圆的第二定义当点M与一个定点的距离和它到一•条定直线的距离的比是常数e = -(O<^ 丝1 故直线与圆相离2 2 2 22 2例5、己知点M为椭圆命" + * = 1的上任意一点，%、气分别为左右焦点；且A(l,2)求\MA\^-\MFX |W最小值分析：应如何把11 MF, |表示出来2解：左准线<：x = -— = 一一，作MD1Z,于点D,记d=\MD\c 3由第二定义可知：y^d = e = - = - n \MFx \=-d m d = -\MFl \ d a 5 5 3故有| MA\+-\MFl \=\MA\^d =\MA\ + \MD\25所以有当A、M、D三点共线时，|MA|+|MD|有最小值：1+ —3即I MA\+^\MF{ |的最小值是学变式1： 3|AM|+5|M《|的最小值；5 or解：3| 伽|+5|必氏 1=3(1 伽|+己|) = 3x—= 283变式2： -\MA\^\MFl 最小值；3 3 5 3 28 28解：-IMAI + IMF, \=-(\MA\-^-\MFi \) = -x— = —归纳小结:1. 椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程;2. 椭圆定义的简单运用；3. 离心率的求法以及焦半径公式的应用；2.椭中焦点三角形的性质及应用定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。

2 V2性质一：已知椭圆方程为；+土 = 1（＞力＞0）,两焦点分别为鸟，己，设焦点三角形CT bgPF\ F2 中 ZF/L =则 Smpe = b2 tan -•.•（2c）2=|F；fJ =|PF『+|PF』—2|pq||p%|cos +1PF2\）2 -2|PF,||PF2|（1 + cos0）・啊昨| =(IpfJ + Ipf^)2-^22(14-cos 0)4a2 -4c2 _ 2b22(1 +cos)1 + cos1 n・・・ S,FPF = — IP411 PF, I sin e = sin 0 = h2 tan 一明"21 111 21 1 + cosQ 22 2性质二：已知椭圆方程为5 +「= 1（＞ 0）,左右两焦点分别为鸟，「2,设焦点三角形 a~ b~PFR,若』"灼最大，则点P为椭圆短轴的端点证明：设P（%,y由焦半径公式可知： 冏1 = a + exo, |PFj = a- ex（）在八f}pf2中,COSl^r +|P 即-|f,f2|2 (|p 川+ |pf』)2 -2|p 川 |PFj-牝22|砰灼|4/_牝2 ― ] 2 屏2朋|Pg「一 2（斜）—一尸_疽必-a < x0 < a性质三：已知椭圆方程为二+ 土 = 1（。

＞/?＞0）,两焦点分别为F"2,设焦点三角形 CT uPF\ F?中 PF2 = e,则 cos e Z 1 — 2凌.证明：设PFi=-PF2=~则在△ F]P%中，由余弦定理得：cos0 = €+廿-是2 =（尸|+=）2 2,逮2 牝2 二22-2疽 ]、2q2-2c? 2c广—2c， i c 2 4日右/日、〒Z 1 = 5 1 = 1 —2g . 叩题得证2(* +%2 2"22x2 v2（2000年高考题）已知椭圆=+七=1（＞ 0）的两焦点分别为",若椭圆上存在 er Zr—点P,使得ZF】PF? = 120,求椭圆的离心率e的取值范围简解：由椭圆焦点三角形性质可知cosl20＞l-2^2.即一?21-2疽2于是得到e的取值范围是性质四：已知椭圆方程为二+「= 1（＞人＞0）,两焦点分别为，设焦点三角形 CT bPF* APF}F2=a^PF2F{="，则椭圆的离心率e=对川丁 +少) sin a + sin pZPF} F2 =a.ZPF2Fi =艮由正弦定理得:”间 」PF』」PFjsin(180f, - a- (3) sin a sin (3由等比定理得:\f{f2\ Jpf^\pf2\sin(a + ”) sin a + sin /?而 IE _ 2c \PF^\PF2\_ 2a sin(a + ) sin(a + /?) sin a + sin /? sin a + sin /?asin(Q + /])sin a + sin (3己知椭圆的焦点是尸］（一1，0）、尸2（1, 0）,户为椭圆上一点，且I尸］尸2 I是I PF| I和I PF2 I的等差中项.（1） 求椭圆的方程；（2） 若点若在第三象限，且ZPF1F2=120 ,求tanFiPF?.解：（1）由题设 2 I 月尸2 I = I PF| I + I PF2 I厂 X2 y22a= 4 9 又 2c=2, •，•/?= ^J3 椭圆的 Jj 程为—+ -— = 1.(2)设ZFiPF2= ，则 ZPF2Fi=60 - 0sin(180-。

)•.•椭圆的离心率e =—2IhI 1 sin(180" -0) sin则一= =" 2 sinl20"+sin(60”—) g . 小+ sin(60 -0)整理得：5sin 〃 = JJ(l+cos〃)淄％ =匝故tan土虫, 1 + C0S 5 2 5L • I~tanF| PF?=tan 8 = = 1 25。